5. Schrödinger-egyenlet 3D-ben, centrális potenciál, változók szétválasztása, gömbfüggvények Flashcards
Schrödinger-egyenlet 3D-ben
Milyen egyenlet matematikai szempontból a Schrödinger-egyenlet és hogy lehet nekiállni megoldani az ilyeneket? Példák?
Másodrendű lineáris parciális diff.egyenlet. A változók szeparálása működni szokott (de nem mindig).
Példák:
- végtelen pot. gödör téglatest belsejében
- 3D oszcillátor
centrális potenciál
Hogyan kell a változók szeparálását csinálni? Mi egy általános észrevétel, ami aztán segíteni fog?
Polárkoordinátákra kell áttérni és onnan szeparálni.
Általános észrevétel: meg lehet választani úgy a hullámfüggvényt, hogy egy H-val kommutáló operátor s.értékével beszorzott hullámfv.-ek is s.állapotok lesznek. Tehát célszerű H-val kommutáló operátorokat keresni és egyszerre megoldani a s.érték problémájukat.
centrális potenciál
Mi az a mennyiség, ami centr. pot. esetén kommutál a H-val? További kommutációs relációk az L-re?
Az L impulzusmomentum ilyen. L-lel vett kommutátorok:
- x-szel, x szerinti deriválttal, p-vel, v-vel, L_j-vel: nem kommutál
- v, p, r és saját maga négyzetével: kommutál
Konklúzió: L, H és L^2 közül mindegyik mindegyikkel kommutál.
változók szétválasztása
Mi a cél a Schr.-egyenlet megoldását illetően? Maga a Schr.-polárkrd.-ákban az imp.momentummal?
A cél olyan hullámfüggvényeket keresni, amik mind L, L^2 és H-nak is sajátállapotai.
- áttérés polárkrd.-ákra
- L3 és L^2 felírása
- gömbi Laplace L^2-tel
- Schrödinger felírása
változók szétválasztása
Mik az L^2 s.értékei?
- feltevés: V(r) nem annyira szinguláris r tart nullában
- hullámfv. hatványsorban keresése, sorbafejtés
- első három tag felrása
- Schrödinger felírása
- s.értékek felírása
változók szétválasztása
Mi van, ha a hullámfv. s.fv.-e L^2-nek?
A hullámfv.-ben a változók szeparálhatók R és Y szerint.
változók szétválasztása
Mi van, ha Y s.fv.-e L3-nak is?
- L3 hattatása Y-ra
- Y felírása m-mel
- Y felírása a Legendre-fv.-ekkel
változók szétválasztása
Schrödinger szögfüggés nélkül? Hogy történik a normálás?
- hullámfv. felírása a szeparált változókkal
- Schrödinger felírása
- normálás külön-külön R és Y szerint
változók szétválasztása
Milyen új változót lehet bevezetni? Mik lesznek a különbségek az eredeti centrális poblémához képest?
Az új változó: U(r) = rR(r) és a három különbség:
- V(eff)
- r tart a nullához limesz
- normálás
gömbfüggvény
Mik az L3 és L^2 közös s.függvényei?
Gömbföggvények.
- felírni, hogy pontosan mit keresünk
- Legendre-fv.-es felírás
gömbfüggvények
Az L^2-es s.értékprobléma milyen egyenlettel ekvivalens? Mi ennek a megoldása?
- r-rs egyenlet felírása
- l-edfokú homogén polinom sorösszeges felírása
- áttérés az x-ekre
- L3 hattatása
- l, m és a hatványkitevők határainak felírása
gömbfüggvények
Mi az első néhány gömbfüggvény?
- l = m = 0
- l = 1, m = -1
- l = 1, m = 0
- l = 2
gömbfüggvények
Állítás a gömbfv.-ek ortonormáltságára vonatkozóan?
A gömbfv.-ek ortonormált bázist alkotnak a szöggfüggő fv-.ek halmazán.
