Chapitre 2 Calcul matriciel Flashcards

Question

Théorème 6

Answer 1

Si A est une matrice inversible, alors A^-1 est inversible et (A^-1)^-1 = A b. Si A et B sont deux matrices n × n inversibles, alors AB est inversible, et l'inverse de AB est le produit des inverses de A et B dans l'ordre inverse. (AB) ^-1= B^-1A^-1 Tapez une équation ici. c. Si A est une matrice inversible, AT l'est aussi ((A)^T)^-1 = (A^-1)^T

Answer 2

Une matrice obtenue à partir d'une matrice unité par une seule opération élémentaire sur les lignes (Ann=In et après In=A^-1) 1er remarque: on a à résoudre Ax=b (A/b) 2eme remarque : si on a à résoudre Ax=b (A/b) et (A/b*), on peut résoudre simultanément les 2 systèmes 3ieme remarque: On cherche les colonnes de la matrice inverse et on peut le faire si on le trouve et ce qui donne est la matrice inverse

Answer 3

Toute matrice élémentaire Eij est inversible. L'inverse de Eij est la matrice élémentaire de même type qui transforme Eij en I.

Answer 4

la matrice identité avec les lignes i et j permutées

Answer 5

Une matrice A de type n × n est inversible si A est équivalente selon les lignes à In et, dans ce cas, toute suite d'opérations élémentaires sur les lignes qui transforme A en In transforme In en A^-1.

Answer 6

Ainsi, pour inverser la matrice A de format n × n dont les éléments sont les aj, on utilisera la matrice augmentée suivante La transformation de Gauss-Jordan consiste à transformer ce système en un système équivalent dont le bloc gauche est l'identité, c'est-à-dire qu'il faut modifier la matrice [A||] pour qu'elle devienne de la forme [I|A " en utilisant les propriétés de l'algorithme.

Answer 7

Afin de trouver l'inverse de la matrice A: 1. On forme la matrice augmentée du système Al]. 2. On utilise la procédure d'élimination de Gauss pour générer des zéros au dessous des pivots. 3. On utilise la procédure d'élimination de Gauss pour générer des zéros au dessus des pivots. 4. On divise chaque ligne par son pivot, les nouveaux pivots sont 1. 5. On génère alors la matrice [IA-') à partir de [A||]. La matrice I est alors obtenue dans la première moitié de la matrice augmentée tandis que l'autre moitié contient les colonnes de la matrice inverse.

Answer 8

Lélimination de Gauss peut se traduire par une suite de multiplications de matrices: [A/I ]vers [I/A-1]; Matrice des (D-1….E...P...E)A = 1 * E: réalise l'élimination de Gauss ou génère des zéros au dessous et au-dessus des pivots. * P: faire des permutations de lignes si nécessaire. * D-1: divise par des pivots. di pas = à 0 Une matrice diagonale a un inverse à condition qu'aucun coefficient sur la diagonale ne soit zéro

Answer 9

Résoudre AA-1 = I en trouvant chaque colonne de A-1. * On cherche les colonnes de A-1 = [X1 X2 X3] tel que: AA-1 = A [X1, X2, X3] = [e1, e2 e3] = I * Ax1; = e1 = (1,0, 0) donnera la première colonne de A-1 * Ax2 = e2 = (0, 1,0) donnera la deuxième colonne de A-1 * Ax3 = e3 = (0,0, 1) donnera la troisième colonne de A-1

Answer 10

Une matrice A de type n x n est inversible. Les propriétés suivantes sont équivalentes: a. A est inversible. b. A admet n pivots c. L'équation Ax = 0 admetla solution triviale pour unique solution. d. Les colonnes de A sont linéairement indépendantes. e. Les colonnes de A engendrent R^n. f. Pour tout vecteur b de R, l'équation Ax = b admet une solution unique. g. Il existe une matrice C de type n × n telle que CA = 1. h. Il existe une matrice D de type n X n telle que AD = I. i. A^T est inversible.

Answer 11

Si A est inversible, alors: 1) L'inverse est unique AB = / = CA <=> B = C = A^-1. 2) L'unique solution de Ax = b est x = A^-1b. 3) Il n'existe aucun x # 0 tel que Ax = 0 car Ax = 0 <=> x= A^-1= 0 4) Si det (A) = ad - bc # 0, alors A-1 existe 5) Une matrice diagonale a un inverse à condition qu'aucun coefficient sur la diagonale ne soit zéro 6) Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n'est nul.

Answer 12

L’inverse existe si et seulement si l’ ́elimination produit n pivots (pour A une matrice carrée). Si on obtient au moins un pivot nul, on arrête la procédure et alors A n’est pas inversible. Si A est inversible, la seule et unique solution de Ax = b est x = A-1b. Si A est inversible, alors Ax =0 peut seulement avoir la solution zéro x = A-10 = 0. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Une matrice diagonale/triangulaire supérieure/triangulaire inférieure a un inverse à condition qu’aucun coefficient sur la diagonale ne soit zéro. Si A est symétrique par rapport à sa diagonale principale, alors A-1 l’est aussi.

Answer 13

Afin de trouver l’inverse de la matrice A: 1 On forme la matrice augmentée du système [A|I]. 2 On utilise la procédure d'élimination de Gauss pour générer des zéros au dessous des pivots. 3 On utilise la procédure d’élimination de Gauss pour générer des zéros au dessus des pivots. 4 On divise chaque ligne par son pivot, les nouveaux pivots sont 1. 5 On génère alors la matrice [I|A-1] à partir de [A|I]. La matrice I est alors obtenue dans la première moitié de la matrice augmentée tandis que l’autre moitié contient les colonnes de la matrice inverse.

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