Chapter 5&6 - Definite Integral & Its Applications Flashcards Preview

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Flashcards in Chapter 5&6 - Definite Integral & Its Applications Deck (16):
1

定积分性质 1

任意有限个函数的线性组合的积分等于它们各自积分的线性组合.

2

定积分性质 2

区间可加性

设 c∈(a,b), 则∫a→b = ∫a→c = ∫c→b.

3

定积分的保号性

若 f(x)≥0 且在 [a,b] 上 f(x) 不恒等于零, 那么 ∫a→b f(x) ≥0. 

4

定积分的保号性 2

f(x)g(x) → ∫a→b f(x) dx ≤ ∫a→b g(x) dx

5

|∫a→b f(x) dx| 与 ∫a→b |f(x)| dx 的大小关系.

|∫a→b f(x) dx| ≤ ∫a→b |f(x)| dx

因为右边可以保证北极函数一定是正的; 而左边 f(x) 积分自身正负抵消之后才取得绝对值, 所以较小.

6

设 M, m 分别为 函数 y=f(x) 在 [a,b] 上的最大值和最小值, 则 ∫a→bf(x)dx 的范围是什么?

m(b-a) ≤ ∫a→bf(x)dx ≤ M(b-a)

7

积分中值定理

如果函数 f(x) 在 [a,b] 上连续, 那么至少有一个 ξ∈[a,b],
f(ξ)=1/(b-a) ∫a→bf(x)dx

与其他中值定理不同的是, 此处 ξ ∈ 区间 [a,b]. 

8

d/dx ∫φ(x)→ψ(x)f(t)dt=?

f[φ(x)]·φ'(x) - f[ψ(x)]·ψ'(x)

9

微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)

如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数, 那么
a→bf(x)dx = F(b)-F(a)

10

定积分可积的两个充分条件

(1) f(x) 在区间 [a,b] 上连续, 则 f(x) 在 [a,b] 上可积.

(2) f(x) 在区间 [a,b] 上有界, 且只有有限个间断点, 则 f(x) 在 [a,b] 上可积.

11

定积分的换元公式使用条件

(1) f(x) 在区间 [a,b] 上连续; 
(2) 换入函数 φ(x) 在 [a,b] (或 [b,a]) 上有连续导数.

12

分部积分优先级顺序口诀

反对幂指三, 前u后v'.

反三角函数, 对数函数 log, 幂函数 xn, 指数函数 ax, 三角函数.
靠前的保留, 靠后的还原(积分).

13

瑕点, 瑕积分的定义

如果函数 f(x) 在点 a 的任一邻域内都无界, 那么点 a 称为函数 f(x) 的瑕点.
无界函数的反常积分又称为瑕积分.

14

由参数方程给出的光滑圆弧的弧长公式

s = ∫a→bφ'(x)2+ψ'(x)2 dt

15

由直角坐标方程给出的光滑圆弧的弧长公式

s = ∫a→b1+y'2 dx

16

由极坐标方程给出的光滑圆弧的弧长公式

s = ∫a→bρ2+ρ'2 dx