Dérivation de fonctions à plusieurs variables Flashcards Preview

Analyse III > Dérivation de fonctions à plusieurs variables > Flashcards

Flashcards in Dérivation de fonctions à plusieurs variables Deck (20)
Loading flashcards...
1
Q

Une norme sur un espace vectoriel V est une application ||.|| : V vers [0,infini) telle que

A

(i) ||x|| > 0 pour tout x dans V
(ii) ||x||=0 si et seulement si x=0
(iii) || lamda x || = | lamda | ||x|| pour tout x dans V et pour tout lamda dans les réels
(iv) ||x+y|| < ou égal ||x|| + ||y||

2
Q

Proposition: Si A est une matrice de dimension mxn et si B est une dimension nxp, alors

A

||AB|| < ou égal ||A|| ||B||

3
Q

Corollaire: Si A est une matrice de dimension mxn et si x est dans R^n, alors

A

||Ax|| < ou égal ||A|| ||x||

4
Q

Soit U ouvert dans R, soit f une fonction de U vers R et soit a appartenant à U. Alors,

A

f est dérivable en a si [(f(a+h)-f(a))/h] tend vers A lorsque h tend vers 0 où f’(a) = A.

Posons r(h) = f(a+h) - f(a) - Ah. Alors, on a
f(a+h) = f(a) + Ah + r(h)
|r(h)| / |h| tend vers 0 quand h tend vers 0

5
Q

Soit U ouvert dans R^n, soit f une fonction de U vers R^m et soit a appartenant à U. Alors,

A

f est dérivable en a s’il existe une matrice A de dimension mxn telle que f(a+h) = f(a) + Ah + r(h) où ||r(h)||/||h|| tend vers 0 quand h tend vers 0.

6
Q

f dérivable en a IMPLIQUE f continue en a

A

ATTENTION! f continue en a n’implique PAS f dérivable en a

Exemple: f(x) = |x| en x=0

7
Q

Soit U ouvert qui est contenu dans R^n. Soit f une fonction de U vers R^m où f = (f_1,f_2, … , f_m) avec f_j une fonction de U vers R. Soit a appartenant à U. Alors,

A

drond(f_j)/drond(x_k) en a = lim (f_j(a+te_k)-f_j(a))/t quand t tend vers 0 [si cette limite existe]

8
Q

Proposition: Si f est dérivable en a, alors

A

toutes les dérivées partielles drond(f_j)/drond(x_k) en a existent.

ATTENTION! Même si toutes les dérivées partielles (drond(f_j)/drond(x_k)) (a) existent, f n’est pas nécessairement dérivable en a.

9
Q

Théorème: Soit U ouvert qui est contenu dans R^n. Soit f une fonction de U vers R^m. Soit a appartenant à U. Supposons que les dérivées partielles drond(f_j)/drond(x_k) existent non seulement en a, mais dans une boule autour de a, ET qu’elles soient continues en a, alors

A

f est dérivable en a.

10
Q

Supposons que f est dérivable en a avec f’(a)=A (matrice mxn) et que g est dérivable en b avec f’(b)=B (matrice pxm).

A

Alors, g rond f est dérivable en a et (g rond f)’ (a) = BA (matrice pxn). En d’autres mots, (g rond f)’ (a) = g’(f(a)) f(a) = BA.

11
Q

Théorème: Supposons que f’(a) = grad f(a) est différent de 0. Alors,

A

la dérivée directionnelle [drond_u f(a)] de f est maximale en direction du gradient i.e. u = grad f(a) / ||grad f(a)||

12
Q

Soit f une fonction de U vers R définie sur un ouvert qui est contenue dans R^n. Soit a appartenant à U et soit u un vecteur dans R^n t.q. ||u|| = 1. Alors, la dérivée directionnelle de f en a dans la direction de u est donnée par

A

drond_u f(a) = lim [(f(a+tu)-f(a))/t] quand t tend vers 0 si cette limite existe.

13
Q

Proposition: Si f est dérivable en a, alors drond_u f(a) existe pour chaque vecteur unitaire u dans R^n et

A

drond_u f(a) = f’(a) PRODUIT SCALAIRE u

ATTENTION! Il peut arriver que la dérivée directionnelle drond_u f(a) existe en chaque direction u sans que f soit dérivable en a.

14
Q

Théorème des accroissements finis

A

Soit f:[a,b] vers R dérivable. Alors, il existe c appartenant (a,b) tel que f(a)-f(b) = f’(c) (b-a).

15
Q

Corollaire (lié au thm des accroissements finis)

A

Si, de plus, |f’(x)| < ou égal à M pour tout x dans [a,b], alors |f(b) - f(a)| < ou égal à M |b-a|

16
Q

Théorème de la moyenne

A

Soit U ouvert dans R^n. Soit f: U vers R^m une fonction dérivable. Soit a,b dans U des pts dans U t.q. [a,b] est contenu dans U. Si ||f’(x)|| < ou égal à M pour tout x dans [a,b], alors ||f(b)-f(a)|| < ou égal à ||b-a||.

17
Q

Théorème de Schwartz

A

Soit U ouvert dans R^n. Soit f: U vers R une fonction. Soit j,k appartenant à {1,2,…,n}. Soit a appartenant à U. Supposons que les dérivées partielles drond^2(f)/drond(x_j)drond(x_k) et drond^2(f)/drond(x_k)drond(x_j) existent sur une boule autour de a et qu’elles sont continues en a. Alors, drond^2(f)/drond(x_j)drond(x_k) = drond^2(f)/drond(x_k)drond(x_j)

18
Q

Une multi-indice en R^n est un n-tuplet alpha=(alpha_1, alpha_2, … , alpha_n) où alpha_i = {1,2,…}.

A

|alpha| = alpha_1 + … + alpha_n (l’ordre de alpha)
alpha ! = alpha_1 ! … alpha_n !
x^alpha = x_1 ^ alpha_1 … x_n ^ alpha_n
drond^alpha(f)/(drond(x))^alpha = drond ^ |alpha| (f) / drond(x_1)^alpha_1 … drond(x_n)^alpha_n

19
Q

Théorème du multinôme

A

(x_1 + … + x_n)^k = sommation des |alpha|=k (k! x^alpha / alpha!)

20
Q

Théorème de Taylor

A

Soit U ouvert qui est contenue dans R^n. Soit f appartenant à C^k+1(u) et supposons que [a,a+h] contenue dans U. Alors, f(a+h)=sommation des |alpha|=k (drond^alpha(f)/(drond(x))^alpha h^alpha / alpha!) + R_k(a,h) où |R_k(a,h)| < ou égal max (sommation des |alpha|=k (drond^alpha(f)/(drond(x))^alpha h^alpha / alpha!)) ||h||^k+1 avec x dans l’intervalle [a,a+h]