Kapitel 2 - Elementare Grundlagen Flashcards Preview

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Flashcards in Kapitel 2 - Elementare Grundlagen Deck (33)
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1

Definiere den Begriff "Negation"!

Ist A eine Aussage, so können wir ihr eine negierte Aussage Nicht-A zuweisen, deren Wahrheitswert dem umgedrehten Wert von A entspricht.

2

Was versteht man unter Konjunktion?

Eine Konjunktion ist die Verknüpfung zweier Aussagen (Wahrheitswerte) mittels UND-Operator. Dabei ist die resultierende Aussage wahr, wenn die beiden verknüpften Aussagen wahr sind, sonst falsch.

3

Was versteht man unter Disjunktion?

Eine Disjunktion ist die Verknüpfung zweier Aussagen (Wahrheitswerte) mittels ODER-Operator. Dabei ist die resultierende Aussage falsch, wenn die beiden verknüpften Aussagen falsch sind, sonst wahr.

4

Was versteht man unter Implikation?

Die Verknüpfung zweier Aussagen mittels =>, wobei "A => B" als "Aus A folgt B" oder "A impliziert B" gelesen wird. Der Wahrheitswert der resultierenden Aussage ist falsch wenn A wahr und B falsch ist, sonst wahr.

5

Was versteht man unter Äquivalenz?

Die Verknüpfung zweier Aussagen mittels <=>, wobei "A <=> B" als "A ist äquivalent zu B" gelesen wird. Der Wahrheitswert der resultierenden Aussage ist wahr, wenn die Wahrheitswerte von A und B jeweils übereinstimmen, sonst falsch.

6

Was passiert, wenn eine Aussage doppelt negiert wird?

Doppelte Negation hebt sich auf. Somit ist eine Aussage der Form "Nicht(Nicht A)" äquivalent zu "A".

7

Nenne die Kommutativgesetze in der Logik!

A ODER B = B ODER A bzw A UND B = B UND A

8

Nenne die Assoziativgesetze in der Logik!

(A ODER B) ODER C = A ODER (B ODER C)
bzw
(A UND B) UND C = A UND (B UND C)

9

Nenne die Distributivgesetze in der Logik!

A UND (B ODER C) = (A UND B) ODER (A UND C)
bzw
A ODER (B UND C) = (A ODER B) UND (A ODER C)

10

Beweise!
Wenn für eine natürliche Zahl n ihr dritte Potenz n^3 durch 2 teilbar ist, dann ist auch n durch 2 teilbar.

Die Aussage hat die Form A => B mit:
A = "Für die natürliche Zahl n ist n^3 durch 2 teilbar."
B = "Die natürliche Zahl n ist durch 2 teilbar."

Beweis durch Widerspruch:
Angenommen A wahr => Aussage wahr, wenn B wahr

Angenommen B ist falsch. -> n ist ungerade
-> n schreibbar als n = 2k + 1 mit k aus den nat. Zahlen
Folglich:
n^3 = (2k+1)^3=8k^3+12k^2+6k+1 = 2(4k^3+6k^2+3k)+1
= 2k'+1 mit k' := 4k^3+6k^2+3k aus den nat. Zahlen.
Folglich: n^3 ungerade => A falsch
-> Widerspruch

11

Definiere den Begriff der Teilmenge!

Wenn für eine Menge A gilt, dass alle ihre Elemente in einer anderen Menge B vertreten sind, dann gilt "A ist Teilmenge von B" bzw auch "B ist Obermenge von A".

Besonderheit: Jede Menge ist auch Teilmenge von sich selbst. Insbesonder gilt:
(A TM B) UND (B TM A) => A = B

12

Was ist die Potenzmenge einer Menge?

Die Potenzmenge 2^A einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A.

13

Sei A eine Menge. Wie mächtig ist deren Potenzmenge?

Die Mächtigkeit der Potenzmenge von A beträgt
|2^A| = 2^|A|

14

Definiere den Begriff Schnittmenge!

Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ist die Menge, die alle Elemente enthält, die sowohl in A, als auch in B enthalten sind.

15

Wann sind zwei Mengen disjunkt?

Wenn die Schnittmenge zweier Mengen A und B leer ist, werden die Mengen A und B als disjunkt bezeichnet.

16

Definiere den Begriff Vereinigungsmenge!

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B ist die Menge, die alle Elemente enthält, die entweder in A oder in B enthalten sind.

17

Definiere den Begriff Differenzmenge!

Die Differenzmenge A\B zweier Mengen A und B ist die Menge, die alle Elemente enthält, die in A, aber nicht in B vorhanden sind.

18

Beweise! Für Mengen gelten die Kommutativgesetze.

Behauptung 1: A schnitt B = B schnitt A
Behauptung 2: A vereinigt B = B vereinigt A

Beweis 1:
A schnitt B
= {x|x aus A UND x aus B}
= {x|x aus B UND x aus A}
= B schnitt A

Beweis 2:
A vereinigt B
= {x|x aus A ODER x aus B}
= {x|x aus B ODER x aus A}
= B vereinigt A

19

Beweise! Für Mengen gelten die Assoziativgesetze.

Behauptung 1:
(A schnitt B) schnitt C = A schnitt (B schnitt C)
Behauptung 2:
(A vereinigt B) vereinigt C = A vereinigt (B vereinigt C)

Beweis 1:
(A schnitt B) schnitt C
= {x|x aus (A schnitt B) UND x aus C}
= {x|(x aus A UND x aus B) UND x aus C}
= {x|x aus A UND (x aus B UND x aus C)}
= {x|x aus A UND x aus (B schnitt C)}
= A schnitt (B schnitt C)

Beweis 2:
(A vereinigt B) vereinigt C
= {x|x aus (A vereinigt B) ODER x aus C}
= {x|(x aus A ODER x aus B) ODER x aus C}
= {x|x aus A ODER (x aus B ODER x aus C)}
= {x|x aus A ODER x aus (B vereinigt C)}
= A vereinigt (B vereinigt C)

20

Beweise! Für Mengen gelten die Distributivgesetze.

Behauptung 1:
A vereinigt (B schnitt C) = (A vereinigt B) schnitt (A vereinigt C)
Behauptung 2:
A schnitt (B vereinigt C) = (A schnitt B) vereinigt (A schnitt C)

Beweis 1:
A vereinigt (B schnitt C)
= {x|x aus A ODER x aus (B schnitt C)}
= {x|x aus A ODER (x aus B UND x aus C)}
= {x|(x aus A ODER x aus B) UND (x aus A ODER x aus C)}
= {x|(x aus A vereinigt B) UND (x aus A vereinigt C)}
= (A vereinigt B) schnitt (A vereinigt C)

Beweis 2:
A schnitt (B vereinigt C)
= {x|x aus A ODER x aus (B vereinigt C)}
= {x|x aus A ODER (x aus B UND x aus C)}
= {x|(x aus A ODER x aus B) UND (x aus A ODER x aus C)}
= {x|(x aus A schnitt B) UND (x aus A schnitt C)}
= (A schnitt B) vereinigt (A schnitt C)

21

Nenne die Regeln von De Morgan (und beweise sie, wenn zeitlich möglich)!

Voraussetzungen: A, B, S Mengen; A,B TM S
Regel 1:
S\(A vereinigt B) = S\A schnitt S\B
bzw
(A vereinigt B)-Komp = A-Komp schnitt B-Komp
Regel 2:
S\(A schnitt B) = S\A vereinigt S\B
bzw
(A schnitt B)-Komp = A-Komp vereinigt B-Komp
[Komp = Komplement]

Beweis 1:
S\(A vereinigt B)
= {x|x in S UND x nichtIn (A vereinigt B)}
= {x|x in S UND NICHT(x in A ODER x in B)}
= {x|x in S UND (x nichtIn A UND x nichtIn B)}
= {x|x in S UND x nichtIn A UND x nichtIn B}
= {x|(x in S UND x nichtIn A) UND (x in S UND x nichtIn B)}
= {x|x in S\A UND x in S\B}
= S\A schnitt S\B

Beweis 2:
S\(A schnitt B)
= {x|x in S UND x nichtIn (A schnitt B)}
= {x|x in S UND NICHT(x in A UND x in B)}
= {x|x in S UND (x nichtIn A ODER x nichtIn B)}
= {x|(x in S UND x nichtIn A) ODER (x in S UND x nichtIn B)}
= {x|x in S\A ODER x in S\B}
= S\A vereinigt S\B

22

Negiere folgende Aussagen!
(a) Für alle x aus M gilt: A(x)
(b) Es gibt ein x aus M, sodass gilt: A(x)

(a) Es gibt ein x aus M, sodass gilt: NICHT(A(x))
(b) Für alle x aus M gilt: NICHT(A(x))

23

Beweise mit vollständiger Induktion!

Die Summe der dritten Potenzen von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen
ist stets ganzzahlig durch 9 teilbar.

Behauptung:
Für alle a,b,c aus Nat mit a=b+1 und b=c+1 gilt:
9 | a^3+b^3+c^3 [a | b => sprich: a teilt b], bzw

Für alle n aus Nat gilt:
9 | n^3+(n+1)^3+(n+2)^3

Beweis:
Induktionsanfang (n=0):
0^3+1^3+2^3 = 0+1+8 = 9
9 | 9 => gilt für n=0

Indutionsschritt (n -> n+1):
z.z.: 9 | (n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3

(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3
= (n+1)^3+(n+2)^3+n^3+3*n^2*3+3*n*3^2+3^3
= n^3+(n+1)^3+(n+2)^3+9n^2+27n+27
[laut IV gilt: 9 | n^3+(n+1)^3+(n+2)^3, also kann man schreiben n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 = 9k mit k aus Nat]
= 9k+9n^2+27n+27 = 9(k+n^2+3n+3) = 9k' (k' aus Nat)

=> 9 | (n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3 q.e.d.

24

Wann heißt eine Abbildung/Funktion f : X -> Y injektiv?

Eine Abbildung/Funktion f : X -> Y heißt injektiv, wenn für alle x,y aus X gilt:
f(x) = f(y) => x = y
["Jedes b aus Y hat höchstens ein Urbild."]

25

Wann heißt eine Abbildung/Funktion f : X -> Y surjektiv?

Eine Abbildung/Funktion f : X -> Y heißt surjektiv, wenn gilt:
f(X) = Y
[„Jedes b aus Y hat mindestens ein Urbild“]

26

Wann heißt eine Abbildung/Funktion f : X -> Y bijektiv?

Eine Abbildung/Funktion f : X -> Y heißt bijektiv, wenn gilt:
"f ist injektiv" und "f ist surjektiv"

27

Wann nennt man eine Menge X "endlich"?

Eine Menge X heißt "endlich", wenn es eine bijektive Abbildung f: X -> {1, ... , n} für ein n aus Nat gibt.

28

Wann nennt man eine Menge X "unendlich"?

Eine Menge X heißt "unendlich", wenn sie nicht endlich ist, also wenn es keine bijektive Abbildung f: X -> {1, ... , n} für ein n aus Nat gibt.

29

Wann nennt man eine Menge X "abzählbar"?

Eine Menge X heißt "abzählbar", wenn es eine bijektive Abbildung f: X -> Nat gibt.

30

Wann nennt man eine Menge X "überabzählbar"?

Eine Menge X heißt "überabzählbar", wenn sie weder endlich, noch abzählbar ist, also wenn es keine bijektive Abbildung f: X -> {1, ... , n} für ein n aus Nat gibt und wenn es keine bijektive Abbildung f: X -> Nat gibt.