Kapitel 3 - Die reellen und die komplexen Zahlen Flashcards Preview

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Flashcards in Kapitel 3 - Die reellen und die komplexen Zahlen Deck (6)
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1

Definiere eine [kommutative] Gruppe!

Als [kommutative] Gruppe bezeichnet man ein Tupel (G, *) aus einer Menge G und einer Verknüpfung * : G x G -> G mit folgenden Eigenschaften:

(1) * ist assoziativ, also:
x * (y * z) = (x * y) * z
und wird wegen Irrelevanz der Klammerung kurz
x * y * z
(2) Es gibt ein neutrales Element e aus G mit e * x = x für alle x aus G.
(3) Es gibt zu jedem x aus G ein inverses Element x' aus G mit x * x' = e.
[(4) * ist kommutativ, also:
x * y = y * x für alle x, y aus G]

2

Definiere einen Körper!

Ein Körper ist ein 3-Tupel (K, +, *) aus einer Menge K und den Verknüpfungen + : K x K -> K und * : K x K -> K mit folgenden Eigenschaften:

(1) (K, +) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element sei mit 0 bezeichnet.
(2) (K\{0}, *) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element sei mit 1 bezeichnet.
(3) Es gilt das Distributivgesetz x(y+z) = xy + xz
(4) Es gilt 1 != 0

3

Beweise den Satz zur endlichen geometrischen Reihe!

Sei (K, +, *) ein Körper, q aus K\{1} und n aus Nat. Dann gilt:
SUM_{i=0}^n q^i = (1 - q^{n+1})/(1 - q)

Beweis via Induktion über n aus Nat:

IA (n=0):
SUM_{i=0}^n q^i
= SUM_{i=0}^0 q^i
= q^0 = 1 = (1 - q)/(1 - q)
= (1 - q^{0+1})/(1 - q)
= (1 - q^{n+1})/(1 - q)

IS (n -> n+1):
z.z.: SUM_{i=0}^{n+1} q^i = (1 - q^{n+2})/(1 - q)
SUM_{i=0}^{n+1} q^i
= q^{n+1} + SUM_{i=0}^n q^i [Induktionsvoraussetzung]
= q^{n+1} + (1 - q^{n+1})/(1 - q)
= (q^{n+1} - q^{n+2})/(1 - q) + (1 - q^{n+1})/(1 - q)
= (q^{n+1} - q^{n+2} + 1 - q^{n+1})/(1 - q)
= (1 - q^{n+2})/(1 - q) q.e.d.

4

Wie ist die Fakultät n! einer Zahl n aus Nat definiert?

Die Fakultät n! einer Zahl n aus Nat ist das Produkt der natürlichen Zahlen kleiner gleich n, also:
n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1 = PROD_{i=1}^{n} i

5

Beweise folgende Aussage!

(n chose k) + (n chose k-1) = (n+1 chose k)

(n chose k) + (n chose k-1)
= n!/(k! * (n-k)!) + n!/((k-1)! * (n-(k-1))!)
= n!/(k! * (n-k)!) + n!/((k-1)! * (n-k+1)!)
= (n! * (n-k+1) + n! * k)/(k! * (n-k+1)!)
= (n! * ((n-k+1) + k))/(k! * (n-k+1)!)
= (n! * (n + 1))/(k! * (n-k+1)!)
= (n + 1)!/(k! * (n+1-k)!)
= (n+1 chose k) q.e.d.

6

Beweise den binomischen Lehrsatz!

Also beweise folgende Aussage:
(a + b)^n = SUM_{i=0}^{n} (n chose i)*a^{n-i}*b^i

Beweis via Induktion:

IA (n=0):
(a + b)^n = (a + b)^0 = 1
= 1 * a^0 * b^0
= (0 chose 0) * a^{0-0} * b^0
= SUM_{i=0}^{n=0} (n chose i)*a^{n-i}*b^i
= SUM_{i=0}^{n} (n chose i)*a^{n-i}*b^i

IS (n -> n+1):
z.z.: (a + b)^{n+1} = SUM_{i=0}^{n+1} (n+1 chose i)*a^{n+1-i}*b^{i}

(a + b)^{n+1} = (a + b) * (a + b)^n [IV]
= (a + b) * SUM_{i=0}^{n} (n chose i)*a^{n-i}*b^i