Maximum, Supremum, Polynome, Hauptsatz der Algebra Flashcards
Extremwertsatz ?
Nimmt eine differenzierbare Funktion ihr Maximum (oder Minimum) in einem inneren Punkt des Intervalls
an, so ist ihre Ableitung dort 0.
Mittelwertsatz ?
sei f differenzierbar auf dem Intervall I. Sind a,b € I beliebig mit a /= b, so gibt es zwischen a und b ein \ksi
Was ist ein Maximum ?
test
Notwendiges Kriterium für Extremstelle ?
f’(x) = 0
hinreichende Bedingung ?
Ist f zweimal differenzierbar, und gilt neben f’(x) = 0 auch f’‘(x) /= 0 so hat f an der Stelle x_{0} ein lokales Extremum.
Wann handelt es sich um ein lokales Minimum?
Ist f’(x) = 0 und f’‘(x) > 0 handelt es sich um ein lokales Minimum.
Wann handelt es sich um ein lokales Maximum?
Ist f’(x) = 0 und f’‘(x) < 0 handelt es sich um ein lokales Maximum.
Was wenn f’‘(x) = 0 gilt
keine Aussage über Art des Extremums kann gefallen werden.
Es muss weiter abgeleitet werden, n mal, bis f^n(x) /= 0 gilt.
ist n gerade:
f^n(x) > 0 liegt ein Minimum vor!
f^n(x) < 0 liegt ein Maximum vor!
ist n ungerade:
liegt ein Sattelpunkt vor.
Was wird bei nicht differenzierbaren Punkten gemacht ?
z.B. Randpunkte müssen extra betrachtet werden und z.B. der Größe nach verglichen werden.
Satz von Weierstraß bzgl. globale Extremwerte ?
Jede auf einem kompakten Intervall [a,b] stetige Funktion hat dort ein globales Maximum und ein globales Minimum.
Supremum ?
Eine Zahl s heißt kleinste obere Schranke oder Supremum von M (s=sup(M)), wenn
(i) s ist eine obere Schranke von M, und
(ii) wenn z ebenfalls eine obere Schranke von M ist, und es gilt s≤z.
Gegeben sei die Menge M:={x∈R:x<4}⊆R.
Was ist das Supremum von M?
Das Supremum von M ist in diesem Beispiel sup(M)=4. Die 4 ist eine obere Schranke von M, da diese größer oder gleich (in diesem Fall sogar größer) als jedes Element von M ist.
Die 4 liegt also oberhalb (jenseits) aller anderen Elemente.
Eine weitere obere Schranke wäre die Zahl 6. Allerdings suchen wir die kleinste obere Schranke. Daher ist die 4 die kleinste obere Schranke von M und somit das Supremum.
Infimum ?
Eine Zahl s heißt größte untere Schranke oder Infimum von M(s =inf(M)), wenn
(i) s ist eine untere Schranke von M, und
(ii) wenn z ebenfalls eine untere Schranke von M ist und es gilt s≥z.
Gegeben sei die Menge M⊆(3,4]. Was ist das Infimum und Supremum von M?
Das Infimum von M ist inf(M)=3. Dieser Wert liegt unterhalb (und in diesem Fall auch außerhalb) der anderen Elemente und stellt den größten unteren Wert dar und ist damit die größte untere Schranke (hingegen wäre 2 auch eine untere Schranken, aber eben nicht die größte untere Schranke).
Das Supremum von M ist sup(M)=4. Dieser Wert liegt oberhalb aller anderen Elemente (in diesem Fall aber noch innerhalb) und stellt den kleinsten oberen Wert dar und ist damit die kleinste obere Schranke von M.
Satz von Minimum und Maximum
Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen haben ein (globales) Minimum und ein Maximum.
