Variables aléatoires discrètes Flashcards Preview

Maths > Variables aléatoires discrètes > Flashcards

Flashcards in Variables aléatoires discrètes Deck (20)
Loading flashcards...
1
Q

Définition - Tribu

A

On appelle tribu sur l’ensemble Omega, toute partie A de P(Omega) telle que :
Omega appartient a A
A est stable par passage au complémentaire (dans Oméga) : pour tout B de A, Omega\B appartient a A
A est stable par union dénombrables : si (An)(ndeN) est une famille d’éléments de A, alors l’union U(ndeN)An appartient a A
Un couple (Oméga,A) ou A est une tribu est appelé espace probabilisable. Les elts de A sont des événements.

2
Q

Remarque a propo de la def de Tribu

A

On dit parfois que les evenements sont les parties mesurables, ou observables de Omega. Si A est une tribu sur Omega, alors Ø appartient a A, et A est stable par union finie, par intersection au plus dénombrable et par différence ensembliste.
Indeed: inter(ideN)Ai=_(U_Ai)
Soit A et B, A\B = An_B

3
Q

Exemple - Tribu

A

1/ {Ø,Oméga} est une tribu sur Omega. Appelée tribu grossiere, ou tribu triviale
2/ P(Oméga) est une tribu sur Oméga, appelée parfois tribu discrète, c’est souvent celle que l’on considère lorsque Omega est au plus dénombrable.

4
Q

Notion de tribu engendrée

A

On pourrait définir la notion de tribu engendrée par des elts de A. Par ex : si A est une partie de Oméga, la tribu engendrée par A est {A,Ø,Oméga,Oméga\A}

5
Q

Définition - Evènement élémentaire

A

On appelle événement élémentaire tout singleton appartenant a A

6
Q

Définition - Evènement impossible, événement certain

A

Ø est appelé événement impossible, et Omega est appelé évènement certain.

7
Q

Définition - événement contraire, conjonction et disjonction

A

Si A est un événement, son événement contraire est son complémentaire (dans Oméga)
On le note _A et on le nommera “non A”
Si A et B sont deux événements, on définit les événements “A et B” et “A ou B” correspondants respectivement a AnB et AuB
A et B sont dit incompatibles s’ils sont disjoints
AcB pourra sse lire : A implique B

8
Q

Définition - Probabilité

A

Une probabilité sur un ensemble probabilisable (Oméga, A) est une application P définie sur A, à valeurs dans [0,1 ] telle que :
1) P(Oméga)=1
2) (sigma-additivité) Pour toute suite (An)ndeN d’événements deux a deux disjoints: P(U(0,8)An)=som(0,8)P(An)
Si P est une probabilité sur (Oméga,A), on dit que (Oméga,A,P) est un espace probabilisé

9
Q

Définition - événement négligeables, événements presque sûrs

A

Un événement A est dit négligeable (resp. presque sûr) si P(A)=0 (resp(A)=1)

10
Q

Proposition - Se donner une probabilité

A

Si Oméga est fini ou dénombrable et si A=P(Oméga), une probabilité P sur (Oméga, A) correspond à la donnée, via la formule P({w})=pw d’une famille (pw)wdeOméga de réels positifs sommable de somme 1

11
Q

Proposition - Propriétés des probabilités

A

1) P(Ø)=0
2) (additivité finie) Pour tous événements A1,…,An incompatibles deux a deux P(U(1,n)Ai)=som(0,n)P(ai)
3) Pt evenement A, P(_A)=1-P(A)
4) Pt événements A et B, P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AnB)
5) P est croissante (pour l’ordre d’inclusion)

12
Q

Proposition - Continuité croissante

A

Si (An) nsup0 est une suite d’événements croissante pour l’inclusion, alors P(An) tend n(8) P(U(0,8)Ak)

13
Q

Proposition - Continuité décroissante

A

Si (An) nsup0 est une suite décroissante d’événements (pour l’inclusion) , alors P(An) tend (n,8) P(n(0,8)Ak)

14
Q

Proposition - Sous-additivité

A

Si (An)nsup0 est une suite d’événements, alors

P(U(0,8)An) inf som(0,8)P(An)

15
Q

Corollaire - Réunion d’événements négligeables

A

Une réunion finie ou dénombrable d’événements négligeables est négligeable

16
Q

Définition - Système complet d’événements

A

On appelle système complet d’événements toute partition au plus dénombrable de Oméga, ie toute famille au plus dénombrable d’événements deux a deux incompatibles, dont la réunion est égale a Oméga

17
Q

Exemple - Système complet d’événements

A

Si les singletons sont des événements, et si Oméga est au plus dénombrable, alors ({w})wdeOméga est un système complet d’événements

18
Q

Proposition - Formule des probabilités totales

A

Soit (Ai)ideI un SCE. Pour tout événement B on a P(B) = som(ideI) P(BnAi)

19
Q

Définition - Probabilité conditionnelle

A

Soit A et B deux événements, on suppose que P(B) sup stricte 0 (on dira alors que l’on peut conditionner par B). On appelle probabilité (conditionnelle) de A sachant B et on note PB(A) ou P(A|B) le reel P(AnB)/P(B)

20
Q

Formule des proba totale avec conditionnement

A

SOit (ai)ideN un système complet d’événement non négligeable, alors pour tout evenement B on a P(B) = som(0,8)P(B/Ai)P(Ai)