Chapitre 7 : Transformée de Fourier et Transformée en ondelettes

Question 1

Où se situe la plus grande partie de l’énergie d’une image?

Answer 1

Dans les basses fréquences

Question 2

C’est quoi le principe de l’analyse fréquentielle?

Answer 2

• Convertir du domaine spatial vers le domaine fréquentiel pour faire des manipulations.
• Ensuite, on convertit (conversion inverse) la solution du domaine fréquentiel vers le domaine spatial

Question 3

C’est quoi le domaine fréquentiel?

Answer 3

L’histogramme des fréquences

Question 4

C’est quoi le domaine spatial?

Answer 4

L’image

Question 5

C’est quoi l’outil de base pour l’analyse fréquentielle?

Answer 5

La Transformée de Fourier

Question 6

Vrai ou faux? On peut décomposer toute onde récurrente en une somme de sinusoïdes (fondamentale et harmoniques).

Answer 6

Vrai.

Question 7

Quels sont les 2 volets de l’étude d’une fonction périodique par les séries de Fourier?

Answer 7

1. L’analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ;
2. la synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l’aide de la suite de ses coefficients.

Question 8

C’est quoi le théorème de Fourier?

Answer 8

Un mouvement périodique de fréquence N peut se décomposer en une somme de mouvements sinusoïdaux de fréquence N, 2N, 3N, etc.

Question 9

C’est quoi le noyau de la Transformée de Fourier discrère?

Answer 9

Le noyau est une exponentielle complexe et qui crée donc des coefficients complexes.

Question 10

C’est quoi le noyau de la transformée en cosinus discrète (DCT)?

Answer 10

Le noyau de projection est un cosinus et crée donc des coefficients réels.

Question 11

La transformée en cosinus discrète est surtout utilisée pour faire quoi?

Answer 11

Le traitement du signal et de l’image, surtout en compression.
Analyse de texture.

Question 12

Vrai ou Faux? La transformée en cosinus discrète transforme un signal réel en signal réel (pas de nombres complexes) au moyen d’une somme de sinus

Answer 12

Vrai.

Question 13

Comment procède la DCT sur une image, en pratique?

Answer 13

1. l’image est découpée en blocs de taille 8x8 pixels

2. La transformée se calcule bloc par bloc

Question 14

Dans la DCT, qu’est-ce qui se trouve dans le coin supérieur gauche?

Answer 14

Les basses fréquences

Question 15

Dans la DCT, qu’est-ce qui se trouve dans le coin inférieur droit?

Answer 15

Les hautes fréquences.

Question 16

QU’est-ce qu’on supprime dans la DCT?

Answer 16

Les coefficients nuls ou proches de zéro.

Question 17

Vrai ou faux? Dans l’application de la transformée en cosinus discrète, un grand nombre de coefficients sont nuls.

Answer 17

Faux. Seul un petit nombre de coefficients sont non nuls, et peuvent donc être utilisés pour reconstruire l’image par transformée inverse (IDCT) lors de la décompression.

Question 18

C’est quoi une série de Fourier?

Answer 18

Série de Fourier -> toute fonction périodique. Sommation de fonctions sinus et cosinus de fréquences diverses. Chacune multipliée par un coefficient différent.

Question 19

Comment s’exprime la transformée de Fourier?

Answer 19

La transformée de Fourier s’exprime comme « somme infinie » des fonctions trigonométriques de toutes fréquences (sous forme d’intégrale).

Question 20

Expliquer le fonctionnement pratique de la transformée de Fourier.

Answer 20

1. Changement de la taille de l’image originale pour avec un nb de lignes et colonnes correspondant à une puissance de 2 (on remplit avec des zéros)
2. On applique la transformée et on obtient une partie réelle et une partie imaginaire.
3. O inverse les quadrants

Question 21

Où se trouvent les basses fréquences suite à une Transformée de fourier?

Answer 21

Au centre

Question 22

Où se trouvent les HAUTES fréquences suite à une Transformée de Fourier?

Answer 22

Sur les bords.

Question 23

Est-il possible de faire une relation entre les éléments de chaque fonction dans la transformée de Fourier?

Answer 23

Non.

Question 24

Dans la Transformée de Fourier, chaque terme de F(u,v) (i.e. chaque pixel de la transformée) est fonction de quoi?

Answer 24

Dans la Transformée de Fourier, chaque terme de F(u,v) (i.e. chaque pixel de la transformée) est fonction de TOUTES les valeurs de f(x,y) de l’image originale pondérées par l’exponentiel.

Question 25

Dans la TF, les fréquences sont reliées à quoi?

Answer 25

Les fréquences sont reliées directement aux taux de changement de tons de gris dans l’image.

Question 26

Dans la TF, qu’est-ce que le spectre d’amplitude met en évidence? Il nous informe sur quoi?

Answer 26

Le spectre d’amplitude met en évidence la présence d’orientations fortes dans l’image.
Il nous informe sur la présence de certaines fréquences (et de leur importance) dans l’image.

Question 27

Vrai ou faux? dans la TF, le spectre de phase est difficile à interpréter directement.

Answer 27

Vrai. Il donne toutefois l’essentiel de l’information d’une image.

Question 28

La transformée de Fourier discrète (DFT) permet de faire quoi?

Answer 28

• Filtrage : lissage, augmentation de la netteté
• Restauration : élimination des dégradations
• Classification : distinction de différents types d’images et régions (ex. analyse de texture)
• Compression : utilisée, mais certaines transformées sont plus adaptées (transformée en z, DCT)

Question 29

On efface quoi quand on fait le filtrage passe-BAS par TF?

Answer 29

On efface les hautes fréquences, donc on met les pixels loin du centre à zéro.

Question 30

Quel est l’effet d’un filtrage passe-BAS par TF?

Answer 30

Effet lissant, puisqu’on laisse passer les basses fréquences.

Question 31

On efface quoi quand on fait le filtrage passe-HAUT par TF?

Answer 31

On efface les basses fréquences de la TF en mettant les pixels au centre à zéro.

Question 32

Quel est l’effet d’un filtrage passe-HAUT par TF?

Answer 32

Fait apparaître les contours, les arêtes, laisse passer les hautes fréquences (changements brusques d’intensité)

Question 33

Quels sont les inconvénients de la TF?

Answer 33

• Donne une information globale et non locale
• Ne permet pas l’analyse des signaux dont la fréquence varie dans l’espace
• Aucune information de fréquence n’est disponible dans le domaine spatial / temporel et aucune information spatiale /temporelle n’est disponible dans la TF du signal.

Conséquences:
• La TF fournit le contenu fréquentiel du signal mais ne donne aucune information quant aux endroits où ces composantes fréquentielles apparaissent.
• Deux images différentes peuvent produire le même spectre de Fourier même si les fréquences de variation des niveaux de gris n’apparaissent pas aux mêmes endroits.
• Similarité avec l’histogramme d’une image qui recense la présence des niveaux de gris dans l’image; la TF est un histogramme des fréquences dans l’image.

Question 34

Quel est le plus grand avantage de la transformée en ondelettes?

Answer 34

La localisation spatiale dans l’image d’une composante fréquentielle particulière.

Question 35

Comment on applique une transformée de Fourier fenêtrée?

Answer 35

On applique la TF pour chaque morceau de l’image contenu dans une fenêtre. On doit décaler la fenêtre tout le long de l’image. C’est l’emplacement de la fenêtre sur l’image qui va nous donner l’info spatiale qui manquait à la TF.

Question 36

Quel est le problème avec la transformée de Fourier fenêtrée?

Answer 36

Problème de résolution: Problème au niveau de la largeur de la fenêtre :
o + la fenêtre est étroite, + la résolution spatiale est bonne mais + la résolution en fréquence est mauvaise, et inversement.
o Il faut faire le bon choix de fenêtrage par rapport à l’allure globale de l’image car la TFF s’effectue avec une FENÊTRE DE TAILLE FIXE POUR TOUTE L’IMAGE!!!

Question 37

Quelle est la principale différence entre la transformée de Fourier fenêtrée et la transformée en ondelettes?

Answer 37

Le principe est le même, mais on utilise une fenêtre (ondelette mère) dont la largeur est variable pour la transformée en ondelettes.

Question 38

Quel est le but de la transformée en ondelettes?

Answer 38

• Avoir plus de précision dans les résultats en fonction du type de fréquences (hautes et basses)
• Revient à résoudre le problème de résolution : analyse multi-résolution

Question 39

C’est quoi une ondelette et quelle est son utilisation?

Answer 39

Ondelette : petite onde (vague) qui a un début et une fin.
Utilisation : représente une fonction (ou un signal) comme une somme pondérée de ces petites ondes translatées ou dilatées.

Question 40

En quoi le paramètre d’échelle dans l’analyse d’ondelette est semblable à l’échelle utilisée dans les cartes?

Answer 40

Comme dans le cas des cartes, les hautes échelles correspondent à une vue globale non-détaillée (du signal), et les basses échelles correspondent à une vue détaillée.
1 :200000 basses fréquences, 1 :50 hautes fréquences.

Question 41

Pour la transformée en ondelettes, quel est le lien échelle et fréquence d’analyse?

Answer 41

• L’échelle est l’inverse de la fréquence: a = 1/f

* Les hautes échelles correspondent aux basses fréquences et les basses échelles correspondent aux hautes fréquences.

Question 42

Quel est le principe de la transformée en ondelettes discrète basée sur l’analyse multi-résolution?

Answer 42

Le signal est passé par une série de filtres passe haut pour analyser les hautes fréquences, et passe bas pour analyser les basses fréquences.
On applique d’abord un filtre passe-haut ou passe-bas sur les lignes de l’image (2 images résultantes) Puis on applique un filtre passe-haut ou passe-bas sur les images filtrées, on obtient donc 4 images finales: une approximation de l’image initiale (2 filtres passe-bas LL), Détail hori (LH) Détail vert (HL) Détail diag (HH)

Question 43

Quelles sont les applications des ondelettes pour les images?

Answer 43

Compression
Débruitage
Détection de contours, d’objets
Synthèse de textures