Conjuntos

Question 1

Término no Pertenece

Answer 1

5 no pertenece al conjunto A <-> ~(5€A)

Question 2

Conjuntos definidos por extensión

Answer 2

Se anotan todos los “x” elementos del “U” conjunto (Sólo es posible en conjuntos finitos) por ej:
A= {1,2,3,4}

Question 3

Conjuntos definidos por comprensión

Answer 3

Un conjunto “U” se define por comprensión, si sólo se da la propiedad que caracteriza a sus “x” elementos , ej:
A={x/ “x€N “y” (x<4,00001)” }

Question 4

Conjunto universal “U”

Answer 4

U≠ø ej: si el conjunto “B” contiene los elementos B={1,2,3,4,5} y a la vez este “B” esta incluido en el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7} , y se puede definir:
B={x€U/ x<5,00000001}
O también
B={x€N/ x<5,00000001}

Question 5

Conjuntos infinitos

Answer 5

Son aquellos conjuntos “U” que no se puede determinar la cantidad de “x” elementos que tienen , por ej:
A={1,2,3,4,5,6,7,8……….} , A={x/”x€N”}
B={x/”x es una recta del espacio”}

Question 6

Conjuntos finitos

Answer 6

Son los que tienen cantidad determimada de “x” por ej:
B={x/”x€N” “y” “x<6.01”}, B={1,2,3,4,5,6}

Question 7

Conjunto Unitario

Answer 7

Conjunto que tiene un único elemento, ej:
B={x/”x+3=0”}

Question 8

Conjunto Vacío ø

Answer 8

Carece de elementos , ej:
ø={x/”x≠x”}
ø={x/”x^2 + 2=0”} si x€R

Question 9

Inclusión “c”

Answer 9

Siendo A y B 2 conjuntos, si ocurre que todo “x” que pertenece a A , pertenece a B, es que “AcB” A esta incluido en B
AcB <-> ¥x, x€A->x€B
x€A->x€B=@ implicación, por ej:
Si x=a, a€A (V) -> a€B (V) F(@)= V
Si x=e, e€A (F)-> e€B (V) F(@)= V

Teoremas

1) ¥A, se cumple que øcA
x€ø (F) ->x€A (V “o” F)= V l.q.q.d
2)¥A, se cumple que AcA
F(x€A->x€A)=V

Si A no es subconjunto de B se anota: AçB<->(£x/x€A “y” x no pertenece a B) A no esta incluida en B si y solo si, existe un elemento que pertenezca a A pero no a B.

Propiedades:
1) Antisimetría. Si (AcB) “y” (BcA) -> A=B
2) Transitividad, Si AcB “y” BcC -> AcC

Question 10

Igualdad de Conjuntos

Answer 10

A=B <-> AcB “y” BcA
Ej Indica si A=B
A= {x/ x es una vocal débil}={i,u}
B= {x/ x es vocal de la palabra Visnú}
A=B=(i,u)
A<->B

Question 11

Conjuntos disjuntos

Answer 11

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común por ej:
A={ x/ x^2 -16=0}
B={x/ x^2 -4=0}
A y B son disjuntos

Question 12

Diferencia Simétrica

Answer 12

A◇B= (A-B)U(B-A)

A◇B= (A y B^c) U (B y A^c)

Propiedades

I. Conmutativa
A◇B=B◇A

II. Neutro
A◇ø=ø◇A=A
A◇ø=(A-ø)U(ø-A)=AUø=A

III Inverso
A◇A=ø
A-A U A-A= øUø= ø

IV Asociatividad
(A◇B)◇C= A◇(B◇C)

Question 13

Conjunto de Partes o Conjunto Potencia

Answer 13

Se llama conjunto potencia de un conjunto A ,al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A :

P(A) = {x/ xcA}
x€P(A)<->xcA

Obs.- AcA -> A€P(A)
øcA -> ø€ P(A)
P(ø)={ø}

Propiedades.-

P(A y B) = P(A) y P(B)

P(A) U P(B) c P(AUB)

P(A-B) c [ P(A)-P(B)] U {ø}

Question 14

Conjunto solución de un esquema proposicional

Answer 14

Sea F(x) donde x€U
A={x/F(x)}
Ej:
Si G(x)= “x^2+3=7” -> B={2,-2} , B={x/G(x)}

Question 15

Complemento de conjuntos

Answer 15

A es un subconjunto de U
A^c
A^c={x/ x€U “y” x no pertenece a A}
x€A^c <-> ~ x no pertenece a A

Teorema:

Complemento del conjunto Vacío
ø^c <-> U
ø^c={x€U/ x no pertenece a ø}

Complemento del conjunto universo
U^c=ø
U^c={x€U/ x no pertenece a U} = ø

Propiedades

1) Involución (A^c)^c= A
2) AcB -> B^c c A^c

Question 16

Unión de Conjuntos

Answer 16

AUB , AvB
AUB = {x/x€A v x€B}
AUB <-> x€A v x€B}

Propiedades
I. Idempotencia AUA =A
II. Asociatividad (AUB)UC = AU(BUC)
III. Conmutatividad AUB = BUA
IV. Elemento neutro AUø= A

Question 17

Intersección de conjuntos

Answer 17

A “y” B = {x/ x€A “y” x€B}

Propiedades
I. Idempotencia A y A = A
II. Asociatividad A y ( B y C) = (A y B) y C
III. Conmutatividad A y B = B y C
IV . Elemento neutro A y U =A

Recuerde x€ø=F , x€U= V

Leyes distributivas
AU(B y C) = AUB y AUC

Question 18

Leyes de Morgan

Answer 18

Teorema 1. (AUB)^c = A^c y B^c

Teorema 2. (A y B)^c = A^c U B^c

Question 19

Diferencia de Conjuntos

Answer 19

La diferencia A-B entre A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.
A-B= {x / x€A y x no pertenece a B}

Observaciones

A-B ≠ B-A no es conmutativa

A-B <-> A y B^c

Question 20

Número de elementos de un conjunto

Answer 20

Número de elementos de un conjunto A : n(A)

. Si A y B son conjuntos finitos y disjuntos : n(AUB) = n(A) + n(B)

.Si A y B son conjuntos no necesariamente disjuntos: n(A) = n(A-B) + n(AyB)

.Si A y B son conjuntos no necesariamente disjuntos
n(AUB) = n(A-B) + n(B-A) + n(A y B )

. Si A y B no son disjuntos
n(AUB) = n(A) +n(B) - n(A y B)

Si A, B y C no son necesariamente disjuntos

n(AUBUC)= n(A)+n(B)+n(C)-n(AyB)-n(AyC)-n(ByC)+n(AyByC)