examen final

Question 1

intégration de sin^n x ou cos^n x
si n est impair

Answer 1

• sortir une puissance de 1 pour jouer le rôle de la dérivée
• utiliser cos^2 x + sin^2 x = 1
• intégrer avec changement de variable

Question 1

intégrale de a^x

Answer 1

a^x / ln a + C

Question 2

intégration de sin^n x ou cos^n x
si n est pair

Answer 2

• écrire en base sin^2 x ou cos^2 x
• utiliser sin^2 x = 1 - cos2x /2 ou
  cos^2 x = 1 + cos2x /2

Question 3

intégrale sin^mx * cos^n x
si m ou n est impair

Answer 3

• sortir une puissance de 1 de l’exposant le plus petit
• utiliser cos^2 x + sin^2 x = 1
• changement de variable

Question 4

intégrale sin^mx * cos^n x
si m et n sont pairs

Answer 4

• écrire une puissance de sinxcosx
• utiliser sinxcosx = sin2x/2
• utiliser sin^2 x = … ou cos^2x = …

Question 5

intégrale de sec^n x ou cosec^n x
si n est pair

Answer 5

• sortir une puissance de 2
• utiliser 1+tan^2 x = sec^2 x
• changement de variable

Question 6

intégrale de sec^n x ou cosec^n x
si n est impair

Answer 6

intégration par parties avec sec^2 x

Question 7

intégrale de sec^n x tan^m x OU cosec^n x cotan^m x
si n est pair

Answer 7

• sortir sec^2 u = dérivée
• mettre le reste en tan
• intégrer par changement de variable

Question 8

intégrale de sec^n x tan^m x OU cosec^n x cotan^m x
si n est impair

Answer 8

• m est impair:
  secxtanx = dérivée
  mettre reste en sec x
  changement de variable
• m est pair:
  transformer tout en sec pour avoir intégrale de sec^n ou n est impair

Question 9

n!

Answer 9

n x (n-1) x (n-1) x …

Question 10

0!

Answer 10

1

Question 11

1!

Answer 11

1

Question 12

2!

Answer 12

2 x 1

Question 13

3!

Answer 13

3 x 2 x 1

Question 14

convergence d’une SUITE

Answer 14

lim an (n –> infini) = L
suite converge vers L

Question 15

divergence d’une SUITE

Answer 15

lim an (n –> infini) = infini ou n’existe pas

Question 16

croissance d’une SUITE

Answer 16

an < a(n+1)

Question 17

décroissance d’une SUITE

Answer 17

an > a(n+1)

Question 18

si an converge, … (borne)

Answer 18

elle est bornée

Question 19

si an n’est pas bornée, … (convergence)

Answer 19

an diverge

Question 20

série harmonique

Answer 20

1 / i
diverge

Question 21

série géométrique

Answer 21

ar^ (i-1)
a = premier terme
r = terme qui multiplie

Question 22

série géométrie (Sn)

Answer 22

Sn = a (1-r^n) / 1-r

Question 23

série géométrique (convergence)

Answer 23

|r| < 1 et S = a/1-r

Question 24

série géométrique (divergence)

Answer 24

|r| > ou égal 1

Question 25

critère du terme général

Answer 25

• si série diverge, lim an (n–> infini) n’est pas égal à 0
• si = 0, pas de conclusion

Question 26

critère de l’intégral

Answer 26

si f(i) = ai est positive, continue et décroissante sur i > 1
- si intégrale converge = série converge
- si intégrale diverge = série diverge

Question 27

Série de riemann (série-p)

Answer 27

série 1/i^p
- si p < ou égal 1, diverge
- si p > 1, converge

Question 28

Critère des polynômes

Answer 28

P(i) / Q (i)
d = q -p
- si d < ou égal 1 = diverge
- si d > 1, converge

Question 29

critère de d’Alembert (avec n! ou a^n)

Answer 29

R = lim (n–> infini) a (n+1) / an
- si R < 1, converge
- Si r > 1, diverge
- si r = 1, aucune conclusion

Question 30

critère de cauchy (avec a^n ou n^n)

Answer 30

R = lim (n–> infini) racine n de an
- si R < 1, converge
- Si r > 1, diverge
- si r = 1, aucune conclusion

Question 31

Critère des séries alternée

Answer 31

(-1)^i ou (-1) ^(i +1)
crit. du terme générale sans le (-1)^i ou (-1) ^(i +1)

Question 32

convergence absolue série alt
(critères à utiliser)

Answer 32

crit gén de d’alembert ou crit générale de cauchy (avec | | )

Question 33

convergence conditionelle série alternée

Answer 33

si ai converge mais |ai| diverge

Question 34

série de puissance
intervalle (I)

Answer 34

toutes les valeurs ou x converge

Question 35

série de puissance
(rayon)

Answer 35

x - a /2

Question 36

série de puissance:
si R = infini
I = ?
r = ?

Answer 36

I = (valeur ou la série converge)
r = 0

Question 37

série de puissance:
si R = 0
I = ?
r = ?

Answer 37

I = R
r = infini

Question 38

série de taylor
(formule)

Answer 38

f (x) = f^(i) (a) / i! x (x-a)^i

Question 39

série de mclaurin

Answer 39

série de taylor où a = 0

Question 40

série de taylor
e^x

Answer 40

x^i/ i!

Question 41

critère de comparaison

Answer 41

série a (comparée) et b (comparant)
si b converge:
a > b
si b diverge:
a < b