Flerdim Instuderingsfrågor

Question 1

Vad menas med en inre punkt respektive randpunkt till en mängd M i ℝ²?

Question 2

Vad menas med att en mängd M i ℝ² är öppen?

Question 3

Vad menas med att en mängd M i ℝ² är sluten?

Question 4

Vad menas med att en mängd M i ℝ² är kompakt?

Question 5

Vad menas med att en mängd M i ℝ² är begränsad?

Question 6

Hur inför man polära koordinater i planet?

Question 7

Hur inför man rymdpolära koordinater?

Question 8

Vad menas med en funktion från Rⁿ
till Rᵖ? Ge några exempel då p = 1 och några
exempel då n = 1

Question 9

Betrakta funktioner från ℝ² till ℝ. Vad menas med grafen till en sådan funktion? Ge exempel.

Vad menas med en funktionsyta? Vad är värdemängden? Ge exempel. Vad menas med en nivåyta?

Question 10

Betrakta funktioner från ℝ³ till ℝ. Vad menas med grafen till en sådan funktion? Ge exempel.

Vad menas med en funktionsyta? Vad är värdemängden? Ge exempel. Vad menas med en nivåkurva?

Question 11

Betrakta funktioner från ℝ till ℝ². Vad är värdemängden?

Question 12

Förklara hur en cirkel (eller annan kurva i planet) kan beskrivas med hjälp av en funktion från ℝ till ℝ² eller med hjälp av en funktion från ℝ² till ℝ.

Question 13

Låt f vara en funktion från ℝ² till ℝ. Vad menas med att f (x, y) → A då (x, y) → (a,b)? Vad menas med att f är kontinuerlig i (a,b)? Vad menas med en kontinuerlig funktion?

Question 14

Vad menas med att den reellvärda funktionen f (x, y) är partiellt deriverbar i punkten (a,b)? Vilken är den geometriska betydelsen av de partiella derivatorna i detta fall?

Question 15

Ange en ekvation för tangentplanet till ytan z = f (x, y) i punkten (a,b, f (a,b)).

Question 16

Vad menas med att funktionen f från ℝ² till ℝ är differentierbar i en punkt (a,b)? Vad menas med differentialen i en punkt? Ge en geometrisk tolkning av differentialen.

Question 17

Visa att om funktionen f (x, y) är differentierbar så är den också
a) kontinuerlig
b) partiellt deriverbar

Question 18

Formulera kedjeregeln för en sammansatt funktion av formen
a) h(x, y) = f (g(x, y)),
b) h(x) = f (g1(x), g2(x)),
c) h(x, y) = f (g1(x, y), g2(x, y)).

Bevisa b).

Question 19

Definiera vad som menas med gradienten av f , om f är en reellvärd funktion av flera variabler. Ange en geometrisk tolkning.

Question 20

Definiera begreppet riktningsderivata för en reellvärd funktion av två variabler.

Ange en formel för beräkning av riktningsderivatan. Bevisa formeln.

Question 21

I vilken riktning har f (x, y) sin maximala tillväxthastighet, och hur stor är denna? Bevisa ditt påstående.

Question 22

Bevisa att vektorn grad f (a,b) är normal till kurvan f (x, y) = f (a,b) i punkten (a,b).

Question 23

Ange alla funktioner f(x, y) i planet som uppfyller den partiella differentialekvationen ∂f/∂x = 0.

Question 24

Hur kan resultatet i föregående fråga användas för att bestämma en ekvation för tangenten i (a,b) till kurvan? Generalisera till ytor och tangentplan.

Question 25

Formulera Taylors formel av andra ordningen för en funktion av två variabler och skissera beviset.

Question 26

Vad menas med att en reellvärd funktion av två variabler har lokalt maximum (minimum) i en punkt (a,b)?

Question 27

Definiera begreppet stationär punkt för en funktion av flera variabler.

Question 28

Bevisa att en lokal inre extrempunkt för en reellvärd, partiellt deriverbar funktion av två variabler är en stationär punkt.

Question 29

Vad menas med att en kvadratisk form Q på ℝ² (ℝ³) är:
a) positivt (negativt) definit
b) indefinit
c) semidefinit?

Ge exempel på sådana former i två och tre variabler

Question 30

Antag att (a,b) är en stationär punkt för funktionen f (x, y). Vilka slutsatser om funktionens uppförande i en omgivning av (a,b) kan man dra med hjälp av den kvadratiska formen i Taylorutvecklingen av f i (a,b)?

Question 31

Hur går man tillväga för att bestämma det största (minsta) värdet av en funktion f(x, y) definierad på en kompakt mängd i ℝ²? Vilken sats utgör den teoretiska grunden för metoden?

Question 32

Studera något exempel på hur man genom avskärning ibland kan återföra optimeringsproblemet över en icke-kompakt mängd på det kompakta fallet.

Question 33

a) Betrakta problemet att söka maximum av en funktion f (x, y) under bivillkoret g(x, y) = 0.
Visa att om (a,b) är en maximipunkt så är vektorerna grad f(a,b) och grad g(a,b) parallella.

b) För praktiskt räknebruk kan resultatet i a), och motsvarande i tre variabler, formuleras antingen med Lagranges multiplikatormetod eller (ibland) med en determinant. Hur går detta till?

Question 34

Hur bestämmer man tangenten till en kurva som parametriseras av funktionen t→r(t)? Fysikalisk betydelse?

Question 35

Låt f vara en funktion från Rⁿ till Rᵖ. Vad menas med dess funktionalmatris och funktionaldeterminant (om n = p)? Vad menas med linjäriseringen av f?

Question 36

Formulera implicita funktionssatsen i fallet F(x, y) = C om man vill lösa ut:
a) y som funktion av x
b) x som funktion av y

Motivera med en figur.

Question 37

Formulera två varianter för beräkning av en dubbelintegral som itererad enkelintegral.

Question 38

Skriv upp formeln för variabelbyte i en dubbelintegral. Förklara de ingående beteckningarna och ange förutsättningarna.

Question 39

Vad menas med en Riemannsumma? Vad händer med en sådan då indelningensfinhet går mot noll?

Question 40

Beskriv några metoder att beräkna trippelintegraler.

Question 41

Hur beräknar man volymer med användning av dubbelintegral? När kan man ha nytta av att använda trippelintegral?

Question 42

Hur beräknar man en kurvintegral direkt enligt definitionen?

Ge en fysikalisk tolkning av begreppet kurvintegral.

Question 43

a) Formulera Greens formel med alla förutsättningar.
b) Bevisa formeln i fallet
Q = 0 och D = {(x, y); ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x), a ≤ x ≤ b}
(formel (9.8) i läroboken).

Question 44

Ge exempel på att Greens formel i allmänhet inte kan användas om förutsättningarna saknas i någon punkt.

Question 45

Härled med hjälp av Greens formel en metod att beräkna arean av ett plant område.

Question 46

Vad menas med ett potentialfält (konservativt fält) och vad menas med en potential? Vad menas med en exakt differentialform?

Question 47

Hur går man tillväga för att bestämma potentialen till ett konservativt fält?

Question 48

a) Visa att för ett potentialfält (P,Q) med potentialen U är
∫γ Pdx+Qdy = U(x₁, y₁)−U(x₀, y₀), om (x₀, y₀) och (x₁, y₁) är start- respektive slutpunkt på kurvan γ.

b) Av a) följer att för ett potentialfält är kurvintegralen oberoende av vägen.
Gäller omvändningen?

Question 49

a) Visa att om kraftfältet (P,Q) är ett potentialfält så är ∂P
∂y=∂Q/∂x.
För att även omvändningen skall gälla krävs att fältet är definierat i ett område Ω med en speciell egenskap. Vilken?

b) Skissera beviset för att likheten ∂P/∂y=∂Q/∂x medför att fältet är ett potentialfält under denna extra förutsättning.

c) Ge exempel som visar att utan denna extra förutsättning kan man inte dra några slutsatser.