Homogena system

Question 1

Definition Vad är lösningsrummet?

Answer 1

Mängden V av alla vektorvärda funktioner x(t) som löser x’(t) = A(t)•x(t) på ett intervall I

Question 2

Lemma 107 låter x₁, x₂,…, x_k vara lösningar till ett homogent system. Vad är de tre ekvivalenta påståendena?

Answer 2

1. x₁, x₂,…, x_k är linjärt oberoede i V
2. x₁(t), x₂(t),…, x_k(t) är linjät oberoende i Rⁿ för alla t tillhörande I
3. x₁(t₀), x₂(t₀),…, x_k(t₀) är linjärt oberoende för något t₀ tillhörande I

Question 3

Definition När utgör x1,.., xn tillhörande V en bas till systemet x’ = A(t)•x

Answer 3

Om vektorerna x₁,.., x_n tillhörande V är linjärt oberoende i V och om varje vektor x tillhörande V kan framställas som en linjärkomination (x = c₁x₁+…+c_nx_n)

Question 4

Vad är:

en Fundamentalmatris?

Wronski-determinanten?

Answer 4

Fundamentalmatrisen

F(t)=[x₁;x₂;…;x_n]

där kolonnvektorerna består av derivator[x, x’, x’’, x’’‘,…]

Wronskideterminanten är: det F(t)

Question 5

Sats 113 Tre ekvivalenta påståenden för ett homogent system gällande Fundamentalmatriser

För funktionerna x₁(t),…,x_n(t) i lösningsrummet V till

x’ = A(t)•x(t)

Answer 5

1. Matrisen F(t) = (x1(t),…,xn(t)) är fundamentalmatrisen för systemet
2. det F(t) olika 0 för varje t tilhörande I
3. det F(t) olika 0 för något t₀ tilhörande I