Hoofdstuk 3: Lijnintegralen

Question 1

Is f : [a, b] → R^n
integreerbaar, dan is:

Answer 1

p42

Question 2

Geef de definitie van een gladde kromme + eigenschappen

Answer 2

p43

Question 3

Bespreek parametervoorstelling + tekening

Answer 3

p43

Question 4

veronderstel dat:
ϕ(t) = (ϕ1(t), ϕ2(t)) (a<t <b)
ψ(u) = (ψ1(u), ψ2(u)) (c<u<d)
twee parametervoorstellingen van eenzelfde gladde vlakke kromme Γ zijn. Dan bestaat er 1
en juist 1 functie θ : [a, b] → [c, d] met de volgende eigenschappen:
-θ : [a, b] → [c, d] is strikt stijgend of strikt dalend
-θ ∈ C^1 [a, b]
-θ’(t) != 0 voor alle a<t<b
-ϕ = ψ ◦ θ.

Answer 4

p44

Question 5

Definieer overgang

Answer 5

p45

Question 6

definieer booglengte

Answer 6

p45

Question 7

Bewijs: De lengte van een gladde kromme is minstens de lengte van het lijnstuk dat
haar uiteinden verbindt.

Answer 7

p46

Question 8

Definieer lijnintegraal van een continu scalairenveld

Answer 8

p46

Question 9

Bewijs: De waarde van een lijnintegraal hangt niet af van de gebruikte parametervoorstelling.

Answer 9

p47

Question 10

Bewijs: Is f een continu scalairenveld over de gladde kromme Γ, dan is:
vul ook aan

Answer 10

p47

Question 11

Definieer lijnintegraal van een continu vectorveld

Answer 11

p48

Question 12

de overgang (theita) is een welbepaalde functie met stricte voorwaarden. Naast deze voorwaarden kan men ook iets meer vertellen over het “gedrag” van die functie, definieer dit.

Answer 12

p49

Question 13

Bewijs: Gaat men van een parametervoorstelling van de gladde kromme Γ over op een
gelijk georienteerde parametervoorstelling, dan blijft de waarde van de lijnintegraal Γ \int(F.ds)
onveranderd; gaat men over op een tegengesteld georienteerde parametervoorstelling, dan
verandert de lijnintegraal van teken.

Answer 13

p49

Question 14

Bewijs en vul aan:
Is F een continu vectorveld over Γ, dan is:

Answer 14

p50

Question 15

Definieer stuksgewijs gladde kromme

Answer 15

p50

Question 16

leg de meetkundige interpretatie van een lijnintegraal over een continu vectorveld uit

Answer 16

De lijnintegraal van een vectorveld berekent dus een gewogen gemiddelde
van de tangentiele component van F over de kromme Γ.
Stelt het vectorveld F de inwerking voor van een krachtveld, dan geeft de integraal van F.dS over de gladde kromme Γ de arbeid nodig
om een deeltje in het krachtveld langs de kromme Γ van het beginpunt naar het eindpunt te
brengen.

Question 17

definieer (in woorden) wat de lijnintegraal van een continu scalairenveld langs een stuksgewijs gladde kromme inhoudt.

Answer 17

De lijnintegraal van een continu scalairenveld langs een stuksgewijs gladde
kromme is de som van de lijnintegralen langs de gladde krommen waaruit de stuksgewijs
gladde kromme bestaat.

Question 18

definieer (in woorden) wat de lijnintegraal van een continu vectorenveld langs een stuksgewijs gladde kromme inhoudt.

Answer 18

De lijnintegraal van een continu vectorveld langs een stuksgewijs gladde
kromme is de som van de lijnintegralen langs de gladde krommen waaruit de stuksgewijs gladde
kromme bestaat, waarbij telkens het eindpunt van de ene gladde kromme moet samenvallen
met het beginpunt van de volgende gladde kromme.

Question 19

Definieer het concept conservatief zijn van een vectorveld over een opengebied.

Answer 19

Een vectorveld F gedefinieerd in E noemen we conservatief als het continu is en als:
\int(F.dS) over Γ dezefde waarde heeft langs alle gebroken lijnen Γ in E met hetzelfde begin- en eindpunt.

Question 20

Bewijs: Eerste hoofdstelling voor lijnintegralen: Gradient van een lijnintegraal
Definieer ook de stelling

Answer 20

p52

Question 21

Bewijs: Tweede hoofdstelling voor lijnintegralen: Lijnintegraal van een gradient
Definieer ook de stelling

Answer 21

p53

Question 22

Uit de 2 hoofdstellingen voor lijnintegralen voor een continu vectorveld F in een open gebied kan men verschillende uitspraken maken die onderling gelijkwaardig zijn, wat zijn deze? leg uit + bewijs deze

Answer 22

p53