Linjära DE:er av 2:a ordningen, homogena

Question 1

Linjär DE av andra ordningen, form?

Answer 1

y’’ + p(t)y’ + q(t)y = g(t)

L(t,D)y = g(t) (Där L(t,D) = D² + p(t)D + q(t), D=d/dt)

om g(t) = 0 så är DE:en homogen annars inhomogen

Question 2

Sats 122 vad kan sägas om linjärt beroende och Wronski-derterminaten

Answer 2

om y₁ och y₂ i C¹ är linjärt beroende så är deras wronski-determinant indentiskt lika med 0 på intervallet I.

Obs! ej omvänt, kan inte bevisa linjärt beroende även om W(y₁,y₂)(t) = 0 på R

Question 3

Korollarium 123 Vad innebär det när W(y₁,y₂)(t₀) är olika 0 för något t₀ tillhörande I

Answer 3

då är y₁ och y₂ linjärt oberoende på I

Obs! kan ej heller omvändas, finns funktioner som är linjärt oberoende och W(y₁,y₂)_=_0 på R

Question 4

Sats 125 Allmänna lösningen till L(t,D)y = 0 om y₁(t) och y₂(t) är lösningar till DE:en

Answer 4

y(t) = c₁y₁(t) + c₂y₂(t)

Question 5

Lemma 127 Abels formel

Om y₁(t) och y₂(t) är lösningar till L(t,D)y = 0 på I

Answer 5

så är

W(y₁,y₂)(t) = c•e^{-\int{p(t)}dt}

För alla t tillhörande I, c=konstant

Question 6

Sats 128 4 ekvivalenta påståenden

antar y₁(t) och y₂(t) är lösningar i intervallet I till L(t,D)y=0

Answer 6

1. W(y₁,y₂) år olika 0 för något t tillhörande I
2. W(y₁,y₂) år olika 0 för varje t tillhörande I
3. y₁(t) och y₂(t) är linjärt oberoende på I
4. y₁(t) och y₂(t) bildar en bas till lösningsrummet för DE:en L(t,D)y=0

Question 7

Sturms jämförelsesats, VIKTIG!

Antag y₁ och y₂ utgör en bas för lösningsrummet V till DE:en L(t,D)y=0

Vad medför detta?

Answer 7

Att y₁(t) har precis ett nollställe mellan varje par konsekutiva nollställen till y₂ och omvänt