Lipschitzvillkor Flashcards
Definition: Vad är en konvex delmängd?
En delmängd är konvex om för varje par x, y tillhörande delmängden om hela sträckan mellan dem ligger i delmängden.
Definition: Globalt Lipschitzvillkor
funktionen f(t, x) sägs uppfylla ett (globalt) Lipschitzvillkor i delmänden \Omega tillhörande R×Rn om det finns en konstant L sådan att:
för varje (t,x) och (t,y) i \Omega
f(t,x) - f(t,y) | =< L|x-y|
Lokalt Lipachitzvillkor?
om varje punkt i \Omega har en omgivning där ett Lipschitzvillkor gäller för någon konstant L
Lemma 93. Krav för uppfyllande av ett globalt Lipschitzvillkor
Antag \Omega delmängd till R×Rn är konvex och begränsad, f(t, x) och f’s partiella derivator med avs. på x1, x2,…,xn är kontinuerliga på det slutna höljet \hat{\Omega}.
Sats 94 Lokala existens- och entydighetssatsen
Har begynnelsevärdesproblemet:
x’(t) = f(t,x(t)), x(t0) = x0
f(t,x) är en kontinuerlig funktion i en omgivning av (t0,x0) tillhörande R×Rn och uppfyller ett lokalt Lipschitzvillkor där. Då finns ett öppet intervall kring t0 i vilket begynnelsevärdesproblemet har en entydig lösning.
Sats 95 Globala existens och entydighetssatsen
Begynnelsevärdesproblemet:
x‘(t) = f(t,x(t)), x(t0) = x0, t0 tillhör [a,b]
f(t,x) är en kontinuerlig funktion som uppfyller ett globalt Lipschitzvillkor i en området \Omega =[a,b]×Rn. Då har begynnelsevärdesproblemet en entydig lösning x(t) för t tillhörande [a,b]
Picard’s iterationsförfarande?
sätt I = [a,b]
T(x(t)) = x0 + int f(s, x(s))ds (från t0 till t), låt x0(t0)_=_x0
(första approximativa lösningen)
sedan :
xn+1(t) = T(xn(t)) = x0 + int f(s, xn(s))ds (från t0 till t)
n=0,1,2,….
Minns du…
Hur gör man induktionsbevis?
visa först för n = 1
antag sedan att det gäller för n = n-1
visa sedan att om det gäller för n = 1 och n = n-1 måste det också gälla för n = n
Sats 99 Peanos existenssats. Vad garanterar existensen av en lösning men inte entydigheten(Lipschizvillkoret)
om funktionen f(t,x) är kontinuerlig i en omgivning av en punkt (t0,x0) tillh. R×Rn så har begynnelsevärdesproblemet en lösning som är kontinuerligt deriverbar för t i något intervall I med t0 tillh. I
