Modul 4 Differentialekvationer

Question 1

Homogen ekv av ordning 1 standardform + generell lösning

Answer 1

y’+ky=0

y(x)= Ce^-kx där C är en godtycklig konstant

Question 2

y’+ky=h där k är en konstant
Vad är y(x)?

Answer 2

y(x)=Ce^-kx + h/k
om k inte är0

Question 3

y’+2y=6
y(x)=?

Answer 3

h=6
k=2

y(x) = Ce^-2x + 6/2
y(x) = Ce^-2x + 3

Question 4

Newtons avsvalningslag (även uppvärmning)

Answer 4

T’(t)= k(T(t)-T0) där k<0
En kropps temperatur är proportionell mot differensen mellan kroppens aktuella temp T(t), och omgivningens temp (oftast en konstant)

Question 5

T’(t)=k(T(t)-20) där 20°C är rumstemp
Vad är T(t)?

Answer 5

T’= k(T-20)
T’ = kT -20k (standardform)
T(t) = Ce^kt + (-20k/-k)
T(t) = Ce^kt + 20

Question 6

Homogen ekv av ordning 2 standardform

Answer 6

y’’ +Py’+qy=0

Question 7

Steg för att lösa homogen ekv av ordning 2

Answer 7

1. Skapa en karakteristisk ekv
   y’’->r^2
   y’ ->r^1
   y->r^0=1
   r^2+pr+q=0
2. Finn r1 och r2 mha ex. pq formeln
   x=-p/2 +/- rot((P/2)^2-q)
   [x^2 +pq+q=0]
3. Dra slutsats (3 fall)

Question 8

pq formeln

Answer 8

x^2 +px +q =0
x = -p/2 +/- rot((p/2)^2 -q)