Natürliche Zahlen Flashcards
Zahlenraum
- Teilmengen der natürlichen Zahlen, die im Mathematikunterricht der Grundschule i.d.R. als Ganzes
eingeführt werden (z.B. Zwanzigerraum, Hunderterraum,…) - Ggf. sind damit Erweiterungen der Zahldarstellung verbunden
(Erweiterung des Stellenwertsystems)
Zahlbereich
- Algebraische Struktur, die durch eine konzeptuelle Erweiterung des Zahlsystems entsteht
(z.B. ganze Zahlen, rationale Zahlen,…) - Meist verbunden mit grundlegender Erweiterung und/oder Einschränkung der verfügbaren Zahlaspekte
- Meist Veränderung grundlegender Eigenschaften der Zahlenmenge (Beschränktheit, Dichtheit, Vollständigkeit)
Arithmetik
Thema: Rechnen mit Zahlen
Verfahren & Strategien, die auf das Rechnen mit konkreten Zahlen angewendet werden können
Algebra
Thema: Beziehungen zwischen Zahlen und Operationen
Strukturelle Beziehungen, die verallgemeinert werden können und über einzelne konkrete Zahlen hinausgehen
“algebraisches Denken”
algebraisches Denken als das Analysieren und Nutzen von Zusammenhängen
arithmetisches Wissen erlaubt uns….
- …mit Zahlen, die uns im Alltag begegnen, sinnvoll umzugehen.
- …unsere Umwelt mit Zahlen zu beschreiben, auch wenn diese nicht direkt
angegeben sind. - …relevante Größen in unserer Umwelt sowie Beziehungen zwischen ihnen zu
erkennen, zu beschreiben und ggf. zu nutzen.
Peano Axiome
Die Menge N der natürlichen Zahlen wird durch die folgenden Axiome
charakterisiert:
i. Die Menge N ist nicht leer; es gibt ein ausgezeichnetes Element 0 ∈ N.
ii. Zu jedem Element n ∈ N gibt es ein wohlbestimmtes Element n∗ ∈ N mit n∗ ≠ n; das Element n∗ wird der (unmittelbare) Nachfolger von n genannt, n wird der (unmittelbare) Vorgänger von
n∗ genannt.
iii. Es gibt kein Element n ∈ N, für dessen Nachfolger n∗ die Beziehung n∗ = 0 gilt, d. h. das Element 0 besitzt keinen Vorgänger und ist somit das erste Element.
iv. Besteht für zwei natürliche Zahlen n1, n2 die Gleichheit n1∗ = n2∗, so folgt daraus n1 = n2
v. Prinzip der vollständigen Induktion: Ist T eine Teilmenge von N mit der Eigenschaft, dass 0 ∈ T gilt (Induktionsanfang) und dass mit t ∈ T (Induktionsvoraussetzung) auch t∗ ∈ T (Induktionsschritt) ist, so muss T = N gelten.
Zahlaspekte
- Zahlaspekte bezeichnen die unterschiedlichen Bedeutungen,
in denen Zahlen auftreten können. –> wesentlichen Grundvorstellungen
Wiederholung: Grundvorstellungen
- „assoziative mentale Verknüpfungen zwischen mathematischen Konzepten und prototypischen
Anwendungssituationen“ - „Eine Grundvorstellung zu einem math. Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesem
Sinn gibt.“ (Greefrath/Oldenburg)
-Sind ein wesentlicher Teil individuellen Begriffsverständnisses
Woher kommen die Zahlaspekte?
- Sachanalytische Betrachtungen
- Historische Systematisierungsprozesse
Welche Zahlaspekte gibt es?
- Kardinalzahlaspekt
- Ordinalzahlaspekt
- Veränderungsaspekt
- Relationszahlaspekt
- Maßzahlaspekt
- Rechenzahlaspekt
- Kodierungszahlaspekt
Kardinalzahlaspekt
(Natürliche) Zahlen beschreiben Anzahlen bzw. die Größe von Mengen
2 Äpfel, 3 Birnen.
Ordinalzahlaspekt
- Zahlen beschreiben Positionen in Rangfolgen oder Abfolgen (Ordnungszahlaspekt, Zählzahlaspekt)
-OZ: Der wie vielte Besucher sind sie?
-ZZ: Ich bin am Haus (Nr. 1,2,3,4) Nr.5 angekommen - Skalenwertaspekt: Skalenwerte mit Einheiten (Zeitpunkte, Kilometersteine)
Zahlen als Veränderungen (Veränderungsaspekt)
Zahlen beschreiben dynamische Veränderungen
* additive Veränderungen: Veränderungen „nach oben“ und „nach unten“ aus dem Kontext heraus (Ich esse 3 Semmeln auf)
* Multiplikative Veränderungen (Operatoraspekt): Aufsteigende Veränderungen durch Multiplikation, absteigende durch Division (Mein Gewinn hat sich verfünfacht)
Zahlen als Vergleiche (Vergleichsaspekt)
Zahlen beschreiben Vergleiche und Verhältnisse
* additive Vergleiche (Relationszahlaspekt): Richtung des Vergleichs implizit (Hans hat 4 Münzen weniger als Petra)
* Multiplikative Vergleiche (Operatoraspekt): einfache Vergleiche (Hans hat 5 mal so viele Münzen wie Petra)
Maßzahlaspekt
Gemeinsam mit einer Maßeinheit beschreiben Zahlen Ausprägungen von Größen
* Maßzahl als Anzahl der zum „Messen“ benötigten Maßeinheiten.
* ggf. Verfeinerung der Einheit oder gemischte Größenangaben (5m 23cm).
Rechenzahlaspekt
Mit Zahlen kann gerechnet werden.
-Algebraischer Rechenzahlaspekt
Es gibt algebraische Gesetzmäßigkeiten zwischen Operationen, die zum flexiblen Rechnen genutzt
werden können.
-Algorithmischer Rechenzahlaspekt
Mit Zahlen kann (z.B. ziffernweise) nach festgelegten Handlungsanweisungen (Algorithmen)
gerechnet werden.
Kodierungszahlaspekt
- Ziffernfolgen werden zur Kennzeichnung/Unterscheidung in
verschiedensten Kontexten verwendet. - Verrechnen und Ordnen dieser Zahlen ist nicht sinnvoll.
- z.B. schriftliche Addition, Telefonnummern
