SAAMAP Flashcards
Duas definições de espaço topológico, e equivalência.
- Por conjuntos abertos: a topologia em X são todos os conjuntos abertos de X: Vazio e X devem estar, fechado por união arbitrária e intersecção finita.
- Por vizinhanças: cada ponto x tem uma vizinhança N(x) não vazia. Temos sempre x \in N(x); se Y inclui vizinhança de x, ele também é vizinhança de X; fechado por intersecção finita; N(x) inclui M(x) tal que N(x) é vizinhança de todos pontos de M(x), ou seja, N(x) contém algum conjunto de vizinhos de x enxergam N(x) como seus vizinhos também… Meio estranho, mas é isso, meio que garante que alguém que x considera vizinho também enxerga x como seu vizinho.
- Pela Wikipedia, CONJUNTO ABERTO é vizinhança de todos seus pontos. N é vizinhança de x se contém algum conjunto aberto que tem x!
O que é a “Borel Sigma Algebra” de um espaço topológico?
É a sigma álgebra gerada por todos os conjuntos abertos do espaço!
O que é uma sigma álgebra gerada por F \subseteq Powerset(X)?
São todos os conjuntos de F, mais o que for preciso adicionar pra ficar fechado em complemento, união e intersecção enumerável.
O que vamos considerar um “conceito mental” do conjunto X? Qual a relação disso com Sigma-Álgebra?
- Um subconjunto de Powerset(X), se X forem vistos como bits, cada subconjunto de bits que estão ligados é um “estado mental”, e cada “conceito mental” é uma família dos conjuntos de “estados mentais” que representam a ideia.
De certa forma então, “estar presente” no estado mental significa, pro neurônio, “estar ativo”. Estar presente num “conceito mental” significa que aquela configuração de ativações de neurônios é uma das formas de representar aquele conceito.
- A ideia de colocar Sigma-Álgebra no meio da história é que dado um conceito mental, temos também como entender seu complemento (maçã e não-maçã é o exemplo do livro), intersecção (maçã e pêra) e união (maçã ou pêra), e quantidades enumeráveis disso.
- Estado mental é conjunto de neurônios ativos, conceito mental é conjunto de estados mentais, conceito mental é conjunto de estados mentais.
- Ele também chama os estados mentais de “synapses” as vezes, o que não faz muito sentido porque sinapse é a conexão entre neurônios, não o estado de ativação deles.
O que é um espaço mensurável? Sinônimos? Metric Space? Measurable space?
- Um par (E,Epsilon), em que Epsilon é uma sigma-álgebra sobre E.
Se E são estados mentais (conjunto de neurônios ativos), Epsilon é um conjunto “fechado por lógica enumerável” de conceitos mentais.
- Também chama de “Borel Space”
- Diferente de measure space, que é um mensurable space com a medida
- Bem diferente de metric space, que tem literalmente uma noção de distância entre potos, com a desigualdade triangular e tudo mais.
O que é uma Função Mensurável? De E (estados mentais) pros reais?
Ele destaca que Borel-Mensurável pode ser usado pra destacar que é em reação a uma sigma-álgebra de Borel.
É uma função que associa um valor pra cada estado, de forma que “estados que receberam valor em (a,b)” (parece ser só dos abertos mesmo, isso é a definição “For an analyst”, segundo o cara do MathStackExchange) sempre é um conjunto na sigma-álgebra de interesse original. Ou seja, pegar uma aproximação do valor associado dá um conjunto de estados na sigma-álgebra, um conceito mental “válido”.
O que é uma função mensurável que leva de um espaço mensurável (E,A) pra outro espaço mensurável (F,B)?
Pra todo X em B, f^{-1}(B) pertence a A.
Pra todo conceito mental do cérebro cujos estados são F, se pegarmos quem seria sua imagem inversa também teremos um conceito mental no cérebro cujos estados são E.
- Segundo a wikipedia, funções mensuráveis preservam a estrutura de medida: se algo é mensurável depois de aplicar a função, é porque era mensurável antes. Mas não necessariamente se era mensurável antes continua sendo, pelo menos não por definição.
Nos nossos termos eu acho que isso significa que uma função mensurável do cérebro de Alice pro de Bob faz com que tudo que é um coneceito pra Bob pode ser traduzido pra um conceito pra Alice.
Não é que Alice entende pelo menos tanto quanto Bob, é que uma coisa que signifique algo pra Bob significa algo pra Alice (mesmo que esse algo seja “nada”).
Se Bob consegue medir, Alice consegue medir também. Aplicar a função nos pontos da Alice faz com que qualquer subconjunto do resultado que Bob pode medir poderia ter sido medido antes pela Alice.
Defina medida.
- Uma função u da sigma-álgebra para os reais extendidos (com +-infinito), que nunca é negativa, é 0 no conjunto vazio, e a medida da união contável de conjuntos disjuntos é a soma da medida de cada conjunto u(A \cup B) = u(A) + u(B) se A \cap B = \emptyset.
Defina Sigma-Álgebra em X.
- Família não vazia de subconjuntos de X que são:
- Fechadas por união contável.
- Fechadas por intersecção contável.
- Fechadas por complemento.
- Contém X (e portanto \emptyset tbm).
Porque tem que ter sigma álgebra pra definir medidas? Exemplo de conjunto de reais que quebra na medida “tamanho” padrão.
- Toda medida só pode estar definida em uma sigma-álgebra, necessariamente.
- Um exemplo de conjunto não mensurável (segundo a medida de Lebesgue, de tamanho) dos reais: Vitali Sets. Usa o axioma da escolha pegando exatamente um representante de cada elemento do grupo \R/\Q. Cada “shift” possível dos racionais tendo exatamente um representante.
- Prova: Seja esse conjunto V. Daí enumera os racionais em [-1,1], {q_1,q_2,…,q_k,…} e pega a união de todos V_k=V+q_k, que são disjuntos pela construção de V, mas a união de todos V_k contém [0,1] (r \in [0,1] implica que a classe [r] tem seu representante v \in V, e r-v \in \Q, r \in [0,1] e v \in [0,1] tbm implica no intervalo [-1,1], de onde nossos racionais foram tirados, então r-v=q_k pra algum k, então r = v+q_k pra algum k e r está na união dos V_k) e está contido em [-1,2], e daí aplicando a medida em [0,1] \subseteq união dos V_k \subseteq [-1,2] chegamos a uma contradição: 1 <= soma das medidas dos V_k <= 3, como medida é invariante por deslocamento, isso dá 1 <= soma ifinita da medida de V <= 3, que é impossível porque essa soma ou é 0 ou é infinito. Então essa medida não existe.
O que é uma medida de probabilidade? E uma medida finita? (medidas sobre o conjunto X)
- Finita é que u(X) é finito.
- De probabilidade é que u(X) = 1.
O que é a medida de Lebesgue?
A de tamanho normal que temos, que u(a,b) = b-a
Porque não só usar o Powerset de X como sigma-álgebra?
Geralmente perdemos as propriedades que queremos ao fazer isso. Lebesgue measure não dá por exemplo. Medida invariante por rotação/translação aparentemente não dá também (tem um exemplo pro círculo).
O que é a sigma-álgebra de Lebesgue? Qual a diferença pra de Borel? Exemplo de onde faz diferença?
- A de Borel só pega todos os intervalos abertos e completa com união, intersecção e complemento.
- A de Lebesgue adiciona a obrigação de que todo conjunto de medida zero tenha todos subconjuntos de medida 0.
- O conjunto de Cantor tem medida de Lebesgue 0 e é um conjunto de Borel (está na Borel-Sigma-Álgebra), mas por ser incontável tem 2^\R subsets, sendo que a cardinalidade da sigma-álgebra de Borel sobre os reais é \R (não trivial de se ver segundo o cara do mathstackexchange). Então, teríamos um subconjunto de conjunto de medida 0 não sendo mensurável, pra evitar isso define a de Lebesgue como não tendo isso.
Exemplo da wikipedia de sub sigma-álgebra como conhecimento.
Se lança infinitas moedas em sequência, até o ponto n a sigma-álgebra do que observamos pode ser representada por todas as sequências de n caras/coroas, seguida de {H,T}^\infty.
Ou seja, um elemento da sigma-álgebra com n=1 é, por exemplo, H x {H,T}^\infty. Ou seja, todas seqs que começam com H.
Nessa situação, a sigma-álgebra G_n teria como um elemento uma observação dos n primeiros resultados, o conjunto de todas sequêncais que começam com aqueles n específicos.
Dessa forma, uma sub-sigma-álgebra seria a família de todos resultados válidos que são consistentes com o que foi observado até o momento.
G_1 está contido em G_2 que está em G_3 e etc. Toda sequência que começa com H está inclusa dentre as que começam com HH ou HT, etc.
G_\infty seria a menor sigma-álgebra que inclui todos. Um elemento é o conjunto de todas sequências consistentes com uma observação em particular, pra qualquer observação possível.
