Sannanir

Question 1

hornasumma þríhyrnings er 180 gráður

Answer 1

Teiknum þríhyrningin ABC og drögum línu samsíða C hlið (lárétt) og köllum hana m. Framlengjum hliðarnar a og b í gegnum hornið C. Hornið á milli m og a köllum við u, hornið á milli a og b köllum við v og hornið á milli m og b köllum við w. Þar sem B og u eru einslæg horn við samsíða gildir u = B, sama gildir um u og w því er u = w Þar sem v og C eru topphorn gildir v = C. Þar sem u, v og w mynda beina línu gildir að u + v + w =180 því fæst A + B + C = 180 gráður

Question 2

grannhorn eins horns í þríhyrningi er jafnt summu hinna þriggja

Answer 2

Teiknum þríhyrninginn ABC og látum G vera grannhorn hornsins A. Þá gildir að A+G = 180 gráður og því er G = 180-A.
Hornin A, B og C mynda þríhyrning og því gildir að A+B+C = 180 gráður. Af þessu leiðir að B+C = 180 -A og því fæst að G = B+C

Question 3

Ef C = 90 gráður í þríhyrningnum ABC Þá er a^2 + b^2 = c^2 (regla pýþagóras)

Answer 3

teiknum tvo ferninga, annan með hliðarlengdirnar a+b og hinn með hliðarlengdina c (sjá mynd). Við það myndast fjórir rétthyrndir þríhyrningar sem hafa allir c sem langhlið. Flatarmál hvers þeirra er ab/2. Flatarmál stærri ferningsins er
(jafna 1) F = (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2. Þetta flatarmál má líka skrifa sem flatarmál litla ferningsins lagt saman við flatarmál þríhyrninganna fjögurra þ.e. (jafna 2) F = c^2 + 4* ab/2 = c^2 +2ab
Með því að bera saman jöfnu 1 og 2 fæst a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab. Þ.e. a^2 + b^2 = c^2

Question 4

sin(30) = 1/2, cos(30) = rótaf3/2 og tan(30) = 1/ rótaf3

Answer 4

Teiknum rétthyrndan þríhyrning ABC Með hornin A=30, B=60 og C=90. Framlengjum hliðina a um lengd sína í punkt D og fáum þá þríhyrninginn ABD öll horn þríhyrningsins eru 60 og er hann því jafnhliða. Þá er c=2a og því gildir að sin(30)=sin(A)=a/c=a/2a=1/2.
Þar sem þríhyrningurinn ABC er rétthyrndur gildir skv. reglu pýþagóras að a^2 + b^2 = c^2
því fæst að a^2 + b^2 =(2a)^2 svo að
b^2 = 4a^2 - a^2 =3a^2 og því b = rótaf3 a
Þar sem b er hliðarleng getur það aðeins verið jákvað tala og því er cos(30) = cos(A)=b/c=rótaf3*a/2a=rótaf3/2 og að tan(30)= tan(A)=a/b=a/rótaf3 a=1/rótaf3