System av linjära DE:er med konstanta koefficienter

Question 1

Egenvärden till matrisen A i det linjära systemet

x’ = A•x

A är en n×n-matris med reella eller komplexa tal som element

Answer 1

egenvärdena £₁,…,£_n bestämms utgående fån den karakteristiska ekvationen

P(£) = 0⇔ det(A-£•I) = 0

Question 2

Hur bildar man egenvektorerna till matrisen A?

Answer 2

Utgående från matrisens egenvärden,

ur (A - £_i•I)x = 0 för £_i

(Exempel på egenvektor x = c•[3;1])

Question 3

Varför vill man veta dessa egenvektorer och egenvärden?

Sats 138

Hur vet man om egenvektorerna är linjärt oberoende?

Answer 3

Om n×n-matrisen A har n stycken linjärt oberoende egenvektorer x₁,…, x_n och motsvarande

egenvektorer £₁,…,£_n så är den allmänna komplexa lösningen: x(t) = c₁e^£₁tx₁ + … + c_ne^£_ntx_n

(till den homogena ekvationen)

egenvektorerna är linjärt oberoende om alla egenvärden är olika