Зачет

Question 1

Лемма о двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей.

Answer 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей,
то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

Question 1

Определение прямой перпендикулярной к плоскости.

Answer 1

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Question 2

Свойства прямых, перпендикулярных к плоскости(док-ва)

Answer 2

1)Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
2) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Question 3

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Answer 3

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Question 4

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Answer 4

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Question 5

Определение перпендикуляра, основание перпендикуляра.

Answer 5

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к плоскости, называется отрезок прямой, перпендикулярный к данной плоскости, одним из концов которого является данная точка, а другим-точка пересечения прямой с плоскостью(основание)

Question 6

Наклонная

Answer 6

Наклонной, проведенной из данной точки к плоскости, называется любой отрезок , соединяющий данную точку с точкой плоскости(основанием) и отличный от перпендикуляра

Question 7

Свойства перпендикуляра и наклонной(док-ва)

Answer 7

Если из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, то
1)длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной
2)длины двух наклонных равны тогда и только тогда, когда равны длины их проекций
3)большей наклонной соответствует большая проекция, и обратно: чем больше проекция , тем больше соотв. наклонная

Question 8

Теорема о трех перпендикулярах(док-во)

Answer 8

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Question 9

Обратная Теорема о трех перпендикулярах(док-во)

Answer 9

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Question 10

Определение. Расстояние между параллельными плоскостями

Answer 10

расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости

Question 11

Определение. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью

Answer 11

расстояние от произвольной точки данной прямой до данной плоскости

Question 12

Свойства точки, равноудаленной от вершин многоугольника(док-во)

Answer 12

если точка вне плоскости кногоугольника, равноудаленна от его вершин, то основание перпендикуляра из этой точки к плоскости многоугольника, является центром окружности, описанной около многоугольника

Question 13

Определение. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Answer 13

расстояние между одной из данных прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой

Question 14

Доказать, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой

Answer 14

Провести пересекающиеся прямые в обеих плоскостях

Question 15

Доказать, что если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные плоскости параллельны

Answer 15

провести прямую параллельную данной, она перпендикулярна плоскостям(пересекает в точках А и В), пусть плоскости не параллельны, значит существует точка(М) которая, принадлежит обеим плоскостям, значит в треуг. АВМ два прямых угла, противоречие

Question 16

Доказать, что через любую точку (М)пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой(а).

Answer 16

построим плоскость альфа, содержащую а и М, строим прямую р перпендикулярную а(пересекаются в О) и проходящую через М, строим бетта проходящую через а(в пересечении с альфа дает а), прямая q(содерж. в бетта) перпендикулярна а и проходит через О. q и р содержатся в γ

а перп. р и а перп. q, q и р пересек и содержатся в γ. значит а перп. γ по признаку

Если точка M лежит на прямой a, то, аналогично предыдущему доказательству, через
прямую a проводят две плоскости и в них проводят перпендикуляры к прямой a через
точку M. Плоскость, проходящая через две проведённые прямые, и является искомой.

Докажем, что плоскость γ - единственная. Воспользуемся методом от противного. Пусть
через точку М проходит еще одна плоскость γ1, перпендикулярная к прямой a. Тогда
плоскости γ1 || γ (если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные
плоскости параллельны). Но это противоречит тому, что плоскости проходят через точку
М. Следовательно, предположенные неверно, через точку M проходит единственная
плоскость перпендикулярной к прямой a. Теорема доказана.

Question 17

Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника
(док-во)

Answer 17

Если точка вне плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин, то основание перпендикуляра из этой точки к плоскости многоугольника, является центром окружности, вписанной в многоугольник

Question 18

Определение. Общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых

Answer 18

отрезок, который перпендикулярен этим прямым и концы потороко лежат на этих прямых

Question 19

Теорема. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым

Answer 19

. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым сущест­вует и единственен.

Question 20

Расстояние между скрещивающимися прямыми через проекции

Answer 20

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость перпендикулярную одной из прямых

Question 21

Определение проекции точки и фигуры на плоскость

Answer 21

1)основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка лежит вне плоскости и сама точка, если она лежит в плоскости
2) фигура , состоящая из всех точек - проекций точек фигуры на данную плоскость

Question 22

Определение угла между прямой и плоскостью

Answer 22

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость

Question 23

Докажите, что если из одной точки к плоскости провести наклонные, образующие равные углы с плоскостью, то проекция данной точки на плоскость будет равноудалена от оснований наклонных

Answer 23

ну тип вроде легко

Question 24

Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы. Докажите, что если углы, образованные с плоскостью наклонны ми, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклон ные равны.

Answer 24

....

Question 25

Определение. Двугранного угла и его элементов

Answer 25

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой, а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Грани двугранного угла- полуплоскости, образующие двугранный называются Ребро двугранного угла -прямая а - общая граница полуплоскостей.

Question 26

Определение. Линейного угла двугранного угла

Answer 26

Линейным углом двугранного угла называется угол с вершиной на ребре двугранного угла, стороны образованы лучами, лежащими в граних двугранного угла и перпендикулярными к его ребру.

Question 27

Свойства линейных углов двугранного угла доказательство

Answer 27

все линейные углы двугранного угла равны между собой.(углы с сонаправленными сторонами равны)

Question 28

Градусной мерой двугранного угла

Answer 28

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Ф-градусная мера двугранным угла, то 0° <ф <180°.

Question 29

Виды двугранных углов.

Answer 29

тупой, прямой, острый(по линейному углу)

Question 30

Определение угла между плоскостями

Answer 30

величина того из образовавшихся двугранных углов, который не превосходит 90 градусов

Question 31

Определение перпендикулярных плоскостей

Answer 31

плоскости угол между которыми равен 90

Question 32

Признак перпендикулярных плоскостей(док-во)

Answer 32

Теорема. Если одна из двух перпендикулярную к другой перпендикулярны. Доказательство, плоскостей проходит через прямую, плоскости, то такие плоскости Пусть даны плоскости альфа и бета. Причем такие, что альфа проходит через прямую а, перпендикулярную к плоскости бета. Докажем, что альфа и бета перпендикулярны. Пусть точка О точка пересечения прямой а с бета. Точка О- общая точка плоскостей. следовательно, данные плоскости пересекаются по прямой l, проходящей через точку О. В бета через точку О проведем прямую прямую b. перпендикулярную l Прямые b и l лежат в бета и по условию прямая а перпендикулярна бета. Следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b и прямая а перпендикулярна прямой l. Таким образом, получаем, что прямая а лежит в альфа, перпендикулярна прямой l и прямая b лежит в плоскости бета перпендикулярно прямой l. Значит, угол между плоскостями равен углу между прямыми а и b и равен 90°. Т.е. получили, что плоскости и и в перпендикулярны. Теорема доказана

Question 33

Следствия из признаков перпендикулярных плоскостей(ljr-df)

Answer 33

1)Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей(признак перпендикулярности плоскостей) 2)Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости(провести прямую в друг плоскости перппендикулярно линии пересечения)

Question 34

Докажите что угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям

Answer 34

ок

Question 35

Докажите, что если две плоскости перпендикулярны и че рез точку одной из плоскостей проведена прямая перпендикулярно другой плоскости, то эта прямая принадлежит первой плоскости.

Answer 35

Решение. Пусть перпендикулярные плоскости а и в пересекаются по прямой а. Рассмотрим произвольную точку А плоскости а. Че рез эту точку проведём прямую в, перпендикулярную плоскости В. В пло скости а через точку. А проведём примую АС перпендикулярно прямой а. По теореме АС перп В. Поскольку через точку А проходит лишь одна прямая, перпендикулярная плоскости В, то прямая АС и есть прямая в.

Question 36

Плоскости а и в пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости у. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости у.

Answer 36

Через произвольную точку А прямой а проведём прямую а1, перпендикулярную плоскости у. Поскольку Аεα Аεβ, τо теореме получаем, что прямая а, принадлежит и плоскости а, и плоско сти В. Следовательно, а, алв. Значит, прямые а и а, совпадают, а это доказывает перпендикулярность прямой а и плоскости у.

Question 37

Прямоугольный параллелепипед и его элементы+ измерения

Answer 37

Паралелепипед называют прямоугольным, если все боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям его оснований, а основания прямоугольники. Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.

Question 38

Прямой параллелепипед

Answer 38

Параллелепипед называют прямым, если все боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям его оснований, а основания параллелограммы.

Question 39

Свойства прямоугольного параллелепипед(Док) + следствие

Answer 39

1) все 6 граней прямоугольники 2)все двугран. углы прямые 3)квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен суме квадратов трех его измерений следствие: диагонали равны между собой(через 3 свойство)

Question 40

Теорема. Площадь ортогональной проекции

Answer 40

Теорема. Площадь Sпр ортогональной проекции плоской фигуры равна площади S этой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры Ф и плоскостью проектирования

Question 41

Определения: многогранного угла

Answer 41

Поверхность, образованную конечным набором плоских углов с общей вершиной , в которых соседние углы не имеют общих точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины,

Question 42

Определения:вершины многогранного угла,

Answer 42

Общая вершина плоских углов

Question 43

Определения: ребер многогранного угла,

Answer 43

лучи-стороны плоских углов

Question 44

Определения: граней (плоских углов) многогранного угла

Answer 44

плоские углы

Question 45

Виды многогранных углов

Answer 45

Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов. невыпуклый - хотябы одна сторона

Question 46

Теорема о плоском угле трехгранного угла.

Answer 46

Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Question 47

Сумма плоских углов трехгранного угла

Answer 47

Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Question 48

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла.

Answer 48

Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Question 49

Первая, вторая теоремы косинусов трехгранного угла, теорема синусов для трехгранного угла (только формулировки).

Answer 49

Дан трехгранный угол с плоскими углами а, βαγα προ тиволежащими им двугранными углами А, В и С сооm- ветственно. Докажите, что: 1) cos y =cos a cosẞ+sin a sin ẞ cos C (1-ая теорема ко- синусов для трехгранного угла); 2) cos C=-cos A cos B + sinA sinBcosy (2-ая теорема ко синусов для трехгранного угла); 3) sina = sinß siny sin A sin B sin C ного угла

Question 50

Определение многогранника и его элементов (грани многогранника, ребра многогранника, вершины многогранника, диагональ многогранника )

Answer 50

многогранник -поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело грани-многоугольники, из которых составлен многогранник ребра-стороны граней многогранника вершины-концы ребер многогранника (вершины граней многогранника диагональ-отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани

Question 51

Виды многогранников

Answer 51

выпуклый многогранник- Многогранник, который расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани невыпуклый многогранник - Многогранник.который расположен по разные стороны от плоскости хотя бы одной его грани

Question 52

Свойство многогранника (сумма плоских углов при каждой вершине);

Answer 52

В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360

Question 53

Определение геометрического тела;

Answer 53

Геометрическим телом (или просто телом) называют ограниченную связную фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причём сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры

Question 54

Теорема Эйлера для многогранников.

Answer 54

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на больше числа рёбер. В + Г – Р = 2

Question 55

Определение призмы

Answer 55

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов

Question 56

Элементы призмы

Answer 56

Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn называются основаниями призмы Параллелограммы называются боковыми гранями призмы Боковые рёбра – это отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. Вершины – это точки, являющиеся вершинами оснований. Высота – это перпендикуляр, опущенный из одного основания на другое. Диагональ – это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.

Question 57

Виды призм.

Answer 57

Прямая призма- это призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основанию, Высота равна боковому ребру, Боковые грани – прямоугольники Наклонная призма- это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию Правильная призмаэто прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.,Боковые грани – равные прямоугольник,Высота – боковое ребро

Question 58

Общие свойства призм.(док-ва)

Answer 58

Основания призмы равны Основания призмы лежат в параллельных плоскостях У призмы боковые рёбра параллельны и равны Любая боковая грань является параллелограммом

Question 59

Поверхность призмы.

Answer 59

сумма поверхностей(сумма площадей граней) оснований и боковой боковая равна произведению периметра основания на апофему.

Question 60

Особые сечения призмы. Определения.

Answer 60

Диагональное сечение – это сечение проходящее через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярное сечение – это сечение, проходящее перпендикулярно боковым ребрам.

Question 61

Уметь строить и описывать построение Перпендикулярного сечения.

Answer 61

1. Через точку А, лежащую на боковом ребре, провести перпендикуляры АВ и АС к этому ребру, лежащие в двух смежных боковых гранях. Иногда в качестве точки А выбирают одну из вершки призмы. 2. По признаку перпендикулярности прямой и плоско сти доказать перпендикулярность прамой Да и плоскости АВС. 3. По свойству параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости, доказать, что АВС искомое сечение. Для л-угольной призмы при л>3 построения проводятся аналогично.

Question 62

Формула боковой поверхности наклонной призмы

Answer 62

произведение периментра перпендикулярного сечения и бокового ребра

Question 63

Формулировка пространственной теоремы Пифагора

Answer 63

Если все плоские углы при одной из вершин те траэдра прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.

Question 64

Определение пирамиды

Answer 64

Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников с общей вершиной

Question 65

Элементы пирамиды

Answer 65

Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях. Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником Боковые ребра – общие отрезки боковых граней Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Question 66

Определение правильной пирамиды и апофемы

Answer 66

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания является высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой

Question 67

Свойства правильной пирамиды . Доказательства всех свойств

Answer 67

1)боковые ребра равны 2) боковые грани - равные равноб треуг-ки 3) двугранные углы при основании равны 4) боковые ребра образуют равные углы с основанием 5) двугранные углы при боковых ребрах равны 6) апофемы равны 7)каждая точка высоты равноудалена от вершин, граней, ребер 8) диагональное сечение - равнобедренный треугольник

Question 68

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (док-во)

Answer 68

Полу произведение периметра основания и апофемы

Question 69

Площадь боковой поверхности пирамиды в которой все двугранные углы при основании равны

Answer 69

площадь основания деленая на косинус двугранного угла

Question 70

Высота пирамиды, проходящие через центр описанной окружности основания (док-ва)

Answer 70

Если в пирамиде 1)все бок ребра равны или 2) все боковые ребра образуют одинаковые углы с плоскостью основания или 3) все боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды, то основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды.

Question 71

Высота пирамиды, проходящие через центр вписанной окружности основания . Доказательства всех свойств

Answer 71

Если в пирамиде, высота которой лежит внутри нее. 1) все двугранные углы при основании равны или 2) все высоты боковых граней равны или 3) высота пирамиды образует одинаковые углы с плоскостями боковых граней, то основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды

Question 72

Свойства высоты пирамиды(док-ва)

Answer 72

Пирамида, одна из боковых гра- ней которой перпендикулярна основанию Высота лежит в грани, перпенди- кулярной основанию пирамиды Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны основанию Высотой служит общее боковое ребро этих граней

Question 73

Определение усеченной пирамиды и ее элементов

Answer 73

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани). высота- перпендикуляр, проведенный ищз какой-либо точки одного основания к плоскости другого основания Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Question 74

Определение правильной усеченной пирамиды и ее элементов

Answer 74

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию

Question 75

Свойства правильной усеченной пирамиды и площадь боковой поверхности правильной усеченной.(док-ва)

Answer 75

1.У правильной усеченной пирамиды боковые ребра равны. 2. У правильной усеченной пирамиды боковые грани равные равнобокие трапеции. 3. Апофемы правильной усеченной пирамиды равны. 4. Двугранные углы при каждом основании равны 5. Двугранные углы при боковых ребрах равны. 6. Каждая точка прямой, проходящей через центры оснований правильной усеченной пирамиды, равноудалена от: * всех вершин каждом основании; * плоскостей боковых граней; * прямых, на которых лежат боковые ребра. 7.Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полсуммы периметров оснований на апофему

Question 76

центр симметрии

Answer 76

Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

Question 77

ось симметрии

Answer 77

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Question 78

плоскость симметрии

Answer 78

Точки Аи А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Question 79

центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры

Answer 79

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Question 80

Элементы симметрии

Answer 80

центр, оми и плоскости симметрии многогранника

Question 81

Правильный многогранник.

Answer 81

выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Question 82

Правильный тетраэдр

Answer 82

-многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников.

Question 83

Правильный октаэдр

Answer 83

многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.

Question 84

. Правильный гексаэдр (куб)

Answer 84

многогранник, составленный из шести квадратов.

Question 85

Правильный икосаэдр

Answer 85

многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников.

Question 86

Правильный додекаэдр

Answer 86

многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.