수교론~ Flashcards

Question

딘즈- 수학학습원리

Answer 1

① 역동적 원리: 개념형성 3단계의 놀이단계인 예비놀이단계, 구조화된 놀이단계, 실습 놀이단계를 순차적으로 경험하도록 해야 한다. ② 구성의 원리: 수학적 상황은 분석보다는 구성을 요구하는 것이 우선되어야 한다. ③ 수학적 다양성의 원리: 개념의 성장을 돕기 위해 구조화된 경험을 제공하려면, 개념은 변하지 않게 유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시켜야 한다는 것이다. ④ 지각적 다양성의 원리: 동일한 개념형성에 가능한 모든 개인차를 고려하는 방법으로서, 동일한 개념적 주제에 대한 다양한 수단을 사용하여 가능한 한 많은 변화를 주자는 것이다.

Answer 2

기존의 스키마를 새로운 지식의 획득을 위한 수단으로 사용하는 학습으로, 관계적 이해를 가능하게 하는 학습이다.

Answer 3

① 기억능력이 월등히 높아진다. ② 장래 과제에 대한 적응력 있는 정신적 도구를 준비해준다. ③ 대부분의 학생들에게 더욱 흥미가 있다. ④ 계속 사용함으로써 스키마의 처음 내용을 더욱 공고히 해준다.

Answer 4

① 독립된 과제의 학습에서는 더 오랜 시간이 걸린다. ② 스키마에 맞지 않는 것은 학습하기 어렵게 한다. ③ 기존의 스키마가 잘못 형성되어 있는 경우 그 다음 학습에 심대한 영향을 미친다. 잘못된 스키마틱 학습은 망각률이 높은 기계적 학습보다도 훨씬 더 위험하다.

Answer 5

① 기존 지식을 통합한다. ② 발전학습을 위한 도구의 역할을 한다. ③ 관계적 이해를 가능하게 한다.

Answer 6

무엇을 해야 할지 그리고 왜 그런지를 모두 알고 있으면서 일반적인 수학적인 관계로부터 특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있는 상태.

Answer 7

이유는 모르는 채 암기한 규칙을 문제해결에 적용하는 것.

Answer 8

① 새로운 과제에 더 잘 적응된다. ② 기억하기에 더 쉽다. ③ 그 자체가 효과적인 목적이 될 수 있다. ④ 질적으로 유기적이다. 관계적 스키마 그 자체가 성장하는 하나의 요인으로 작용한다.

Answer 9

① 시간이 너무 많이 걸린다. ② 특정한 주제를 배우기 위해서는 선행학습으로 기초적 학습이 요구된다. ③ 고도의 능력 있는 교사를 필요로 한다.

Answer 10

① 받아들이기 쉽다는 의미에서 이해하기가 쉽다. ② 보상은 더욱 즉각적이고 더욱 명백하다. ③ 이해하는데 필요한 지식이 적다.

Answer 11

① 학습할 양이 많아지면 그 많은 공식을 암기하기가 힘들다. ② 쉽게 잊어버릴 수 있다. ③ 수학적 스키마(개념구조)를 확장하기가 어렵다. ④ 내적 동기유발이 되지 않는다.

Answer 12

① 학습목표를 달성하는 데 너무 많은 시간이 소요되는 경우 ② 꼭 학습해야 할 내용인데 그에 맞는 인지발달수준에 도달하지 못한 경우 ③ 과학 또는 다른 학과에서 수학적 지식을 이용하여 문제해결을 하는 경우

Answer 13

외부에서 얻은 자료를 ‘중재사고 활동’을 거치지 않고 수용기를 통하여 이루어지는 지능.

Answer 14

메타인지적 사고로서 과정이나 이유를 묻는 질문에 답하는 데 중재 사고 활동이 자기 반성적 인식의 대상이 된다.

Answer 15

새로운 학습내용이 학습자의 기존의 인지구조와 의미 있게 연결됨으로써 그 안으로 포섭될 때 일어나는 학습.

Answer 16

① 선행조직자: 새로운 개념의 학습내용보다 좀 더 일반적인 개념을 배열한 진술문으로서 적절하게 관련되고 포괄적인 개요적 자료이다. 선행조직자의 역할: 구체적인 학습과제의 특정한 내용과 더욱 잘 관련 가능하도록 도우면서 동시에 잠재적으로 내재한 정착 아이디어의 일반적인 내용과 관련 가능하도록 돕는 것이다. ② 점진적 분화의 원리: 학습할 새로운 개념을 포함하는 더욱 일반화된 구조를 제시한 다음 그것으로부터 점점 구체적이고 세부적인 내용으로 접근하는 것을 말한다. ③ 통합적 원리: 새로운 학습 내용과 이미 학습된 내용의 유사성과 차이점을 분명하게 하여 새로운 학습 내용이 인지 구조 내에서 의식적으로 조정되고 통합되도록 해야 한다는 것이다.

Answer 17

포괄성과 일반성이 높은 인지구조 내의 지식이 포괄성과 일반성이 낮은 새로운 지식을 통합하는 과정이다.

Answer 18

① 상위적 학습: 새로운 학습 내용이 인지 구조 내의 관련 내용보다 상위의 내용일 때 일어나는 학습이다. ② 하위적 학습: 새로운 학습 내용이 인지 구조 내의 관련 내용보다 하위의 내용일 때 일어나는 학습이다. 파생적 포섭: 새로운 학습내용이 기존 인지 구조 내 관련 개념의 구체적인 예이거나 이를 상세화하는 것일 때. 상호관련적 포섭: 새로운 학습내용이 기존 개념을 확장, 수정 정교화할 때. ③ 병위적 학습: 상위적, 하위적 지식이 아닐 때 일어나는 학습이다. 비유적인 경우를 말한다.

Answer 19

학생이 다른 사람의 도움 없이 독립적으로 문제를 해결할 수 있는 수준.

Answer 20

좀 더 지식이 풍부한 교사, 성인 또는 유능한 또래의 도움을 얻어 문제를 해결할 수 있는 수준.

Answer 21

실제적 발달 수준과 잠재적 발달 수준의 사이이다. 잠재적 발달 수준이 내면화되어 실제적 발달 수준이 되므로 끊임없이 변화하는 역동적인 것이다. 주어진 시간 내에 가장 가까운 때에 나타날 행동을 의미한다.

Answer 22

학습자가 주어진 과제를 잘 수행할 수 있도록 유능한 또래나 교사의 도움을 제공하는 자원을 일컫는 것으로, 가령 힌트를 주거나 암시를 주는 것은 비계를 설정하는 행위의 일종이다. (용기를 북돋아주는 것도 포함) 의의: 비계설정을 통하여 학생들이 스스로 문제를 해결할 수 있도록 교사가 도움을 적절히 조절하여 제공할 수 있으며, 이로써 근접 발달 영역 내에서 학습자의 자기조절능력을 증진시켜 스스로 과제를 해결할 수 있도록 도울 수 있다.

Answer 23

1,2단계가 근접발달영역. ① 유능한 타인의 도움을 받아 과제를 수행하는 단계. ② 학생 스스로 과제를 수행하는 단계. ③ 내면화, 자동화가 이루어지는 단계. ④ 근접발달영역이 순환되는 탈자동화 단계.

Answer 24

공통점: 학습자가 지식을 수동적으로 수용하는 것이라는 종래의 통념을 부정하고, 학습자는 스스로의 능동적인 구성활동을 통해 자신에게 의미 있는 지식을 구성해 나간다고 본다. 차이점: 구성된 지식의 객관성에 대해서는 의견을 달리 한다.

Answer 25

피아제는 조작(반영적 추상화)과정을 통한 지식구성을 주장했다. 수학적 지식은 인간의 조작 활동에 그 근원을 두고 있으므로, 수학 수업에서 조작활동을 강조해야 한다. 또한, 수학적 지식 구성의 과정은 반영적 추상화의 과정이므로, 자신의 조작 활동을 사고의 대상으로 의식화하여 반성하는 활동 역시 강조해야 한다.

Answer 26

① 자주적 구성의 원리: 지식은 감각을 통하거나 의사소통에 의해 수동적으로 받아들여지는 것이 아니다. 지식은 인식하는 주체에 의해서 능동적으로 구성된다. (지식 구성에 있어 언어의 역할 부정) ②a 생장 지향성의 원리: 인식의 기능은 적응적이며, 생물학적인 용어로 적합성 또는 생장성을 지향하는 경향을 지닌다. ②b 비객관성의 원리: 인식은 주체가 경험세계를 조직하는 데 도움을 주는 것이지, 객관적인 존재론적 실재를 발견하는 것을 돕는 것이 아니다. ⇒ 급진적 구성주의는 개인의 개성과 다양성을 인정하고, 지식의 객관성을 생장 지향성으로 대치한다. 즉, 수학적 지식의 객관성은 수학적 지식의 적합성, 적응성으로 대치되어야 한다.

Answer 27

객관성의 의미를 수정하여 수학적 지식이 종래와는 다른 의미에서 객관적인 것이 되게 하는데, 객관성은 ‘사회적 합의 가능성’의 다른 표현이다. 개인의 지식 구성에 있어 언어의 역할을 강조하기 때문에 언어가 사고에 중요한 영향을 끼친다는 비고츠키의 이론을 의미 있는 것으로 받아들인다. 지식의 구성과정: 개인의 주관적인 수학적인 지식은 공표를 통해 사회에 알려지고 공적인 비판과 재구성 과정을 거쳐 객관적인 수학적 지식이 된다. 이렇듯 주관적 지식은 사회적 과정을 통해 라카토스의 증명과 반박의 논리에 따라 객관적인 수학적 지식으로 받아들여지게 된다. 따라서 학생들의 발표와 토론이 중시되는 사회적 상호작용 수업을 지지하는 것으로 해석될 수 있다.

Answer 28

① 학생 중심적 개별화의 원리: 이 원리는 수학 학습 활동의 주체가 학생 개개인이라는 것, 학생 개개인의 지적 자율성에 바탕을 두어야 한다는 것을 의미한다. 수학 교수·학습에서 개인의 능력차 및 개성의 차이를 고려하는 교수 학습을 의미한다. ② 발문 중심적 상호 작용의 원리: 이 원리는 학생이 학습의 주체가 되어 스스로 지식을 구성해갈 수 있도록 교사가 발문을 중심으로 하여 학생을 안내하거나 조력해야 한다는 원리이다. 적극적으로 생각해보게 하는 다양한 발문을 해야 한다. ③ 의미 지향적 활동의 원리: 이 원리는 학생들이 활동 속에 구성한 의미에 충실한 지식의 구성이 이루어져야 한다는 원리이다. 지식의 구성에 앞서 의미의 구성이 이루어져야 하며, 구성된 의미에 부합하는 지식의 구성이 이루어져야 한다. ④ 반영적 추상화의 원리: 이 원리는 학생 자신에 의해 내면적으로 이루어지는 반성적 활동을 중시해야 한다는 원리이다. 반영적 추상화의 원리를 구현하기 위해서는 활동과 더불어 반성을 매우 중요하게 고려하지 않으면 안 된다.

Answer 29

증명과 반박의 논리에 의해 추측이 끊임없이 개선되는 변증법적 과정을 통해 성장하는 것이다.

Answer 30

① 1단계: 주어진 문제 상황으로부터 수학적 추측을 제기하는 단계이다. ② 2단계: 추측을 부분추측으로 분해하는 단계로 증명, 즉 사고실험을 하는 단계이다. ③ 3단계: 반례가 등장하고 추측과 증명을 반박하는 단계이다. ④ 4단계: 증명을 검토하여 증명과 추측을 개선하는 단계이다.

Answer 31

전면적 반례란 본래의 추측을 반박하는 반례다. 국소적 반례란 보조정리(부분추측)를 반박하는 반례다. 국소적 반례는 그 반례에 견딜 수 있는 다음 보조정리로 대치하여, 국소적 반례를 극복할 수 있다.

Answer 32

반례를 괴물이라 표현하였다. ① 괴물 배제법: 추측에 포함된 개념들을 다시 정의하여, 반례(괴물)를 추측이 성립하는 영역 밖으로 몰아내고, 추측을 살리는 방법이다. ② 예외 배제법: 새로운 반례가 나타날 때마다 예외에 대하여 언급한 조건절을 첨가하여 원래의 추측이 성립하는 영역을 축소하여 추측을 개선하는 방법이다. 단점은 과대 또는 과소의 일반화를 초래할 여지가 있다는 것이다. ③ 보조정리 합체법: 가장 의미 있는 방법으로, 반례가 출현하게 된 원인이 되는 부분 추측을 찾아 그것을 원래 추측에 합체시키고 증명을 고치는 방법이다. 새로운 추측을 발견하는 과정과 그 추측을 증명하는 과정이 동시에 이루어진다. 즉, 발견과 정당화의 논리가 하나로 통합된다. 이는 전면적 반례이면서 국소적 반례이어야 사용가능하다.

Answer 33

라카토스 이전에는 수학적 발견의 논리는 귀납이나 유추이고, 정당화의 논리는 연역적 증명이라는 견해가 일반적이었으나, 라카토스는 발견과 정당화의 논리가 분리되지 않고 하나로 통합된다는 견해를 제시한 것으로 볼 수 있다.

Answer 34

교사는 학생이 증명을 할 때 추측과 증명의 각 단계에 대한 적절한 반례를 준비해 두었다가 필요할 때 제시할 수 있어야 한다. 또한, 교사가 증명을 제시하는 경우에는 학생 수준에서 반박이 불가능한 증명을 단번에 제시해서는 안 되며 그렇다고 반박을 하기 위하여 터무니없는 증명을 제시해서도 안 된다. 이러한 수업을 위해서는 교사의 철저한 교재 연구에 바탕을 둔 지도 과정에 대한 사고실험이 요구된다.

Answer 35

학교에서 완성된 수학을 가르치는 것이 아니라 수학화를 가르쳐야 한다.

Answer 36

스푸트니크호 발사 이후 새수학운동 브루너이론의 실패에 대한 대안 2가지가 역사발생적 원리와 프로이덴탈이다. 브루너가 주장한 지식의 구조와 발견학습은 학습자 자신의 학문을 하는 활동의 반성을 통한 지식의 재구성적 발생 맥락을 경시하였으며, 그 결과 새수학은 생명력을 잃은 채 형식적인 교재로 제시되는 데 그치게 되었다. 이러한 맥락에서 프로이덴탈은 새수학운동을 비판하면서, 완성된 지식으로서 연역적 체계의 수학을 가르칠 것이 아니라, 교수학적 현상학을 바탕으로 하여 안내된 재발명법에 의해 아동이 직접 현실적인 문맥을 통하여 점진적인 수학화를 경험할 수 있도록 지도해야 한다고 주장하였다.

Answer 37

수학적 개념과 구조라는 본질을 그 본질이 조직의 수단으로 작용하는 어떤 현상과 관련하여 기술하고 교수학적으로 적용하는 것.

Answer 38

현상을 수학자의 필요에 맞게 적절히 손질하여 새로운 것, 즉 본질로 조직해내는 조직화 활동.

Answer 39

현상과 본질의 교대 작용에 의해 수준 상승이 이루어지는 불연속적인 과정이다. 이때 현상이란 현실적인 경험일수도 있고, 수학적인 경험일 수도 있다.

Answer 40

기성수학은 수학적 활동의 결과로서의 수학이다. 실행수학은 수학화 활동에 초점을 둔 수학으로 학생들이 학습해야 하는 수학이다.

Answer 41

수평적 수학화란 현실적인 것으로 체험된 세계에서 좀 더 추상화된 기호의 세계로 이행되는 것이다. 수직적 수학화란 추상화된 기호의 세계에서 기호들이 계속 형성되고, 이해되고 반성되는 것이다.

Answer 42

이런 구분이 절대적인 것은 아니지만, 이전에 수학 수업에서 도외시되었던 실험하기, 관찰하기, 귀납적 추론, 분류하기 등과 같은 좀 더 구체적인 활동이 기호화, 일반화, 형식화와 마찬가지로 수학화 과정에 적합하다는 것을 명백히 하는데 도움이 된다. (수평적 수학화 특성이 강한 활동과 수직적 수학화 특성이 강한 활동)

Answer 43

수학의 연역적인 체계만을 중시하고 그것을 초등화하여 지도하는 것이다. 프로이덴탈은 이런 반교수학적 전도를 비난했다.

Answer 44

수학의 재창조 가능성과 적용 가능성이다. 수학은 관계가 풍부한 현실에서 발생해야 개인적으로나 역사적으로나 그것들이 창조된 후에 적용가능하고 다음의 재창조를 위한 기반이 된다.

Answer 45

학습자는 인류의 학습과정을 수정된 방식으로 재현하므로 학습자에게 수학적 활동의 재발명 과정을 경험시켜야 한다. 아동의 정신적 발달은 역사를 그대로 재현하는 것이 아니라 아동의 현실을 출발점으로 해서 이미 발생된 수학을 스스로 개선된 방법에 의해서 재창조해 나간다는 것이다. 역사발생적 원리와 그 맥을 같이 한다.

Answer 46

‘재현의 법칙’이라는 생물학적 원리에 따른 형식적인 관점이다. 프로이덴탈은 수학의 역사적 발생과정은 수학화과정의 패러다임이지만 이를 학습자의 현재의 정신구조에 연결시켜 수정해야 한다고 말하고 있다.

Answer 47

재발명 방법이 가능하기 위해서는 사고실험이 중요하다. 교실수업에서 학생들의 재발명을 돕는 역할을 한다. 교사의 입장에서 학생의 입장과 반응을 고려함과 동시에 자신의 입장에서 개인 수학자의 마음에 대해 추측하는 것이다. ① 수업 장면과 관련된 사고실험: 교사나 교과서 저자가 한 학생 또는 한 그룸의 가상적인 학생들과 그들의 반응을 생각하면서 그에 따라 가르치거나 저술하는 태도이다. ② 수업 내용과 관련된 사고실험: 어떤 수학적 개념을 발명했거나 수학적 방법을 개선한 개인 수학자의 마음속에 어떤 일이 일어났는지에 대해서 추측하는 것이다.

Answer 48

바닥수준을 무시하는 것이 전통적인 수학교육의 가장 큰 오류이다. 바닥수준으로부터의 점진적인 수학화를 주장한다. 바닥수준은 실제 수학을 하는 것은 아니지만 비수학적인 활동으로 보아서는 안 되며, 탐구수준에서의 수학적 활동을 준지하는 예비수학적 활동으로 파악해야 한다. 바닥수준의 활동이 탐구 수준에서 반성됨으로써 비로소 학생의 학습 과정에서 수학이 시작되는바, 바닥 수준의 활동이 필수적이라는 것이다.

Answer 49

수학화과정에서 근본적으로 수준의 상승을 가능하게 하는 중요한 정신적 활동이다. (반성: 거울처럼 비추어 주는 것) ⓐ 반성적 사고 경험의 시작 ‘왜?’라고 묻기 시작하고 의미를 이해하기 위해서 질문을 하거나 타인의 말을 자신의 사고 속에 비추기 시작할 때이다. ⓑ 수학교육의 현실 자연스런 사고 과정을 개발시켜 주는 촉매제의 구실을 한다기보다는 알고리즘적인 성향을 강조하고 현실과의 관련성이 결여된 수학을 학습하기 때문에 아동들은 자신의 활동에 대한 반성을 해보려는 어떤 기회도 제공받지 못한다. ⓒ 지도방향 반성적 사고를 통해 학습자로 하여금 자신의 사고와 행동에 대해 당연하다고 생각했던 부분에 대해 의문을 제기함으로써, 학습자 자신의 사고의 행동을 의식하고 확실성을 추구하는 수학적 태도를 길러주는 것이 중요하다.

Answer 50

문맥은 수학 학습-지도의 출발점이어야 한다. 문맥이란 어떤 구체적인 수업 과정에서 학생들에게 열려 있는 수학화가 되어야 할 현실의 영역이다. ① 첫 번째 단계는 현실 세계의 문맥을 직관적으로 탐구하는 단계이다. ② 두 번째 단계는 현실 상황으로부터 수학적 개념을 추출해내는 수평적 수학화의 단계이다. 이 단계에서는 수학화 과정에 대한 반성이 필수적이다. ③ 세 번째 단계는 형식화와 추상화가 중심인 수직적 수학화의 단계이다. 결과적으로 발생되는 수학적 개념에 대한 기술과 엄격하고 형식적인 정의가 뒤따른다. ④ 네 번째 단계는 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 개념을 강화하고 일반화하는 응용적 수학화의 단계이다.

Answer 51

수학적 개념이나 원리나 법칙은 여러 가지 보기의 관찰로부터 귀납적으로 획득되는 것이 아니라, 전형적인 보기로부터 곧바로 그 구조를 파악하여 획득된다고 주장하며, 전자를 귀납적 이해, 후자를 각지(즉각적 이해)라고 부르고 있다. 전형적인 예는 곧바로 그 구조에 대한 깊은 통찰을 제공해주면서 동형인 다른 상황에 신속하고 정확하게 전이 가능한 예로서 수학적 귀납법의 전형으로서의 파스칼 삼각형과 체계적인 수세기를 통한 경로의 수 구하기 등이 있다.

Answer 52

어떤 현상을 조직하는 1차적인 수단이다. 심상의 형성이 개념 획득보다 우선되어야 한다고 주장한다. 심상 구성의 원리란 (맥락-\> 심상구성-\> 개념정의) 개념의 형식화에 앞서 학습자로 하여금 개념이 발생한 맥락을 경험하게 하고 개념에 대한 심상을 구성하게 한 후 계속적으로 사고가 비약되도록 해야 한다.

Answer 53

프로이덴탈이 학생들로 하여금 기하를 재발명하는 데 있어서 중심적인 활동으로 제안하는 것이 바로 국소적 조직화활동인바, 국소적 조직화는 전반적 조직화와 대비되는 개념이다. 국소적 조직화란 학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실, 즉 학습자의 실제로부터 시작해서 부분적으로 조직화하는 것이다. 예로는 ‘삼각형의 세변의 수직이등분선은 한 점을 통과한다.’이다. (삼각형의 합동조건으로 정당화) 전반적 조직화란 정의와 공리로부터 출발하는 공리체계로 조직하는 것이다.

Answer 54

목표, 장애요인, 해결자의 의식.

Answer 55

목표는 분명하지만 목표에 이르는 길이 즉각적으로 주어져 있지 않은 문제.

Answer 56

① 문제풀이 과정에 여러 가지의 수학적 개념이나 기능 등을 포함해야 한다. ② 일반화할 수 있는 것이거나 다양한 문제 장면으로 확장될 수 있어야 한다. ③ 다양한 해법이 있어야 한다. ④ 실생활 탐구문제여야 한다.

Answer 57

분석법: 풀이 계획을 발견하는 과정. 종합법: 그 계획을 실행하는 과정.

Answer 58

① 필요조건을 찾아가는 과정의 예: 방정식 풀이, 작도문제. ② 충분조건을 찾아가는 과정의 예: 기하에서 명제의 증명.

Answer 59

① 자원: 문제를 해결하기 위해 개인이 사용할 수 있는 도구와 기법. (수학적 지식, 직관, 알고리즘, 법칙에 대한 이해) ② 발견술: 생소하고 비정형적인 문제를 해결하기 위한 전략과 기술. (유추, 일반화, 특수화, 보조문제 이용하기, 거꾸로 풀기 등) ③ 통제: 자원과 전략의 선택과 수행에 관한 전반적인 결정 능력. (계획하기, 감시와 평가, 의사 결정, 의식적인 메타인지적 결정 등) (해결할 수 있는 능력이 있는데도 틀리는, 실수의 경우 통제의 능력이 부족한 것이다.) ④ 신념체계: 학습자가 수학에 대해 가지고 있는 가치관이나 선입견 같은 것.

Answer 60

① 문제이해단계: 구하려는 것과 주어진 것을 알고, 용어의 뜻을 파악하며, 문제를 분석하는 단계. 미지인 것은 무엇인가? 주어진 것은 무엇인가? 그림을 그려 보아라. 적절한 기호를 붙여라. ② 계획수립단계: 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관계를 파악하는 단계. 그 관련성을 즉각 파악할 수 없을 때 보조문제를 고려한다. 도움이 될 것 같은 어떤 사실이나 정리를 알고 있는가? 전에 그 문제를 본 적이 있는가? 미지인 것을 잘 살펴보아라. ③ 계획실행단계: 해결계획에 따라 실행하는 단계. 각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가? 그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가? ④ 반성단계: 문제를 해결한 과정을 처음부터 검토해보고, 다른 방법으로 해결할 수는 없는지를 알아보고, 혹시 다른 방법이 있으면 어떤 방법이 더 나은지를 생각해본다. 또한 주어진 문제의 확장 가능성을 고려해야 한다. 결과를 점검할 수 있는가? 풀이과정을 점검할 수 있는가? 결과를 다른 방법으로 이끌어낼 수 있는가? 결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는가?

Answer 61

① 오류를 발견·수정하고 문제풀이를 개선할 수 있다. 풀이과정과 결과를 개관하고 음미해보기 때문이다. ② 획득한 지식이 견고히 된다. 다른 문제와의 관련성과 적용가능성을 생각해보기 때문이다. ③ 사고양식화 되어 문제를 해결하는 능력을 발달시킨다. 풀이과정이 단순화되어 한눈에 알 수 있게 되기 때문이다.

Answer 62

문제해결의 과정에서 수행하는 모든 활동에 대해서 각각을 모니터하고 조절하는 것이 필요하다는 측면에서 메타인지는 문제해결의 4단계에 모두 영향을 미치고 그 중 가장 밀접한 관련을 갖는 것은 반성단계다. 대표적인 메타인지 활동은 반성단계에서 이루어지는 결과와 풀이과정의 점검, 다양한 방법의 모색, 다른 문제에의 일반화, 우아한 해법의 추구 등이 있다.

Answer 63

피아제의 반영적 추상화는 이전의 사고과정이나 결과를 반성함으로써 인지구조를 조정하여 보다 높은 추상화된 사고수준으로의 발전을 의미하므로 폴리아의 문제해결 활동을 함으로써 반영적 추상화를 경험할 수 있다.

Answer 64

폴리아: 문제이해, 계획수립, 계획실행, 반성. 숀펠드: 분석 및 이해, 계획, 탐구, 실행, 검증. (탐구단계에서는 동치인, 약간, 폭넓게) 버튼: 도입, 공략, 검토, 확장.

Answer 65

① 보조문제의 결과가 현재의 문제해결의 실마리가 될 수 있다. ② 보조문제를 해결한 방안이 현재의 문제해결에 이용될 수도 있다.

Answer 66

지나치게 구체적이고 특수한 발문이나 지나치게 일반적인 발문과 권고는 가급적 사용하지 않는 것이 바람직하다.

Answer 67

① 미래에 다른 문제를 해결하는 데 별 도움이 되지 못한다. ② 학생들이 해야 할 것을 거의 남겨 놓지 않는다. (토파즈효과) ③ 학생은 교사가 어떻게 그와 같은 발문을 하고자 한 생각에 도달하게 되었는지를 거의 이해할 수 없다.

Answer 68

문제를 해결하는 과정에서 새로운 문제의 제기는 다음과 같은 특징을 갖는다. ① 원래의 문제를 재해석하게 되고 원래의 문제를 해결할 수 있는 단서가 생긴다. ② 원래의 문제를 이전과는 전혀 다른 새로운 관점에서 볼 수 있게 함으로써 그 의미를 보다 명확하게 이해할 수 있게 할 뿐만 아니라 그로부터 새로운 생각을 하게 하기도 한다. 계획단계에서의 문제제기는 문제를 해결하기 위한 수단으로써 유사한 문제를 생각해보는 것이다. 반성단계에서의 문제제기는 결과를 이용하여 새로운 문제를 제기하는 것이다. 미지인 것과 자료, 조건의 역할을 바꾸거나 일반화, 특수화, 유추 등을 통해 문제를 제기한다.

Answer 69

① 창의적 능력이나 특별한 수학적 능력의 발현에 도움을 준다. ② 탐구 지향적인 학습 태도를 길러 준다. ③ 학생들의 수학에 대한 이해 정도를 파악할 수 있는 수단이 된다. ④ 학력 수준이 낮은 학생들에게도 의미 있는 수학 학습 활동을 제공한다.

Answer 70

① 준경험주의: 문제제기 활동은 수학적 지식의 오류가능성을 인정하고, 지식의 형성 과정, 과정으로서의 수학적 지식에 초점을 두고 있는 준경험주의와 밀접하게 관련된다. ② 구성주의: what if not 전략 등의 문제제기 활동을 통해 학생이 스스로 능동적으로 지식을 구성한다는 점에서 구성주의와 밀접하게 관련된다.

Answer 71

주어진 것을 수용하는 것을 넘어서 도전하는 것이다. ① 출발점 선택하기 ② 속성 열거하기: 문제를 구성하고 있는 요소나 소성을 모두 열거해본다. ③ what if not 수행하기 (속성 부정하기) : 전 단계에서 열거한 속성이 ‘만약 그렇지 않다면 어떻게 될 것인가’라는 의문을 가져본다. ④ 문제 제기하기: 전 단계에서 생각한 의문을 기초로 새로운 문제를 만든다. ⑤ 설정된 문제 분석하기: 새로 만든 문제를 분석하거나 해를 구한다.

Answer 72

실세계의 여러 현상을 수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동으로, 문제를 해결하기 위하여 여러 가지 수학적 표현으로 변환하면서 현상에 내재된 수학적 개념을 파악하고 문제를 해결하여 실세계의 문제 상황에 적용할 수 있도록 조장하는 활동과정이다. 문제해결의 특징을 지니지만, 비수학적 문제 상황에서 출발하는 것을 기본으로 한다는 점에서 문제해결과 차별화된다.

Answer 73

① 현상을 관찰하여 그 현상 속에 내재되어 있는 문제 상황을 명료히 밝히고 문제에 영향을 미치는 중요한 요인들을 찾고, ② 요인들의 관계를 추측하고 그 요인들을 수학적으로 해석하여 현상에 적합한 모델을 구축하고, ③ 적절한 수학적 분석을 그 모델에 적용하며, ④ 결과를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 재해석하여 결론을 도출한다.

Answer 74

수학적 모델링을 통하여 다음의 목적을 달성할 수 있다. ① 새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다. ② 실생활 또는 다른 교과에서의 수학의 응용과 모델링의 실제를 이해한다. ③ 창의적 사고와 문제해결 태도, 활동, 능력을 기른다. ④ 수학을 활용하여 실생활 또는 다른 교과와 연결된 맥락을 비판적이고 합리적으로 사고하려는 태도를 기른다. ⑤ 수학이 이미 완성된 산물이 아니라 인간 활동의 결과로 만들어진 것임을 이해한다.

Answer 75

학문수학의 내용을 학교수학에 도입할 때 학생들의 이해를 돕기 위해 학생들의 수준과 눈높이에 맞추어서 표현을 변환하여 도입하고 지도하는 과정에 주목하는 학문이다. ‘학문적 지식’을 ‘교수학적 지식’으로 변환하기 위해 겪는 일련의 과정에 주목한다.

Answer 76

학문적 지식, 가르칠 지식, 학습된 지식. (지문의 상황에 맞게 용어를 사용할 수 있어야 한다.)

Answer 77

① 교수 체계는 이원적 관계가 아니라 삼원적 관계라는 것이다. ② 지식의 파손성: 가르치려는 의도에 따라 지식이 변형될 때 지식의 의미가 상당히 손상될 수 있다.

Answer 78

① 개인화/배경화: 개개인 나름대로의 지식 이해 과정. ② 탈개인화/탈배경화: 정돈된 지식의 표현과정. 개인적으로 이해한 지식을 형식적으로 표현하는 과정.

Answer 79

① 메타-인지 이동: 수학적 지식의 개인화/배경화에 주목한 나머지 교수학적 노력의 초점이 수학적 지식 자체로부터 교수학적 고안물로 옮겨가는 것을 의미한다. ② 형식적 고착: 교수의 개인화/배경화 과정을 무시하고 공식화된 지식의 논리적 표현에만 의존하는 교수현상으로, 논리적, 형식적으로 표현된 지식을 곧바로 제시하고 연습시키는 것을 의미한다. ③ 토파즈식 외면치례: 탈배경화/탈개인화 측면을 강조하거나 무시한 것으로 교사는 가르쳐야 하고 학생은 배워야 한다는 소위 ‘교수학적 계약’에 의한 압박에서 일어나는 전형적인 현상이다. 힌트나 유도질문을 제시하여 학습자 스스로 지식 구성하는 걸 방해하는 현상이다. ④ 조르단식 외면치레: 탈배경화/탈개인화 측면을 간과한 것으로 학생의 사소한 행동을 보고 학생이 특정한 수학 지식을 형성했다고 과대평가하여 잘못 판단하는 경우를 말한다.

Answer 80

어떤 특정한 맥락에서는 성공적이고 유용한 지식으로서 학생의 인지구조의 일부가 되어 있지만, 새로운 문제해결이나 개념 이해의 상황이나 더 넓어진 문맥 등에서는 부적합해진 지식이다. 학습하고자 하는 지식의 본성에 기인하는 것이므로 결코 피할 수 없다. 새로운 지식이 성장·발달하기 위해서는 반드시 극복해야 하는 장애이다.

Answer 81

① 일상어의 영향: 자생적 관념인 용어의 일상적인 의미는 새롭게 도입된 수학적 개념과 뒤섞여서 부적절한 개념이미지를 형성하게 되어 수학 학습에 장애로서 작용하게 된다. 자생적 관념이란 교사의 지도 이전에 학습자가 가지고 있는 관념, 직관, 이미지를 말한다. ② 직관의 영향: 사고할 때 우리는 주관적 또는 경험적으로 확실하고 무모순적으로 보이는 표상과 아이디어와 같은 직관에 의존하게 된다. 실제적인 여러 가지 수학적 사고는 직관적으로 이뤄지지 않을 수 없다고 하더라도 수학은 직관을 배제하고 논리적, 형식적으로 전개되는 사고 패턴으로, 특히 직관은 무한이나 극한 개념의 학습에 장애가 된다. (체계적인 교육을 기준으로 1차 직관과 2차 직관이 구분된다.) ③ 과도한 일반화의 영향: 유한적인 인간이 경험할 수 없는 무한의 세계에 접근하여 이해하기 손쉬운 방법의 하나가 일반화와 유추이지만, 정작 무한의 세계에는 일반화와 유추가 성립하지 않으며 무한은 ‘논리적으로’ 이해되어야 하는 개념이다. ④ 은유의 영향: 은유는 수학에서도 의미를 이해하고 전달하는데 중요한 수단이다. 특히. 함수와 수열의 극한에서는 운동에 대한 은유로부터 많은 의미를 전달받고 있다. 가령, 화살표를 사용하여 극한 명제를 표현하고 있고, ‘수렴한다’, ‘발산한다’, ‘증가한다’, ‘일정하다’, ‘변화한다’ 등과 같은 운동은유가 역할을 한다.

Answer 82

교사는 학생의 수학적 지식의 습득이 일련의 여러 개념 구조를 쌓아가되, 각각의 개념은 다음 것에 대하여 장애를 야기시킬 소지도 충분히 있음을 주지하여야 한다. 따라서 교사는 그의 교수 결과가 불완전할 뿐만 아니라 반박될 수 있는 지식이라는 점을 받아들이며, 자신의 풍부한 배경화를 구축해가야 한다. 인식론적 장애는 제도화된 지식의 형식 속에 들어 있는 것이 아니라 주체가 구성하는 이해 속에 들어 있다. 이러한 이해는 학습 상황과 연계되어 있고 제도화된 지식의 이용을 위하여 필요하다. 수학적 사고의 발달 과정은 장애의 극복 과정이라고 할 수 있으며, 장애를 극복함으로써 보다 높은 새로운 차원의 이해가 가능해진다.

Answer 83

수는 추상화된 개념이다.

Answer 84

초등학교 때의 변수는 ○, □, △ 와 같은 것들이었다. 대수의 의미는 방정식의 풀이, 방정식을 푸는 계산이론과 관련이 깊다. 대수의 의미 변화를 살펴볼 때, 대수의 다양한 의미를 한 가지로 수렴하여 이해하기는 쉽지 않다. 대수에는 여러 측면이 포함될 수 있으며, 이러한 측면 가운데 어느 하나로 대수를 설명하는 것은 불가능해 보인다. 대수는 대수 학습의 내용과 수준에 따라 여러 가지 의미로 해석될 수 있다. (대수영역의 결론)

Answer 85

① 1900년대 이전 (유클리드원론 중심교육) ② 1900년대 전후: 수학교육 근대화운동. ③ 1955~ 1975년: 수학교육 현대화운동. ④ 1970년: 기본으로 돌아가기. ⑤ 1980년대 이후: 문제해결교육중심.

수교론~ Flashcards

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