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Question

Schätzwert / Punktschätzung

Answer 1

Zahl a aus der STichprobe ist ein Schätzwert für die Zahl (giechisch Alpha) der Grundgesamtheit Da es sich um jeweils einzelne Zahlen handel (Punkte auf dem Zahlenstrahl) spricht man von Punktschätzung

Answer 2

Varianz Population: (alpha)²=1/N \* Σ (x_i - µ)² Stichprobe: s²=1/n-1 \* Σ (xi - x^-)² Standardabweichung Population: (alpha)= Wurzel aus (alpha)² Stichprobe: s= Wurzel aus s² Achtung! Verschiebungssatz von Steiner zur Vereinfachung der Varianz der Sichprobe wie folgt: s²= 1/n-1 \* Σx_i²- n/n-1 \* x^-2

Answer 3

1. Klasische Methode / laplace Auffassung: \* Wert aufgrund von logischer, geometrischer bzw physikalischer Überlegungen: 1/n (bei gleichen Chancen) 2. Methode der relativen Häufigkeit / Häufigkeitsprinzip \* Anhang von Zufallsexperiemtn berechnet 3. Subjektive Methode: \*lässt sich nicht ableiten oder messen: z.B. Regenwahrscheinlichkeit beträgt 20% etc.

Answer 4

Vorgang, der beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederhlbar ist und imer ein Ergebnis aus einer bestimten Menge von Ergebnissen hat wobei das jeweilige Ergebnis des Einzelvorgangs nich vorhersehbar ist

Answer 5

Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes

Answer 6

Einzelnes Element aus dem Ereignisraum

Answer 7

Bestimmte Menge von Elementarereignissen / Ergebnissen

Answer 8

Stellen Ereignisraum und Ereignisse grafisch dar z.B.: Komplemetär- bzw. Gegenereignis A¯, Vereinigungsmenge u, Schnittmenge Π

Answer 9

zwei (oder mehr) ereignisse haben leere schnittmengen

Answer 10

1. P (E)= zahl / N 0 _P(E) 1_ 2. P (E) = 0 Jede Menge aller Teilmengen enthält auch immer die leere Menge 3. P (E1 U E2 U .... Em) = 1 4. Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses: P (-E) = 1 - P(E) 5. Ereignis E aus Elementarereignissen zusammengesetzte dann ist seine P die Summe: P (E)= P (E1 U E2 U ... Em) = P (E1) + P (E2) ... + E (Pm) 6. P (E U F) = P (E) + P (F) - P (E O F) DISKRETE ZUFALSVARIABLEN Erwartungswert (Mittelwert) E (X) = µ = Σⁿ_i=1x_i \* p (x_i) Varinaz: Var (X) σ² = Σn i=1 (x_i- µ) ²\* p (x_i) Standardabweichung: σ= Wurzel aus σ2 STETIGE ZUFALLSVARIABLEN (kontinuiertliche Zufallsvariablen) Eine "bestimmte Zahl" kann quasi ausgeschlossen werden Wahrscheinlichkeitsfunktion kann daher nicht genutzt werden, sondern Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bzw. Dichtefunktion (Ereignisse lassen sich nicht direkt ablesen und es können Werte von über 1 vorkommen). Aus Dichtefunktion wird Verteilungsfunktion abgeleitet (Bereich unter der Dichtefunktion). Dichtefunktion f(x): P (a a^bf (x) dx Verteilungsfunktion: F (x) { f (t) dt Verteilungsfuntion ist die universelle Beschreibung für Zufalsvariablen

Answer 11

Grafishe Darstellung von aufeinander folgenden Experimenten Ausgangspunkt: Wurzel (vor der ausführung des Experimentes) Andere Verzeigungspunkte: Knoten (an jedem Knoten findet ein Experiment der jeweils folgenden Sufe statt) Strecken: Äste (Wahrscheinlichkeit ist hier angeschrieben) Folge von Ästen bis zum letzten erreicharen Ast: Pfad Endpunkte der Pfade sind Ergebnisse des kombinierten Experments: Wahrscheinlichkeiten berechnen sich als Proukt der Wahrscheinlichkeiten der Äste (Pfadwahrscheinlichkeit) Stochastisch (Unabhängige) Ereignisse: Teilbexperimente sind unabhängig voneinander, wenn sich an alle Elementarereignisse der ersten Stufe identiche Teilbäume der zweien STufe anschliessen P (A | B) = P (A) P (B | A)= P (B) P (A o B) = P (A) \* P ( B) Achtung!: wenn A o B = Ø dann sind Ereignisse abhngig von einander, d.h sie schliessen sich gegenseitig aus (da ja zwei positive Eregnisse im Produkt nicht null sein können)

Answer 12

an sagt bsp. die bedingte Wahrschenlichkei von "rot" unter der bedingung "Kopf" ist 1/4 P (A | B) = der Anteil an B, der gleichzeitig auch zu A gehört totale Wahrscheinlichkeit kann auch über Pfade skizziert werden= Summe der Pfadtwahrscheinlichkeiten Rechenwege: 1. Über Wahrscheinlichkeitsbaum, erst die Pfadtwahrscheilichkeit ausrechnen, dann ins Verhältnis setzen (Verältnis gegenüber zum Komplimentärereignis) 2. Über Venn diagramm (dann eigentlich auch über Pfadtwarscheinlichkeiten aus der totalen Wahrscheinlichkeit) 3. Tabelle der Wahrscheinlichkeiten: Werte eingeben und Wahrscheinlichkeiten "stufenweise" multiplizieren

Answer 13

x --\> p (x) = P (X = x)

Answer 14

Gibt an dass der Wert der Zufallsvariablen höchstens einen bestimmten x-Wert annimmt. Bei diskreten Zufallsvariablen sind dies "Treppenfunktionen"

Answer 15

\* auch Glokenkurve genannt \*stetigen Verteilungen, mann benutzt das Z (Zufallsvariable) und z (konkreter Wet) anstatt X und x \* eine von Parametern abhängige Familie von verteilungen \* " Die Verteilung sei N (µ,σ) " bedeutet dass die Zufallsvariable normalverteilt mit einem Erwartungswert und Standardabweichung ist \* wird aus Tabellen abgelesen, keine Formel notwendig \* viele reale Verteilungen (Körpergrössen, Messwerte etc) sind annähernd normalverteilt \* man nutzt die Standardnormalverteilung = N (0,1) für alles (Paramenter: µ= 0 und σ= 1) \* interessiert man sich für ein Intervall dann zieht man immer den kleineren Wert vom grösseren ab (da es sich ja um kumulierte Werte handelt!) \* Formel von allgemeiner Noralverteilung zur Standardnormalverteilung: z= x-µ / σ bzw. x = µ + σ \* z --\> Danach aus der Tabelle den Wert ablesen HÄUFG VERWENDET: N (µ,σ) 90%: µ - 1,645 \* σ 95%: µ - 1,96 \* σ 99%: µ - 2,575 \* σ STATT PROZENT ZAHL AUCH VIELFACHES VERWENDN MÖGLICH: µ - 1 \* σ µ - 2 \* σ µ - 3 \* σ

Answer 16

Winkel in Grad = Relative Häufigkeit \* 360

Answer 17

Wir gehen aus von einer Grundgesamtheit über die wir mithilfe von Stichproben Erkenntnisse ziehen wollen

Answer 18

Wir verwenden einen Wert _x_ der Zufallvariablen _X_ aus der Stichprobe. Um zu sehen ob sich dieser Wert für eine solche Schätzung eignet untersuchen wir die gesamte Verteilung der Zufallvariablen "Stichprobenmittel _X"_ Dazu machen wir Aussagen über die Verteilung von _X_ die wir aber nicht beweisen. 1. Der Mittelwert von _X_ bei Zufallsvariablen wird auh Erwartungswert E (_X_) genannt. Dieser ist gleich dem Mittelwert in der Grundgesamtheit E( _X)_ = µ 2. Die Varianz berechnet sich wie folgt (σ²ist Var der Grundgesamtheit) Var (_X)_ = σ2 / n

Answer 19

1. Grössen der Grundgesamtheit: griechische Bustaben, kennen wir oft nicht. sind wohl definiert 2. Grössen einer einzelnen Stichprobe Hängen von der Zufallsauswahl ab und sind sebst zuföllig 3. Grössen der Verteilung der Zufallsvariablen. Aufrgund theoretisher Überlegungen aus den Grössen der Population und Stichprobenumfang zu berechnen und daher wohl definierte Zahlen Obige Aussagen besagen: \*Mittelwerte aus 1 und 3 sind identisch \*Varianz und Standardabweichung der Zufallsvariable Stichprobenmittelwert mit wachsendem Stichprobenumfang n immer kleiner wird Jede Stichprobe wird einen etwas anderen Mittelwert ergeben und keiner wird genau gleich dem mittelwert der grundgesamtheit sein, aber wir gehen genau in die richtige richtung. Wollen wir sicherstellen dass die Abweichung klein ist, dann müssen wir eine grosse Stichprobe ziehen. Da das Ergebnis ein Punkt auf der Achse der Zufallsvariablen ist, bezeichnen wir es als eine Punktschätzung.

Answer 20

Das Merkmal X ist in der Grundgesamtheit Normalverteilt,dann ist auch _X_ normalverteilt mit N (µ,σ/Wurzel aus n)

Answer 21

Bei Punktschätzungen: Die Schätzung ist verzerrt bzw. nicht erwartungsgetreu

Answer 22

Bemerkenswerte AUssage Hat die Grundgesaheit eine unbekannte Wahrscheinlichkeitsvereilung (also keine Noralverteilung) mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ und ist Stichprobenumfang hinreichend gross (n\> 30 & n \> 15 & wenn näherungsweise normalverteilt ist geht auch nX in guter Näherung normalverteilt mit N (µ, σ/ Wurzel aus n)

Answer 23

Meint die Wahrscheinlichkeit mit der eine Intervallschätzung des Mittelwertes richtig ist Mit a bezeichnen wir die verbleibende Irrtumswahrscheinlichkeit : Konfidenzwahrscheinlichkeit= 1-a Das Intervall um den Mittelwert in dem die Konfidenzwahrscheinlichkeit liegt nennt man Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) Der Konfidenzintervall ist ein Zufallsresultat abhängig von _X_

Answer 24

1. Konfidenzwahrscheinlichkeit berechnen µ - 1,96 \* σ 2. ggf zu z transformieren z= x-µ / σ\* Wurzel aus n 3. Irrtumswahrscheinlichkeit berechnen = 1- Konfidenzwahrscheinlichkeit 4. Intervallschätzung für Mittelwert berechnen µ=x+-za/2 \* σ / Wurzel aus n

Answer 25

Wenn σ²der Grundgesamthiet bekannt: _x_ +- z(a/2) \* σ / Wurzel aus n Wenn σ2 der Grundgesamthiet bekannt: x +- t(a/2) \* s / Wurzel aus n

Answer 26

Stichprobenumfang ist die Grösse die wir beeinflussen können

Answer 27

Kovarianz der Population: σ_xy = Σ (x_i - µ_x ) (y_i -µ_x) / N Kovarianz der Stichprobe (Punktschätzer für Kovarianz der Population): S_xy = Σ (x_i - _x_ ) (y_i -_x_) / n-1

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