Stetigkeit Flashcards
Welche Bedingung muss gelten, damit eine Funktion f an der Stelle x stetig ist?
Was bedeutet eine hebbare Unstetigkeit?
Was ist die Unstetigkeit erster Art, Unstetigkeit zweiter Art und oszillatorische Unstetigkeit?
Sei f : D → W eine Funktion und x ∈ D, dann sagt man f ist an der Stelle x stetig, wenn für jede Folge ξ = {ξ(i)}(i ∈ N) aus lim{i→∞}(ξ(i)) = x folgt:
lim{i→∞} f(ξ(i)) = f(lim{i→∞} ξ(i)) = f(x).
Hebbare Unstetigkeit existiert, wenn f(↑ x) und f(↓ x) existieren, einander gleich sind aber von f(x) verschieden sind.
Unstetigkeit erster Art existiert, falls f(↑ x) und f(↓ x) zwar existieren aber voneinander verschieden sind.
Unstetigkeit zweiter Art existiert, falls genau einer der einseitigen Grenzwerte f(↑ x) bzw. f(↓ x) nicht existiert oder unendlich ist. Ist einer der einseitigen Grenzwerte ∞ oder −∞, so nennt man x einen Pol bzw. eine Pol- oder Unendlichkeitsstelle.
oszillatorische Unstetigkeit existiert, falls weder f(↑ x) noch f(↓ x) existiert.
Was ist eine Überdeckung bzw. Teilüberdeckung? Wann ist eine Überdeckung endlich?
Seie a, b ∈ R voneinander verschiedene Zahlen. Dann heißt eine Menge I = {I(1), I(2), I(3), . . .} von offenen Intervallen I(i) = (a(i) , b(i)) eine Überdeckung von I = [a, b], falls
I ⊆ ∪(i)I(i) ist.
Eine Überdeckung J heist Teilüberdeckung der Überdeckung I, wenn J ⊆ I ist. Eine Überdeckung heißt endlich, wenn sie eine endliche Menge ist.
Was besagt der Nullstellensatz von Bolzano?
Seien a, b ∈ R mit a ≠ b und f : [a, b] → R eine überall stetige Funktion. Ist 0 ≠ sgn(f(a)) ≠ sgn(f(b)) ≠ 0, so gibt es ein c ∈ (a, b) mit f(c) = 0.
Was besagt der Zwischenwertsatz von Bolzano?
Seien a, b ∈ R mit a < b und f : [a, b] → R eine überall stetige Funktion. Dann gibt es für alle y ∈ (f(a), f(b)) ein Element x ∈ (a, b) mit f(x) = y.
Was besagt der erste Satz von Weierstrass?
Seien a, b ∈ R und f : [a, b] → R überall stetig. Dann ist f beschränkt auf [a, b], d. h. es gibt Zahlen m, M ∈ R mit m ≤ f(x) ≤ M, für alle x ∈ [a, b].
Was besagt der zweite Satz von Weierstrass?
Seien a, b ∈ R und f : [a, b] → R überall stetig. Sind m, M die größte untere bzw. kleinste obere Schranke von {f(x)| x ∈ [a, b]}, so gibt es Zahlen x(m), x(M) ∈ [a, b] mit f(x(m)) = m und f(x(M)) = M.
Was besagt der Satz von Cantor?
Seien a, b ∈ R und f : [a, b] → R überall stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig auf [a, b].
