Глава 11. Кривые второго порядка

Question 1

Уравнение, описывающее кривые второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат

Answer 1

Уравнение, описывающее кривые второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат имеет вид
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
в котором коэффициенты A, B, C одновременно не обращаются в нуль.

Question 2

Эллипс

Answer 2

Эллипс - это множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ есть заданная величина.

Question 3

Фокусы эллипса

Answer 3

Фокусы эллипса - это фиксированные точки внутри эллипса, расстояние до которых из любой точки эллипса есть некая постоянная величина.

Question 4

Фокальное расстояние эллипса

Answer 4

Фокальное расстояние эллипса - это расстояние между фокусами эллипса, обозначаемое через 2c.

Question 5

Фокальные радиусы эллипса

Answer 5

Фокальные радиусы эллипса - это отрезки, соединяющие произвольную точку на эллипсе с его фокусами.

Question 6

Оси эллипса

Answer 6

Оси эллипса - это две прямые, являющиеся также осями симметрии эллипса, одна из которых проходит через его фокусы, а другая - серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему фокусы эллипса.

Question 7

Центр эллипса

Answer 7

Центр эллипса - это точка, являющаяся также центром симметрии эллипса, находящаяся на пересечении осей эллипса.

Question 8

Вершины эллипса

Answer 8

Вершины эллипса - это точки пересечения эллипса с его осями симметрии.

Question 9

Большая полуось эллипса

Answer 9

Большая полуось эллипса - это отрезок, соединяющий центр эллипса с одной из его вершин и содержащий один из фокусов эллипса.

Question 10

Малая полуось эллипса

Answer 10

Малая полуось эллипса - это отрезок, соединяющий центр эллипса с одной из его вершин и не содержащий фокуса эллипса.

Question 11

Каноническая система координат для эллипса

Answer 11

Каноническая система координат для эллипса - это система координат, начало которой совпадает с центром эллипса.

Question 12

Канонические переменные в уравнении эллипса

Answer 12

Канонические переменные в уравнении эллипса - это переменные, соответствующие канонической системе координат.

Question 13

Каноническое уравнение эллипса

Answer 13

Каноническое уравнение эллипса:

⠀x²⠀⠀y²
⠀— + — = 1.
⠀a²⠀⠀b²

Question 14

Способ построения эллипса через окружность

Answer 14

Способ построения эллипса через окружность: если окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат сжать с коэффициентов a\b>1 вдоль оси ординат, то получится эллипс, описывающийся уравнением x² + (ya/b)² = a².

Question 15

Эксцентриситет эллипса ε

Answer 15

Эксцентриситет эллипса ε - это отношение фокального расстояния эллипса к его большой оси:
ε=c/a, если a>b,
ε=c/b, если a<b.

Question 16

Значения эксцентриситета для эллипса

Answer 16

Значения эксцентриситета для эллипса - 0<ε<1, при c ≠ 0, ε=0, при c = 0.

Question 17

Уравнения эллипса через фокальный радиус

Answer 17

Уравнения эллипса через фокальный радиус (каждое из уравнений является самостоятельным уравнением эллипса):
{ |F₁M| = a - εx
{
{ |F₂M| = a + εx

Question 18

Директриса эллипса

Answer 18

Директриса эллипса - это прямая перпендикулярная оси симметрии эллипса, содержащей фокусы, и отстоящие от центра эллипса на расстояние a/ε=a²/c.

Question 19

Фокальный параметр эллипса

Answer 19

Фокальный параметр эллипса - это расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса:
p = a/ε - c = a²/c - c = (a² - c²)/c = b²/c.

Question 20

Важное геометрическое свойство эллипса, связанное с фокальными радиусами и касательной к эллипсу

Answer 20

Важное геометрическое свойство эллипса, связанное с фокальными радиусами и касательной к эллипсу, заключается в том, что фокальные радиусы, проведенные к точке касания, составляют с касательной к эллипсу равные углы. При нормаль к касательной и биссектриса острого угла, образованного фокальными радиусами, параллельны.

Question 21

Оптическое свойство эллипса

Answer 21

Оптическое свойство эллипса - это физическое свойство эллипса, основывающееся на том, что фокальные радиусы, проведенные к точке касания, составляют с касательной к эллипсу равные углы, и заключающееся в том, что если в одном из фокусов расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из одного фокуса, сконцентрируются во втором фокусе, и наоборот.

Question 22

Гипербола

Answer 22

Гипербола - это геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний (а точнее модуль это разности) до двух фиксированных точек есть величина постоянная.

Question 23

Фокусы гиперболы

Answer 23

Фокусы гиперболы - это фиксированные точки, не принадлежащие гиперболе, модуль разности расстояний до которых из любой точки гиперболы есть величина постоянная.

Question 24

Фокальное расстояние

Answer 24

Фокальное расстояние - это расстояние между фокусами гиперболы.

Question 25

Фокальные радиусы гиперболы

Answer 25

Фокальные радиусы гиперболы - это отрезки, соединяющие произвольную точку на гиперболе с её фокусами.

Question 26

Оси гиперболы

Answer 26

Оси гиперболы - это прямые, являющиеся также осями симметрии гиперболы, одна из которых проходит через фокусы гиперболы, а вторая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему фокусы.

Question 27

Действительная ось гиперболы

Answer 27

Действительная ось гиперболы - это та ось гиперболы, что проходит через её фокусы.

Question 28

Мнимая ось гиперболы

Answer 28

Мнимая ось гиперболы - эта то ось гиперболы, что не проходит через её фокусы.

Question 29

Центр гиперболы

Answer 29

Центр гиперболы - это точка, являющаяся также центром симметрии гиперболы, являющаяся точкой пересечения осей симметрии.

Question 30

Каноническая система координат для гиперболы

Answer 30

Каноническая система координат для гиперболы - это система координат, начало которой совпадает с центром гиперболы.

Question 31

Канонические переменные в уравнении гиперболы

Answer 31

Канонические переменные в уравнении гиперболы - это переменные, соответствующие канонической системе координат.

Question 32

Действительная полуось гиперболы

Answer 32

Действительная полуось гиперболы - это отрезок, соединяющий центр гиперболы и её вершиной, лежащей на оси симметрии с фокусами.

Question 33

Мнимая полуось гиперболы

Answer 33

Мнимая полуось гиперболы - это отрезок, соединяющий центр гиперболы с её мнимой вершиной, лежащей на оси симметрии без фокусов.

Question 34

Каноническое уравнение гиперболы

Answer 34

Каноническое уравнение гиперболы: ⠀x²⠀⠀y² ⠀— - — = 1. ⠀a²⠀⠀b²

Question 35

Вершины гиперболы

Answer 35

Вершины гиперболы - это точки пересечения гиперболы с действительной осью симметрий.

Question 36

Эксцентриситет гиперболы

Answer 36

Эксцентриситет гиперболы - это величина, равная отношению фокального расстояния гиперболы к её действительной оси. Эксцентриситет гиперболы всегда попадает в интервал (1;+∞).

Question 37

Сопряжённая гипербола

Answer 37

Сопряжённая гипербола - это гипербола, задаваемая уравнением x²/a² - y²/b² = - 1.

Question 38

Каноническое уравнение сопряжённой гиперболы

Answer 38

Каноническое уравнение сопряжённой гиперболы - это уравнение гиперболы, которое имеет вид x²/a² - y²/b² = - 1.

Question 39

Уравнения гиперболы через эксцентриситет

Answer 39

Уравнения гиперболы через эксцентриситет: |F₁M| = ±(εx - a), где каждое уравнение можно считать уравнением гиперболы (знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус - левой).

Question 40

Директрисы гиперболы

Answer 40

Директрисы гиперболы - это прямые, перпендикулярные её действительной оси и удалённый в сторону центра гиперболы от её вершин на ε.

Question 41

Фокальный параметр гиперболы p

Answer 41

Фокальный параметр гиперболы p - это параметр гиперболы, заключающийся в расстоянии от директрисы гиперболы до ближайшего к ней фокуса p = c - a/ε = c - a²/c = (c² - a²)/c = b²/c.

Question 42

Геометрическое свойство гиперболы, при помощи которого доказывают её оптическое свойство

Answer 42

Геометрическое свойство гиперболы, при помощи которого доказывают её оптическое свойство заключается в том, что направляющий вектор касательно, проведённой к гиперболе в точке M параллелен биссектрисе угла F₁MF₂.

Question 43

Оптическое свойство гиперболы

Answer 43

Оптическое свойство гиперболы: лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса.

Question 44

Равнобочная гипербола

Answer 44

Равнобочная гипербола - это гипербола, у которой действительная и мнимая полуоси равны (a=b) и угол между асимптотами равен π/2.

Question 45

Уравнение равнобочной гиперболы (и ей сопряжённой гиперболы) в системе координат, в которой оси координат совпадают асимптотами равнобочной гиперболы

Answer 45

Уравнение равнобочной гиперболы (и ей сопряжённой гиперболы) в системе координат, в которой оси координат совпадают асимптотами равнобочной гиперболы, имеет вид xy = a²/2 (уравнение сопряжённой гиперболы: xy = -a²/2).

Question 46

Парабола

Answer 46

Парабола - это геометрическое место точек, равноудалённых от фиксированной точки и от фиксированной прямой.

Question 47

Фокус параболы

Answer 47

Фокус параболы - это фиксированная точка, лежащая на оси симметрии параболы, расстояние от которой до некоторой точки параболы равно расстоянию от этой точки до директрисы.

Question 48

Директриса параболы

Answer 48

Директриса параболы - это фиксированная прямая, перпендикулярная оси симметрии параболы, расстояние от которой до некоторой точки параболы равно расстоянию от этой точки до фокуса параболы.

Question 49

Фокальный радиус точки на параболе

Answer 49

Фокальный радиус точки на параболе - это расстояние между точкой на параболе и фокусом параболы, которое равно расстоянию между данной точкой и директрисой параболы.

Question 50

Ось параболы

Answer 50

Ось параболы - это прямая, также являющаяся её осью симметрии, проходящая через фокус параболы перпендикулярно директрисе.

Question 51

Эксцентриситет параболы

Answer 51

Эксцентриситет параболы равен единице.

Question 52

Вершина параболы

Answer 52

Вершина параболы - это точка, в которой парабола пересекает свою ось симметрии.

Question 53

Каноническая система координат для параболы

Answer 53

Каноническая система координат для параболы - это система координат, начало которой совпадает с вершиной параболы, а ось абсцисс - с осью симметрии.

Question 54

Канонические координаты параболы

Answer 54

Канонические координаты параболы - это координаты, соответствующие её канонической системе координат.

Question 55

Фокальный параметр параболы p

Answer 55

Фокальный параметр параболы p - это количественный параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы параболы. При помощи фокального параметра параболы можно посчитать уравнение директрисы (x=-p/2) и координаты фокуса параболы (F(p/2;0)).

Question 56

Каноническое уравнение параболы

Answer 56

Каноническое уравнение параболы - это уравнение, имеющее вид y²=2px.

Question 57

Геометрическое свойство параболы, на котором основывается её оптическое свойство

Answer 57

Геометрическое свойство параболы, на котором основывается её оптическое свойство, заключается в том, что в любой точке параболы нормальный вектор к касательной к параболе в этой точке составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.

Question 58

Оптическое свойство параболы

Answer 58

Оптическое свойство параболы заключается в том, что если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения будут параллельны оси параболы.

Question 59

Неполное уравнение кривой второго порядка

Answer 59

Неполное уравнение кривой второго порядка - это такое уравнение кривой второго порядка Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (A² + B² + C² ≠ 0), в котором либо B=0 (нет слагаемого с произведением переменных), либо A=C=0 (нет слагаемых с квадратами переменных).

Question 60

Переобозначение переменных при повороте системы координат на плоскости на угол, кратный π/2

Answer 60

Переобозначение переменных при повороте системы координат на плоскости на угол, кратный π/2 - это прием, соответствующий введению новых переменных... (см. картинку замечание 11.4., с. 324).

Question 61

Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата по x

Answer 61

Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата по x заключается в следующем преобразовании: ax² + bx +c = a(x-x₀) + d, где x₀ = -b/(2a), d = (b² - 4ac)/(-4a) = c - b²/(4a).