ALM Flashcards
Vektor Definition & Schreibweise
- Definition Ein Vektor ist eine Zusammenfassung von n Zahlen xi (auch Elemente genannt) Wir beschränken uns auf dem Raum der reellen Zahlen, d.h. jeder Zahl des Vektors ist eine reelle Zahl.
- Schreibweise: Vektoren sind im Folgenden immer klein und fett gedruckt
Wie können Vektoren darstellt werden?
Sofern nicht anders vermerkt, sind Verktoren immer Spaltenvektoren, während Zeilenvektoren als x´ bezeichnet werden. Dabei zeigt das Apostroph an, dass der Vektor transponiert wurde, d.h. der Vektor nun einer Zeile entspricht
Rechenregeln mit Vektoren: Skalenmultiplikation
Bei der Multiplikation mit einem Skalar a wird jedes Element einzeln mit a multipliziert
Rechenregln mit Vektoren: Vektorenaddition
Bei der Vektorenaddition werden die Elemente beider Vektoren elementeweise addiert
Rechenregeln mit Vektoren: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren. Dabei werden die Elemente an der gleichen Position multipliziert und aus allen Produkten wir die Summe gebildet. Das Skalarprodukt ist als eine (reelle) Zahl.
Rechenregeln mit Vektoren: Norm
Die Norm ist die Länge eines Vektors und ergibt sich indem man erst alle einzelnen Elemente quadriert, dann summiert und anschließend die Wurzel der Summe berechnet. In anderen Worten: die Norm ist sie Wurzel aus dem Skalarprodukt eines Vektors mit such selber.
Rechenregeln Winkel zwischen zwei Vektoren und Orthogonalität
Wenn man zwei Vektoren in ein Koordinatensystem eintragen würde, dann könnte man einen Winkel zwischen ihnen ausrechen. Der Kosinus des Winkels θ, also cos(θ), zweier Vektoren bestimmt sich als das Skalarprodukt der Vektoren getrennt durch das Produkt der Normen der Vektoren . Um den Winkel zu berechnen muss man noch den Arkuskosinus auf den Bruch anwenden
Rechenregeln Winkel zwischen zwei Vektoren und Orthogonalität - Welche Eigenschaft ergibt sich?
Nun ergibt sich eine interessante Eigenschaft von Vektoren, wenn diese orthogonal, also rechtwinklig mit einem Winkel von 90° zueinanderstehen. Denn der obige Ausdruck ergibt genau θ=90, wenn arccos(0) gilt, der Bruch innerhalb der Klammern des arccos also insgesamt den Wert 0 annimmt.
Allgemein gilt somit: Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren (der Zähler des Burchs) 0, so sind die Vektoren auch gleichzeitig orthogonal zueinander.
Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren
Eine Menge von p Vektoren {x1, x2,…,xp} können linear abhängig oder linear unabhängig sein. Dabei heißen die Vektoren genau dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren xi als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Mit anderen Worten: Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn es reelle Zahlen a1, …, ap-1 gibt, sodass gilt:
xp= a1x1 + a2x2 + … + ap-1xp-1
Existiert eine solche Kombination, sind die Vektoren der Menge per Definition linear abhängig.
Matrix: Definition und Schreibweise
- Definition:Matrizen sind in gewisser Weise eine Verallgemeinerung von Vektoren. Mehrere Spalten- oder Zeilenvektoren lassen sich in Form einer Tabelle mit n Zeilen und q Spalten zusammenfassen; einer (n x q)-Matrix (Sprich: „n kreuz q“).
- Schreibweise: Im Folgenden werden Matrizen groß geschrieben und fett gedruckt. Einzelne Elemente indiziert man mit xij mit i ∈ {1, …,n} und j ∈ {1, …,q}.
Arten von Matrizen
(i) quadratische Matrix: Wenn eine Matrix genauso viele Zeilen wie Spalten besitzt (n x n), dann bezeichnet man sie als quadratisch.
(ii). Diagonalmatrix: quadratische Matrix mit Zahlen ai ∈ ℝ und ai ≠ 0 auf der Hauptdiagonalen, aber ansonsten nur Nullen.
(iii). Einheitsmatrix: Sind bei einer Diagonalmatrix zusätzlich alle ai = 1, dann spricht man von einer Einheitsmatrix.
Rechenregeln mit Matrizen: Skalarmultiplikation
Jedes Element der Matrix wird mit a multipliziert.
Rechenregeln mit Matrizen: Matrizenaddition
Die Elemente der Matrizen werden paarweise addiert.
Rechenregeln mit Matrizen: Transposition
Zeilen und Spalten werden vertauscht, d.h. die erste Zeile wird zu ersten Spalte, die zweite Zeile wird zur zweiten Spalte usw.
Rechenregeln mit Matrizen: Matrizenmultiplikation
Das Produkt zweier Matrizen ist wieder eine Matrix, deren Elemente die Skalarprodukte der Zeilen der ersten und der Spalten der zweiten Matrix sind.
Die Rechenregel lautet dabei also in etwas „Zeile mal Spalte“. Dabei ist die Matrizenmultiplikation nur dann möglich, wenn die Matrix X genauso viele Spalten besitzt, wie die Matrix Y Zeilen. Weiterhin gilt, dass das Ergebnis des Produkts einer (n x q)-Matrix mit einer (q x m)-Matrix eine Matrix mit n Zeilen und m Spalten ergibt ( (n x q ) * (q x m) = (n x m)). Daruas folgt, dass die Matrizenmultiplikation, so wie sie definiert ist, nicht kommutativ ist, d.h. die beiden Matrizen nicht „ihre Reihenfolgen tauschen können“ (wie es bei der normalen Multiplikation möglich ist).
