12. tétel Flashcards
(11 cards)
Egész típusú számrendszer
A bináris számrendszer 0-t vagy 1-et használ számábrázoláshoz. N biten 2n lehetséges érték reprezentálható.
a) Előjel nélküli egész:
𝑁−1
𝑉 𝑈𝑛𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒𝑑 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 = ∑ 𝑏𝑖 ∗ 2𝑖
𝑖=0
, ahol bi az i-edik pozícióban lévő 0 vagy 1.
* A reprezentálható értékek a [0; 2^N - 1] zárt intervallumba esnek.
* Helyiértékes rendszer.
* A negatív számok ábrázolása nem lehetséges.
b) 1’s komplemens rendszer
* V értékű, N bites rendszer: 2N - 1 – V
* Minden bitet negálunk (0 lesz ott, ahol 1-es volt, 1-es lesz ott, ahol 0 volt).
* A reprezentálható értékek a [-2N - 1 – 1; 2N - 1] zárt intervallumba esnek.
* Nem helyiértékes rendszer.
* (Kétféleképpen is lehet ábrázolni a zérust: 000000 vagy 111111)
c) Előjeles (2’s komplemens) rendszer
𝑁−2
𝑉2′𝑠𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑠 = −𝑏𝑁−1 ∗ 2𝑁−1 + ∑ 𝑏𝑖 ∗ 2𝑖
𝑖=0
* A reprezentálható értékek a [-2N - 1; 2N - 1 - 1] zárt intervallumba esnek.
* Ha az MSB = 1, akkor negatív a szám.
Fix típusú számrendszer
Az összeadás és kivonás műveletek ugyanazok, mint az egész típusú számrendszernél, viszont a szorzásnál és az osztásnál meg kell vizsgálni, hogy a tizedespont a helyén maradt-e.
𝑁−2
𝑉𝐹𝑖𝑥𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 = −𝑏𝑁−1 ∗ 2𝑁−𝑝−1 + ∑ 𝑏𝑖 ∗ 2𝑖−𝑝
𝑖=0
, ahol p a radix (tizedespont) helye, tizedes jegyek száma.
Differencia: ∆𝑟 = 2−𝑝 (Pl.: ha p=0, akkor a differencia = 1 -> egész rendszer, különben fixpontos.)
Alkalmazás: fixpontos műveletvégző egységeknél, pl.: jelfeldolgozásnál.
Lebegőpontos típusú számrendszer
Lebegőpontos számok kitevőjét (exponensét) tárolják vagy kódolják ezzel a módszerrel. Célja, hogy a kitevő ne legyen negatív, ezért eltolással oldják meg a számábrázolást.
𝑆1 + 𝑆2 = (𝑉1 + 𝐸) + (𝑉2 + 𝐸) = (𝑉1 + 𝑉2) + 2𝐸
, ahol S – a reprezentálni kívánt érték (kódolt eredmény, amit tárolunk)
V – a szám (exponens) valódi értéke
E – excess (eltolás / offset)
S = V + E
A pontos eredmény: (𝑉1 + 𝑉2) + 𝐸, de E-t még ki kell vonnunk belőle!
Lebegőpontos rendszerek (FPN)
A lebegőpontos számok leírása 7 különböző tényező alapján történik: a számrendszer alapja, a szám előjele és nagysága, a mantissza alapja, előjele és hosszúsága, ill. a kitevő alapja.
(𝑒𝑙ő𝑗𝑒𝑙)𝑀𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑧𝑎 ∗ 𝐴𝑙𝑎𝑝^𝐾𝑖𝑡𝑒𝑣ő
A fixpontos rendszerhez képest nagyságrendekkel kisebb vagy nagyobb számok ábrázolására is van lehetőség.
Normalizált rendszerek: DEC-32, IEEE-32, IBM-32.
IEEE normalizált számrendszer
Szabvány a bináris lebegőpontos számok tárolására, amely tartalmazza még a negatív zérust (-0), a normalizálatlan számokat és a nem számokat is (NaN).
Mantisszát 1 és 2 közé normalizálja
Lebegőpontos szám tárolási formátumai:
* 16 bites: half
* 32 bites: single
* 64 bites: double
* 128 bites: quadruple
* Kibővített (extended)
A lebegőpontos szám értéke:
𝑉𝐹𝑃𝑁 = (−1)𝑆𝐼𝐺𝑁𝑉𝑀 ∗ 𝑟𝑏𝑉𝐸
, ahol rb – a számrendszer alapja
VM – a mantissza értéke: 𝑉𝑀 = ∑𝑁𝑖=−01 𝑑𝑖 ∗ 𝑟𝑏𝑖−𝑝 , ahol p – radix pont helye
- A mantissza maximális értéke: 𝑉𝑀𝑚𝑎𝑥 = 1 − 𝑟𝑏−𝑚, ahol m – a mantissza bitjeinek száma
- A mantissza minimális értéke: 𝑉𝑀𝑚𝑖𝑛 = 𝑟 1𝑏
VE – exponens értéke
Példa:
re = rb= 2-es számrendszer e= 8 egész számok mérete
Excess-127 = 0 1 1 1 1 1 1 1
HB = 1
Szám: 12.0625
1. 2-es számrendszerbe alakítás:
12.0625 = 1 1 0 0 . 0 0 0 1, előjel: 0
2. Normalizálás:
1 1 0 0 . 0 0 0 1 = 1 . 1 0 0 0 0 0 1 * 2^3
3. Kitevő átalakítása 2-es számrendszerbe: 3 = 1 1
4. Exponens meghatározása:
0 1 1 1 1 1 1 1
+ 0 0 0 0 0 0 1 1
= 1 0 0 0 0 0 1 0
5. Ábra: [0][1 0 0 0 0 0 1 0][HB=1][1 0 0 0 0 0 1… + 15 db nulla]
DEC normalizált számrendszer
szintén bináris alapú, mint az IEEE
Mantisszát 0 és 1 közé normalizálja
nem mindig támogatja a végtelent vagy a NaN-t
DEC Példa:
rb = re= 2-es számrendszer e=8 egész számok mérete
Excess-128 = 1 0 0 0 0 0 0 0
HB=0
Szám: -15.125
1. Kettes számrendszerbe alakítás + előjel bit megadás:
-15.125 = 1 1 1 1 . 0 0 1 Előjel bit: 1
2. Normalizáció 0-ra:
1 1 1 1 . 0 0 1 —-> 0 . 1 1 1 1 0 0 1 * 2^4 <-kitevő
3. Kitevő átalakítása: 4 = 1 0 0
4. Exponens meghatározása:
1 0 0 0 0 0 0 0 + 1 0 0 = 1 0 0 0 0 1 0 0
5. Ábra:
[1][1 0 0 0 0 1 0 0][1 1 1 1 0 0 1… + 16 db nulla]
IBM normalizált számrendszer
hexadecimális alapú
nincs végtelen vagy NaN
Példa:
re = 2, rb= 16-os számrendszer e=7 egész számok mérete
Excess-64 = 1 0 0 0 0 0 0
HB = 0
Szám: 12.0625
1. 16-os számrendszerbe alakítás <- rb számrendszer:
12.0625 = C . 1, előjel: 0
2. Normalizálás:
C . 1 = 0 . C 1 * 16^1, mantissza: C . 1 = 1 1 0 0 . 0 0 0 1
3. Kitevő átalakítása 2-es számrendszerbe <- re számszendszer: 1 = 1
4. Exponens meghatározása:
1 0 0 0 0 0 0 + 1 = 1 0 0 0 0 0 1
5. Ábra: [0][1 0 0 0 0 0 1][1 1 0 0 0 0 0 1… + 16 db nulla]
Normalizált lebegőpontos számábrázolás
A vezető 1-esek számát a legtöbb rendszer tervezésekor konstans értékként definiálják (HB=1), de nem tárolják. Ilyen a mantissza legmagasabb helyiértékű bitje, amit rejtett bitnek (HB – hidden bit) nevezünk, mely közvetlenül az exponens bitek mögött helyezkedik el. Ha ez 1-esre van beállítva, duplájára nő a legális mantisszák, így az ábrázolható értékek száma is.
Problémát jelent a zérus ábrázolása. Az ábrázolt lebegőpontos számot akkor tekintjük zérusnak, ha az exponens bitek mindegyike zérus re=2 és Excess 2e-1 kódolás esetén.
Nem-numerikus információ ábrázolása
Nem-numerikus információk például: szöveges és logikai információt, grafikus szimbólumok és vezérlési karakterek.
A számjegyek (0-9), a tizedespont, a pozitív és negatív jelek, valamint az üres karakter egy 14 karakterből álló halmazt alkot. Ehhez ha hozzá vesszük az ábécé (A-Z) betűit, központozást, címkéket és a formátumvezérlő karaktereket (vessző, pont, whitespace karakterek), akkor egy 46 elemű halmazt kapunk. Így log2 46 = 6 biten tudjuk tárolni ezeket az adatokat, 7 biten tárolva pedig már a kis- és nagybetűs karaktereket is magába foglalja. Karakterkódolási típusok:
* BCD: 6 biten tárol (Nagybetűk, számok és speciális karakterek)
* EBCDIC: 8 biten tárol (BCD + kisbetűk, de nincs mindegyik érték kihasználva a 256-ból)
* ASCII: 7 biten tárol (extended már 8 biten)
* UTF-n: változó hosszúságú karakterkészlete van a többnyelvűség támogatása miatt.
Hamming kódolás
Hibakódolás
N bit segítségével 2N különböző érték, cím vagy utasítás ábrázolható. 1 bittel növelve így megduplázódik az ábrázolható értékek tartománya.
Redundancia: többlet bitek segítségével lehet a hibákat detektálni, ill. akár javítani is.
Paritás bit
A legegyszerűbb hibafelismerési eljárás a paritás bit átvitele.
Páros paritás esetén az 1-esek száma páros. A kódszóban lévő 1-esek számát 1 vagy 0 hozzáadásával párossá egészítjük ki. Pl.: 0 a paritás bit, ha az 1-esek száma páros volt.
Páratlan paritás esetén az 1-esek száma páratlan. A kódszóban lévő 1-esek számát 1 vagy 0 hozzáadásával páratlanná egészítjük ki. Pl.: 1 a paritás bit, ha az 1-esek száma páros volt.
Hamming-kódolás
A több redundáns bittel nem csak a hiba meglétét és helyét tudjuk detektálni, hanem akár a hibás bitet javítani is tudjuk. Hamming-kódolással egybites hibát tudunk javítani, mivel egy biten tároljuk a bitmintázatok azonos helyiértékű bitjeinek különbségét.
2N – 1 bites Hamming-kód esetén N db kódbit és 2N – N – 1 db adatbit van. Pl.: 7 biten 4 adatbitet és 3 kódbitet kódolunk. A Ci kódbitek a bináris súlyuknak megfelelő bitpozícióban helyezkednek el, míg a maradék pozíciókat rendre Di adatbitekkel töltjük fel.
ALU felépítése és működése
Utasítások hatására a vezérlőjelek jelölik ki a végrehajtandó aritmetikai vagy logikai műveletet. További adatvonalak is kapcsolódhatnak közvetlenül a státusz regiszterhez, amelyben fontos információkat tárolunk, például: zero bit, carry-in, carry-out átvitelek, előjel bit, paritás, túl- vagy alulcsordulást jelző bitek.
Státusz jelzőbitek (flag)
Az aritmetikai műveletek eredményétől függően hibajelzésre használatos jelzőbiteket nevezzük státusz flag-eknek. Ezek megváltozása az utasításkészletben előre definiált utasítások végrehajtásától függ.
Pl.: N = 4 bites ALU felépítése:
