TEOREME Flashcards
Grupoid i neutrali
Ako u grupoidu (S,°) postoje levi i desni neutralni element, tada su oni jednaki.
Jedinstveni neutral
Grupoid ne može imati više od jednog neutralnog elementa.
Ako grupoid ima neutral onda je on jedinstven.
Semigrupa i inverz
U semigrupi (S,°) nijedan element ne može imati različit levi i desni inverz.
Jedinstveni inverz
U semigrupi (S,°) svaki element ima najviše jedan inverzni element.
Inverz a°b
Neka je (S,°) semigrupa sa neutralom e. Ako element a iz S ima inverz a’ i b iz S ima inverz b’, tada je inverz (a°b)’=a’°b’
Grupoid je grupa
Ako je grupoid (S,°) istovremeno semigrupa i kvazigrupa, onda je (S,°) grupa.
Minimalizacija aksioma grupe
Ako je (S,°) semigrupa u kojoj postoji levi (desni) neutralni element i ako za svaki element a iz S postoji levi (desni) inverzni element a’ iz S, (S,°) je grupa.
Podgrupa
Struktura (H,°) je podgrupa grupe (S,°) ako važi
1) H je neprazni podskup S
2) operacija je zatvorena u H
3) svaki inverz elementa iz H se nalazi u H
Langražova teorema
Neka je (H,°) podgrupa konačne grupe (S,°). Tada je broj elemenata S deljiv brojem elemenata H.
Red grupe i red elementa
U svakoj konačnoj grupi red bilo kog njenog elementa deli red grupe.
Prsten (S,+,°) i 0
U proizvojlnom prstenu (S,+,°), za svako x važi da je x°0=0°x=0, gde je 0 neutral za +.
Komutativni prsten
Ako struktura (S,+,°) zadovoljava sledeće uslove
1) (S,+) je Abelova grupa
2) (S,°) je komutativna semigrupa
3) operacija ° je levo distributivna u odnosu na +,
tada je (S,+,°) komutativan prsten.
Definicija tela
Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi različiti od nule invertibilni je telo.
Množenje u konačnom telu
Operacija množenja u svakom konačnom telu je komutativna tj. svako konačno telo je polje.
n elemenata polja
Polje sa n elemenata GF(n), postoji akko je n=p^k, gde je p prost broj, a k prirodan broj.
