2) Expected Utility Representation

Question 1

Cosa fa la decision theory under uncertainty

Answer 1

Analizza i possibili modi di descrivere le preferenze di un soggetto in uno spazio di azioni A date le preferenze sulle possibili conseguenze incerte C

Question 2

Come scriviamo una lotteria binaria?

Answer 2

(x, y, π). The lottery pays x with π probability and y with (1-π) probability

Question 3

Che assunzioni necessiatiamo per poter creare una funzione di utilità?

Answer 3

1. (x,y,1) = x
   (x,y,π) = (y,x,1-π)
   (x,z,π) con z=(x,y,T) è uguale a (x,y,π+(1-π)T)
2. Le preferenze sono complete e transitive
3. Le preferenze sono continue
4. y è preferito a z se (x,y,π) è preferito a (x,z,π)
5. Assumiamo che esita un lotteria migliore di tutte e una peggiore di tutte

Question 4

Quali sono le osservazioni che traiamo dalle assunzioni per creare la funzione di utilità?

Answer 4

1. x,k,z sono delle conseguenze e x ≻ k ≻ z. Allora ci sarà una probabilità per cui (x,z,π) è indifferente a k.
2. Con x ≻ k, abbiamo (x,k,π1) ⪰ (x,k,π2) se π1>=π2.

Question 5

Teorema funzione di utilità

Answer 5

Se valgono tutte le cinque assunzioni, allora U(x,y,π) = π * u(x) + (1-π) * u(y)

Question 6

Com’è chiamata la funzione di utilità?

Answer 6

Funzione di utilità di Von Neumann-Morningsten oppure Expected Utility.

Question 7

Come generalizziamo la funzione di utilità a n stati della natura?

Answer 7

Le probabilità di ciascuno degli n stati della natura devono essere maggiori di 0 e sommare a uno. In quel caso la funzione di utilià dell’azione a con un vettore c di conseguenze si scrive come U(a) = ∑i (πi) * u(c(a,i)) = E[u(c)].

Question 8

Qual è l’interpretazione della notazione E[u(c)]?

Answer 8

è il valore atteso dell’utilità di un vettore di conseguenze c rispetto ad un’azione a.

Question 9

Cos’è in conclusione l’utilità di un’azione a?

Answer 9

In conclusione l’utilità dell’azione a è l’utilità attesa dei risultati che scaturiscono dall’interazione dell’azione e degli stati di natura. Questo perché secondo il metodo Expected Utility le preferenze sulle azioni sono la media ponderata delle utilità sulle possibili conseguenze dell’azione.

Question 10

Come trattiamo le trasformazioni della funzione di utilità?

Answer 10

Ipotizziamo che U(a) e U(a) = A * U(a) + B, con A>0, sono due funzioni che differiscono per una moltiplicazione per A. Esse rappresentano le stesse preferenze in condizioni di incertezza delle azioni.

Question 11

Per una generica funzione di utilità, come sono tra loro E[u(c)] e u[E(c)]?

Answer 11

La prima indica il valore atteso dell’utilità del vettore di conseguenze c. La seconda indica l’utilità del valore atteso del vettore di conseguenze c. Quindi sono generalmente diversi tra loro.