Zelf gemaakte vragen

Question 1

Although for solids and fluids both mass and momentum balance are solved, the approach is different. Which approach is used for solids and which for fluids? What are the dependent variables? And independent variables?

Answer 1

Solids: Lagrangian approach
Dependent (unknown): U
Independent: x0, t

Fluids: Eulerian approach
Dependent (unknown): V
Independent: x ,t

Question 2

Wat betekent material frame indifference?
Wat betekent rigid body rotation?

Answer 2

Material frame indifference= Rigid body translations/ rotations should not induce stress.

Rigid body rotation= A motion that occurs when a solid body moves in a circular path around something. These bodies do not change their shape or deform.

Question 3

Wat is een objective tensor en een invariant tensor?

Answer 3

Objective tensor:
Cauchy stress: σ+ = Q * σ * Qt
Left Cauchy-Green tensor: B+ = Q * B * Qt

Invarant tensor:
Second PK stress: S+ = S
Green-Lagrange strain: E+ = E

Question 4

Hyperelastic material=

Answer 4

All energy that is put into the material during mechanical loading is recovered during unloading.
No energy dissipation (heat).

Question 5

Wat zijn de voor- en nadelen van het gebruik van de second PK stress?

Answer 5

Voordelen:
Symmetrie in alle afgeleiden
Tijdsafgeleide is invariant (no issues with discretization)
Linearisatie is makkelijker vergeleken met de Cauchy stress

Nadeel:
Physische interpretatie van resultaten kan lastig zijn.

Question 6

Isotropisch materiaal=

Waar hangt de energie dichtheids functie van af?

Answer 6

Een materiaal waarbij de eigenschappen niet van de richting afhangen.

De strain energy density function (U) is afhankelijk van invarianten van C: I1, I2 en I3.

U =U(I1, I2, I3).

Question 7

Wat is de formule voor de Cayley-Hamilton theorem?

Answer 7

A^3 - I1A^2 + I2A - I3 II = 0

Question 8

Wat betekent het als je de energy density function kan opstellen?

Answer 8

Dan is het materiaal hyperelastisch.

Question 9

Wat zijn eigenschappen van incompressible materiaal?

Answer 9

Stress (spanning) is possible without deformation.

Question 10

Noem 3 voorbeelden hoe je een incompressible material kan beschrijven

Answer 10

Neo-Hookean
Mooney-Rivlin model
Extended Mooney-Rivlin model

Question 11

Wat is een ansiotropisch materiaal?
Hoe ziet de energie functie eruit?

Answer 11

Een materiaal dat zich verschillend gedraagt in verschillende richtingen.
U = U(I1, I2, I3, I4, I5)

Question 12

Wat zijn de eigenschappen van hyperelastische vaste stoffen?

Answer 12

De stress state in het materiaal wordt gedefinieerd door alle energie die erin wordt gestopt.
Alle energie is recovered tijdens unloading.

Question 13

Wat zijn de eigenschappen van hypoelastische materialen?

Answer 13

De stress state in het materiaal wordt gedefinieerd door de complete strain geschiedenis.
Belangrijk bij viscoelastisch materiaal.
De materiaal wetten bevatten tijdsafgeleiden van de stress and strain.

Question 14

Waarvoor wordt de Truesdell derivative gebruikt in Neo Hookean materials?
Wat is de valkuil hierbij?

Answer 14

Met de Truesdell derivative en de rate of deformation tensor kan de materiaal wet worden afgeleid. Het is een goede tijdsafgeleide om materiaal wetten voor viscoelastische materialen te bepalen.

De valkuil hierbij is dat er niet gegarandeerd kan worden dat alle energie weer vrij komt na loading. (eleastic behavior/ no dissipation not guaranteed). Dit komt doordat er informatie verloren kan tijd wanneer tijdsafgeleiden gebruikt worden.

Energie verlies is een natuurlijk phenomeen bij viscoelastische materialen.

Question 15

Wat is er belangrijk bij het plotten van de stress tijdens de vergelijking hypo- vs hyperelastisch?

Answer 15

Tijdstappen!

Het resultaat van hypoelastisch materiaal hangt af van de tijdstappen. Hypoelastische materiaal wetten representeren alleen het resultaat goed als er hele kleine tijdstappen worden gebruikt (en dus veel tijdstappen).

Question 16

Waar kan je vloeistof mechanica op toepassen?

Answer 16

Cardiovasculaire problemen
Ademhaling
Warmte transport
Transport in en rondom cellen

Question 16

Waar kan je vloeistof mechanica op toepassen?

Answer 16

Cardiovasculaire problemen
Ademhaling
Warmte transport
Transport in en rondom cellen

Question 17

Waar voor staan F, Q en B?

Answer 17

F; deformatie tensor
B;rate of deformation tensor
Q; rigid body rotation

Question 18

Wat gebeurt er met het volume bij een incompresibele stroming? Welke waarde heeft J?

Answer 18

Geen volume verandering. tr(D)=0, dus J=0.

Question 19

Welke twee getallen krijg in de dimensieloze Navier-Stokes vergelijking en wat is hun formule?

Answer 19

St= Strouhal number = L / ( V * τ )
Re = Reynolds number = n / ( ρ * L * V )

Question 20

Wanneer wordt de dimensieloze Navier stokes vergelijking de stokes flow? En wat zijn belangrijke voorwaarden van de stokes flow?

Answer 20

Wanneer St < < 1 en Re < < 1.

Voorwaarden:
- stroming zonder vrij oppervlakte
- alleen essentiele randvoorwaarden

Question 21

Wat is de gemixte formulering? en wat is het gevold?

Answer 21

Hierbij zijn er 2 onbekende: snelheid en druk.
Je moet elementen gebruiken die voldoen aan de BB conditie (Babuska-Brezzi of inf-sup conditie). Hierbij moet je druk een lagere interpolatie orde hebben dan de snelheid.

Question 22

Hoe ziet de uiteindelijke matrix vergelijking van de stokes flow eruit?

Answer 22

K * a = f

K is een matrix met:
[Kuu Kup^T
Kup 0]

a is een array met:
[v
p]

f is een array met:
[f
0]

Question 23

Wat zijn twee voorbeelden van elementen die aan de BB conditie voldoen?

Answer 23

Tayler-Hood: Q2Q1, P2P1, P1+P1 (bubble function).

Crouzeix-Raviart: Q2Q0^d, P2+P1^d

Question 24

wat betekenen de letters en getallen bij aanduidingen van elementen?

Answer 24

Q = element met 4 hoeken
P = element met 3 hoeken

1ste letter voor snelheid
2de letter voor druk

2 = quadratische interpolatie
1 = lineaire interpolatie

+ = zit tussen linear en quadratisch in. Dit zorgt voor een zogenaamde bubble functie.

d = discontinu

Question 25

Wat gebeurt er als Re > > 1 in de Navier-Stokes vergelijking?

Answer 25

Dan wordt convectie belangrijker.

Question 26

Wat zijn 2 uitdagingen in het oplossen van de Navier-Stokes eq? Welke termen zorgen hiervoor?

Answer 26

Instationary term > probleem wordt tijdsafhankelijk > theta-schema

Convective term > probleem wordt nonlinear > Newton method

Question 27

Verschil/ overeenkomst tussen explicitet en impliciet?

Answer 27

Expliciet:
- programeren is makkelijker
- kan instabiel worden
- orde delta t accuraat

Implicitet:
- lastiger te programmeren
- onconditioneel stabiel
- orde delta t accuraat

Question 28

Welke theta voor impliciet, expliciet en Crank-Nicholson?

Answer 28

0 explicitet
1 impliciet
0.5 Crank-Nicholson

Question 29

Tussen welke theta waardes is de oplossing conditioneel stabiel en wanneer onconditioneel stabiel?

Answer 29

oplossing conditioneel stabiel: 0 ≤ θ 0.5

oplossing onconditioneel stabiel: 0.5 ≤ θ ≤ 1

Question 30

Wat zijn de 5 stappen die je moet nemen om de Navier-Stokes + newtonian fluid te kunnen oplossen?

Answer 30

1 tijdsdiscretizatie (theta schema oplossen voor t n+1 naar lhs, dan impliciet schema gebruiken)
2 linearizatie (Newton method)
3 gewogen residuen formulatie
4 partieel integreren
5 discretizeren in elementen en knopen

Question 31

Wat is het gevolg van een incompressible flow?

Answer 31

Gemengde formulering

Question 32

Total Lagrange approach
Updated Lagrande appriach

Answer 32

Total= reference is the undeformed configuration
Updated= reference is the last converged configuration

Question 33

Bij Newton linearizatie; hoe noem je de echte oplossing en hoe noem je de schatting?

Answer 33

Xs: echte oplossing
Xi: laatste schatting

Question 34

Bij het oplossen kom je uiteindelijk uit bij een matrix Ke en deze bestaat uit meerdere termen. Hoe ziet Ke eruit en waarkomen de verschillende termen D vandaan?

Answer 34

Ke = int(B^T (Df + Dσ + Dj) B ) dΩ

Df: linearizeren van F
Dσ: linearizeren van de materiaal wet
Dj: linearizeren van de volume verandering

Question 35

Bij welke materialen gebruik je Total Lagrange en bij welke updated Lagrange?

Wat heb je nodig om gebruik te maken van de Lagrangian description?

Answer 35

Total: hyperelastic behavior (total deformation uniquely defines stress state)
Updated: viscoelastic behavior (stress depends on complete deformatin history)

Je hebt been referentie domein nodig om de integralen te berekenen.

Question 36

Wat betekent follow forces?

Wat zijn 2 uitdagingen hierbij?

Answer 36

Follow forces betekent dat de kracht altijd loodrecht op het oppervlak staat en dus meebeweegt met het domein van het materiaal.

Moeilijkheid:
- Linearizatie is alleen mogelijk bij bnd met natuurlijke randvoorwaarden.
- Sommige/meeste elementen raken de bnd niet aan.
Gevolg: het probleem kan niet op element level opgelost worden.

Question 37

Wat is de procedure bij follow forces?

Answer 37

De oppervlakte-integraal hangt af van het vooraf onbekende vervormde oppervlak. U moet dus de integraal transformeren naar een referentieconfiguratie. Na deze procedure krijg je een integraal die niet-lineair is ten opzichte van x. Deze term moet worden opgenomen in het linearisatieproces.

1. begin met het afleiden van de relatie tussen het oppervlakte-element in de referentie (onvervormde) configuratie en hetzelfde oppervlakte-element in de huidige (vervormde) configuratie.
2. Totale Lagrange-formulering
3. Discretisering

Question 38

Wanneer is een materiaal incompressible en wanneer wordt dit gebruikt?

Answer 38

Poisson’s ratio close to 0.5.

Biologische materialen bevatten 70-80% water. Dus veel gebruikt.

Question 39

Wat betekent mesh locking?

Answer 39

Wanneer je een element aan de rand hebt met 3 punten en 2 punten daarvan liggen vast op de rand en je wilt het oppervlakte niet veranderen, dan kan het laatste punt alleen maar in 1 richting bewegen. Als je een ander element bekijkt dan geldt het daar ook voor. Hierdoor kan het voorkomen dat een knoop bekeken vanuit het ene element alleen in de x richting mag bewegen, maar bekeken vanuit het andere element alleen in de y richting mag bewegen. Dit kan je door trekken voor het element, waardoor het eigenlijk niet kan bewegen.

Dit is een probleem voor (bijna) incompressible materials > mesh is te stijf.

Question 40

Welk rekensommetje kan je gebruiken voor element kwaliteit?
Wat betekenen de parameters?
Wat zegt de uitkomst waarde?

Answer 40

Constraint count/ ratio = r = nu / np.

nu = degrees of freedom of displacements (x and/or y and/or z)
np = degrees of freedom of pressure (always 1)

r > 2: too few incompressibility constraints
r = 2: optimal
r < 2: too many constraints, tendency to block
r ≤ 1 severe locking

Question 41

Wat is het gevolg van tijdsdiscretizatie van de constitutive wet gebaseerd op de Truesdell rate van de stress?
Wat kan je hier aan doen?

Answer 41

Het leidt tot het niet voldoen aan het principe van material frame indifference.
Oplossing:
1. Transformeren van stress en strain naar invariante tensoren
2. Discretizeren en integreren van de invariante tensoren (zoals second Piola-Kirchoff stress, Green-Lagrange strain).
3. Terug transformeren naar objective tensoren.