DEFINIZIONI FZ SCALARI A PIù VARIABILI IR^(N)->IR

Question 1

CURVA di LIVELLO per f al LIVELLO α: f(x,y)=α, con α £ IR

Answer 1

curva sul piano xy dove la funzione assume valore costante

Question 2

INTORNO SFERICO

Answer 2

insieme del tipo Bρ(x°)={x £ IR^(N): IIx-x°II <ρ} per qualche ρ>0

Question 3

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Answer 3

se ∀ρ>0 esiste x £ Bρ(x°) ∩ A c IR^(N), x diverso da x°

Question 4

LIMITE

Answer 4

lim f(x)=L £ IR per x->x° se ∀ ε>0 esiste δ(ε)>0 : ∀x £ Bδ(ε)(x°)∩ A con x diverso da x° => If(x)-LI<ε

Question 5

PUNTO INTERNO ad E

Answer 5

se esiste un intorno sferico di x° contenuto in E, cioè esiste Bρ(x°) c E

Question 6

PUNTO ESTERNO ad E

Answer 6

se esiste un intorno sferico contenuto in E^c (complementare di E = IR^N \E) cioè esiste Bρ(x°) c E^c

Question 7

PUNTO di FRONTIERA

Answer 7

se ogni intorno sferico di x° contiene almeno un punto di E e un punto di E^c, cioè esiste Bρ(x°)∩E non vuoto e Bρ(x°)∩E^c non vuoto

Question 8

INSIEME APERTO o CHIUSO

Answer 8

E c IR^N è aperto se ogni suo punto è un punto interno, è chiuso se il suo complementare E^c è aperto

Question 9

PUNTO ISOLATO

Answer 9

se esiste Bρ(x°), per qualche ρ>0: Bρ(x°)∩E={x°}

Question 10

INSIEME di PUNTI INTERNI di E

Answer 10

E°={x £ E: x punto interno}

Question 11

INSIEME di PUNTI di FRONTIERA

Answer 11

δE={x £ IR^N: x punto di frontiera}

Question 12

CHIUSURA di E

Answer 12

_E=E°UδE

Question 13

INSIEME CONNESSO

Answer 13

NON esistono M,N insiemi aperti: E c M c N
M∩N=vuoto (disgiunti)
M∩E e N∩E non vuoti

Question 14

CONNESSIONE per ARCHI

Answer 14

se ∀_x, _y £ E esiste una curva Y: [a,b]->E: Y(a)= _x e Y(b)= _y

Question 15

INSIEME LIMITATO

Answer 15

E c IR^N se esiste k>0 costante: IIxII<k, ∀x £ E

Question 16

X° PUNTO MASSIMO per f
X° PUNTO MINIMO per f

Answer 16

se ∀x £ E c domf => f(x)<f(x°)
se ∀x £ E c domf => f(x)>f(x°)

Question 17

FZ DERIVABILE in (x°, y°) £ E c IR^2 RISPETTO a X

Answer 17

se esiste finito lim [f(x°+h, y°)-f(x°, y°)]/h per h->0 =: δf(x°, y°)/δx

Question 18

FZ DERIVABILE in (x°, y°) £ E c IR^2 RISPETTO a Y

Answer 18

se esiste finito lim [f(x°, y°+k)-f(x°, y°)]/k per k->0 =: δf(x°, y°)/δy

Question 19

GRADIENTE

Answer 19

vettore che ha come componenti tutte le derivate parziali di f in (x°, y°): ∇f(x°, y°)=(δf(x°, y°)/δx, δf(x°, y°)/δy)

Question 20

DERIVATE PARZIALI

Answer 20

E c IR^N aperto, f è derivabile in x° £ E , se in tale punto esistono tutte le derivate parziali di f

Question 21

f £ C^1(E)

Answer 21

se f è differenziabile in E e le sue derivate parziali sono continue in E

Question 22

f DIFFERENZIABILE in X°

Answer 22

se esiste un vettore a £ IR^N: per h->0, h £ IR^N si ha f(x°+h)-f(x°)=<a,h> +o(IIhII)

Question 23

DIFFERENZIALE di f in X°

Answer 23

se f è ddifferenziabile, è una funzione del tipo df(x°): h-> <∇f(x°), h>

Question 24

PIANO TANGENTE

Answer 24

se f è differenziabile in x° £ IR^N, è il piano di equazione z= f(x°) + < ∇f(x°,y°), x-x°>
se x°=(x1°,..,xN°)=> z= f(x°) + Σ δf(x°)/δxi *(x-x°)

Question 25

DERIVATA DIREZIONALE

Answer 25

v £ IR^N versore, Dv f(x°)= lim[f(x°+tv)-f(x°)]/t
se esiste finito, f ammette derivata direzionale rispetto a v in x°

Question 26

INTORNO di X° £ IR^N

Answer 26

un qualsiasi aperto che contiene x°

Question 27

f £ C^k(E)

Answer 27

f derivabile k volte e le derivate parziali sono continue fino all’ordine k

Question 28

DIFFERENZIALE SECONDO

Answer 28

d^(2)f(x°): IR^N->IR
h-> d^(2)f(x°)h= ΣΣ δ^(2)f(x°)/δxiδxj *hihj
funzione che prende un vettore e ci dà tutte le possibili derivate seconde per le sue componenti

Question 29

MATRICE HESSIANA di f in X°

Answer 29

(δ^(2)f(x°)/δx1^(2) … δ^(2)f(x°)/δx1xN)
( … … … )
(δ^(2)f(x°)/δxNx1 … δ^(2)f(x°)/δxN^(2))
con sulla diagonale tutte le derivate parziali pure

Question 30

X° PUNTO DI MAX(MIN)

Answer 30

ASSOLUTO se ∀x £ E f(x°)>f(x) (<)
RELATIVO se esiste un intorno U di x°: ∀z-x £ U => f(x°)>f(x)
(<)

Question 31

PUNTI DEBOLI o FORTI

Answer 31

i punti di max o min sono detti forti se le disuguaglianze valgono in senso stretto, altrimenti se vale anche l’uguaglianza sono deboli

Question 32

PUNTI CRITICI o STAZIONARI

Answer 32

punti in cui si annulla il gradiente