Calcolo delle probabilità

Question 1

Cosa si intende per statistica descrittiva?

Answer 1

Si intende un ramo della statistica che descrive un fenomeno o una situazione. Vengono fatte delle osservazioni ricavando dei dati dai quali si può ricavare, tramite varie leggi, determinate informazioni.

Question 2

Cos’è la statistica inferenziale?

Answer 2

Processo di generalizzazione nel ricavare determinate informazioni basato su una rilevazione parziale per campioni.

Question 3

Cos’è la probabilità di un determinato evento?

Answer 3

È il rapporto tra i casi favorevoli all’evento e i casi possibili.

Question 4

Quando mi riferisco ad una frequenza?

Answer 4

Mi riferisco a una frequenza quando posso osservare l’insieme universo e il suo contenuto.

Question 5

Quando mi riferisco ad una probabilità?

Answer 5

Mi riferisco a una probabilità quando non posso osservare l’insieme universo e il suo contenuto.

Question 6

Quali sono gli assiomi di Kolmogorov?

Answer 6

A1: Gli eventi sono sottoinsiemi di Ω e formano una classe additiva Ǎ (tutti gli eventi per la quale posso calcolare una certa probabilità).

A2: Ad ogni evento A ∈ Ǎ è associato un numero reale positivo p(A) che viene detto probabilità di A.

A3: P(Ω) = 1

A4: Se A∩B = [0] → p(A∪B) = p(A) + p(B)

A5: Se [An] è una successione decrescente di eventi e limite per n→inf di An = 0, allora limite (p(An)) = p(0) = 0.

Question 7

Quando due insieme sono complementari? Dimostralo.

Answer 7

Se A∩B=0 → p(Ω) = p(A∪B) = p(A) + p(B) → p(A) = 1-p(B).

Question 8

Descrivi la legge delle probabilità totali per due e tre insiemi.

Answer 8

1. p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B).
2. p(A∪B∪C) = p(A) + p(B) + p(C) + p(A∩B∩C) - p(A∩B) - p(A∩C) - p(B∩C).

Question 9

Dati due insiemi A e B, descrivi la legge delle probabilità composte.

Answer 9

Vedi appunti.

Question 10

Descrivi e dimostra la formula di Bayes.

Answer 10

Vedi appunti.

Question 11

Definisci e dimostra il teorema di Boole.

Answer 11

Vedi appunti

Question 12

Descrivi le varie impostazioni delle probabilità.

Answer 12

• Impostazione classica: il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.
• Impostazione frequentista: p(E) = lim n→inf p(En) (esperimento di un numero infinito di prove)
• Impostazione soggettiva: scommesse.
• Impostazione Bayesiana: aggiornare le probabilità per le prove successive p(En)/p(En-1)
• Impostazione assiomatica: impostazione che segue gli assiomi di Kolmogorov.

Question 13

Descrivi le permutazioni semplici e con ripetizioni.

Answer 13

Vedi formulario.

Question 14

Descrivi le disposizioni semplici e con ripetizioni.

Answer 14

Vedi formulario.

Question 15

Descrivi le combinazioni semplici e con ripetizioni.

Answer 15

Vedi formulario.

Question 16

Cosa si intende per estrazione Bernoulliana? Qual è la formula per il calcolo della probabilità di un determinato evento?

Answer 16

Un’estrazione in cui l’unità, una volta estratta, viene rimessa nell’insieme universo. Per cui, tale unità può prendere parte alle successive estrazioni.

Question 17

Cosa si intende per estrazioni a blocco? Qual è la formula per il calcolo della probabilità di un determinato evento? Spiegalo tramite un esempio.

Answer 17

Un’estrazione in cui l’unità, una volta estratta, non viene rimessa nell’insieme universo. Per cui, tale unità non può prendere parte alle successive estrazioni.

Question 18

Cosa sono degli eventi mutualmente esclusivi?

Answer 18

Dati A e B eventi in cui A è il complementare di B e viceversa, A e B sono mutualmente esclusivi.

Question 19

Quando p (A|B) = p (B|A)? Perché?

Answer 19

Lo sono sole se A=B oppure A e B sono indipendenti

Question 20

Cos’è uno spazio di probabilità uniforme? Fai un esempio.

Answer 20

La probabilità è distribuita in maniera uniforme. Un esempio è il dado regolare.