Méthodes d'interpolation géostatistiques

Question 1

Quel est le principal désavantage des méthodes déterministes ?

Answer 1

• Ne peut pas fournir une estimation directe de la qualité des valeurs interpolées.
• Aucun moyen pour déterminer a priori les
  éléments suivants :
  
  • Grandeur de rayon défini pour les voisins
  • Nb de voisins le plus proches
  • Orientation et forme du voisinage
  • Attribution du poids

Question 2

Quelle est la différence entre une méthode probabiliste statistique (classique) et une géostatistique ?

Answer 2

• Statitstique (classique) :
  
  • Cadre élémentaire pour résoudre des problèmes d’estimation globales.
  • Ne prend pas en considération la position géospatiale des obervations…
• Géostatistique :
  
  • Utilise les valeurs observées et les info relatives à leur position.
  • Améliore les estimations dans le contexte spatial.

Question 3

Donner un exemple de méthode probabiliste géostatistique.

Answer 3

Le krigeage

Question 4

Décriver la méthode du krigeage.

Answer 4

• Méthode d’interpolation spatiale, issue de la géostatistique.
• Tient compte de :
  
  • la configuation géométrique des points
  • la structure spatiale propre à la variable estimée
• Permet d’évaluer l’incertitude liée à l’estimation.
• Historique : D.G. Krige (ingénieur minier sud-africain) –> George Matheron

Question 5

Qu’est-ce qu’une variable régionalisée ?

Answer 5

• Variable qui est utilisée dans différents domaines d’application pour quantifier des phénomènes spatiaux.
  
  • Ex. : teneur en élément, pluviométrie, concentrations en polluants, altitude, etc.
• Varie très irrégulièrement et ne peut pas être représentée par une fonction mathématique explicite.
• Structure spatiale (valeurs corrélées) –> rend possible la prévision de valeurs inconnues (estimation et interpolation)
• Pour décrire son comportement et mesurer la précision d’une estimation, on a recours à des méthodes probabilistes.

Question 6

Comment se comporte une variable régionalisée dans l’espace ?

Answer 6

• Tendance générale : variations de 1er ordre (linéaire) valable pour l’ensemble de la région d’étude.
• Variation locales : variations de second orde; aléatoire, mais spatialement corrélées.
• Variations résiduelles aléatoires et non corrélées (bruits).

Question 7

Les variables régionalisées donnent
des réponses à d’autres questions importantes, lesquelles ?

Answer 7

• L’anisotropie du phénomène
• Stationnarité du phénomène
• Précision de l’estimation

Question 8

Qu’est-ce que la stationnarité d’une variable ?

Answer 8

• Hypopthèse fondamentale de l’utilisation de la méthode krigeage.
• La variance et la moyenne de la variable ne dépendent pas de la position des points, mais seulement de la distance entre les points.

Question 9

Qu’est que l’anisotropie d’une variable ?

Answer 9

• La variation du phénomène dépend de la direction choisir.
• Dans le cas contraire le phénomène est appelé isotrope.

Question 10

Qu’est-ce que la semi-variance ?

Answer 10

• Variance divisée par deux !
• Exprime le degré de la dépendance entre des valeurs observées d’une variable régionalisée.
• La grandeur de la semi-variance dépend de la distance entre une paire de points (ex. : distance + petite = semi-variance + petite).

Question 11

Que représente le pas (h) dans un semi-variogramme et que faut-il considérer ?

Answer 11

• Différence entre deux dist. pour laquelle on calcule une valeur dans S-V.
• Généralement constante !
• Pas petit = plus de classe = moins de paires d’échantillons…
• S-V habituellement tracé jusqu’à 1/2 distance max. entre deux points.
• Nb de pas (h) est limité par l’étendue de la région étudiée ou par une distance maximale entre deux échantillons.

Question 12

Quelle est la formule permettant de calculer le nombre de paires de points ?

Answer 12

Np = n(n-1)/2

Question 13

Quelles sont les grandes étapes de création d’un semi-variogramme ?

Answer 13

1) Calculer la distance entre tous les paires de points.
2) Conserver les paires de points dont la distance est inférieure à la 1/2 de la distance maximale.
3) Classer les distances selon un certain pas (h).
4) Calcule la semi-variance pour chaque classe.
5) Calculer la distance moyenne de chaque classe.
6) Tracer le semi-variogramme.

Question 14

Donner une définition du semi-variogramme.

Answer 14

Courbe qui décrit la variation de semi-variance en fonction de la distance entre des points échantillonnés d’une variable régionalisée.

Question 15

Qu’est-ce qu’un semi-variogramme expérimental.

Answer 15

Semi-variogramme construit à partir des variances calculées entre les paires d’échantillons.

Question 16

Qu’est-ce qu’un modèle de S-V ?

Answer 16

• Fonction mathématique qui s’ajuste le mieux possible aux points des S-V expérimentaux.
• L’ajustement est généralement fait par une méthode des moindres carrées pondérés.

Question 17

Quels sont les trois éléments d’un S-V qui peuvent aider à ajuste un modèle ?

Answer 17

• Le palier : valeur maximale que prend le S-V lorsque h devient grand (plus de structure spatiale entre les échantillons)
• La portée : distance à laquelle le S-V atteint le palier (> plus de contribution)
• La pépite : valeur positive du modèle lorsqu’il traverse l’axe des y

Question 18

Quels sont les principaux modèle de S-V ?

Answer 18

• Linéaire
• Sphérique
• Exponentiel
• Gaussien

Question 19

Quelles précautions doivent être prisent concernant l’estimation du variogramme ?

Answer 19

• Sensibilité aux choix des classes de distances
  
  • Choix des classes (tolérance) et nb influencent l’allure du variogramme
• Sensibilité à la stationnarité du phénomène
• Sensibilité à l’anisotropie

Question 20

Donner des exemples d’analyse du S-V.

Answer 20

• Comportement à l’origine (h = 0)
  
  • Mesure de la continuité du phénomène
  • Degré d’irrégularité : tangent vert. = grande irrégularité / tangente hori. = grande régularité
• Commportement à longue distance (palier et portée)
  
  • Si S-V = palier, les données ont un max d’hétéro.
  • Théoriquemnt deux pts séparé par d>portée sont non corrélés.
  • S’il n’y a pas de palier, variance augmente indéf.

Question 21

Qu’est-ce que l’anisotropie ?

Answer 21

• Orientation à une influence sur les résultats
• MNT : présence d’une falaise ou d’une rivière
• Si nb de valeurs échantillonnées est suffisant –> chercher anisotropie en calculant un S-V dans des directions différentes.

Question 22

Quels sont les types de krigeage (une variable) ?

Answer 22

• Krigeage simple : variable strationnaire de moy. connue
• Krigeage ordinaire : variable stationnaire de moy. inconnue (+ utilisé)
• Krigeage universel : peut être fait en l’absence de stationnarité, suppose une tendance de la moy. pour ch. point.

Question 23

Donner des exemples de méthodes d’interpolation déterministe.

Answer 23

• Linéaire
• Coordonnées locales
• 2nd exact fit surface
• Quintique
• Surface de tendance
• Spline

Question 24

Donner des exemples de méthodes d’interpolation stochastique (géostatistique).

Answer 24

• Krigeage

Question 25

Quelles conditions doit satisfaire le choix des poids dans une méthode de krigeage ordinaire ?

Answer 25

• La valeur estimée doit être sans biais (il suffit que la somme des poids soit égale à 1).
• La variance de la valeur estimée doit être min.

Question 26

En quoi consiste la validation croisée ?

Answer 26

• Permet de vérifier la validité du S-V
• Pour ch. point connu on peut calculer sa valeur par krigeage à partir des tous les autres points échantillonés.
• Calculer l’écart entre la valeur observée et celle estimée.
• Cette valeur devrait être comparable à l’écart-type du krigeage (racine carée de la variance).

Question 27

Quels sont les avantages du krigeage ?

Answer 27

• Estimation de l’erreur d’interpolation.
• Prend en considération la distribution et l’effet du regroupement (clustering) des points.
• Qualité de l’interpolation dépend des paramètres du modèle de S-V et du respect de la condition de stationnarité.
• Choix des points voisins et calcul des poids dépendent des propriété stochastique de la surface !

Question 28

Quels sont les inconvénients du krigeage ?

Answer 28

• Complexité des calculs
• Travail intensif pour déterminer si une surface est stationnaire.
• Il peut être complexe de déterminer le modèle de S-V.