Vorlesungen 06/11 -- 08/11 Flashcards
Analysis - Folgen und Reihen
Qué significa el símbolo Epsilon: ε
Data de una forma de representar valores muy pequeños cercanos al cero
Analysis - Folgen und Reihen
Cómo se define el límite de una secuencia.
Se parte desde que para cualquier epsilon (es real positivo), por más pequeños que sean, existe un número natural (n0) tal que, para todos los n, mayores que n0 dentro de la secuencia, están dentro de una distancia epsilon del límite.
Analysis - Folgen und Reihen
Observaciones de Secuencias
- Existe algo que se llama ε-Umgebung que es simplemente una forma de describir el entorno. se da por la fómula Uε(a) := {z pertenece a los reales | |z - a| < ε},
- Una secuencia compleja converge justamente cuando, la parte real y la imaginara convergen
la formula seria: Zn = Xn + Yni, lim Xn = x, lim Yn = y , entonces lim Zm = x+y.
Analysis - Folgen und Reihen.
Definición de una suceción limitada
Una sucesión (an) se denomina limitada, si existe una S real, que sea mayor o igual que |an
Analysis - Folgen und Reihen
Observaciones de la limitación de suceciones.
- A la convergencia le sigue que sea limitada,
A no limitada le sigue no convergente. - Puede que hayan sucesiones limitadas, pero no convergentes.
Esto es una explicación simple del punto 1. y 2.
La convergencia es limitada, porque mientras la n tiende al infinito, sus términos se acercan a su límite, pero existe una cantidad específica de numeros que pueden haber.
Por el otro lado, pueden existir suceciones limitadas, que no van a acercarse a ningún límite mientras su n sube, porque se encuentran limitadas a una cantidad específica.
- A las sucesiones que convergen hacia +- infitino, se llaman “definitivamente convergente”.
Analysis - Folgen und Reihen
Monotonía de Sucesiones
La monotonía describe simplemente el orden o dirección que sigue una sucesión en relación a sus elementos. Existen dos tipos:
1. Monotonía creciente, que existe cuando An <= An +1
2. Monotonía decreciente, que existe cuando An A < An+1
Analyse - Folgen und Reihen
Satz zu monoton wachsende Folgen
Se llama teorema del límite monótono. Caso que una Secuencia monótona creciente esté limitada, es entonces convergente.
Ya que si juntamos los significados de monotonía creciente, que es que el término sea igual o mayor que el anterior, y convergencia, que significa que a medida que los valores crecen, se acercan al límite, tenemos por ende el resultado de que una secuencia mono-creciente se acerca a un límite.
Analysis - Folgen und Reihen
Observaciones sobre el teorema del límte monótono
- El teorema del límite monótono aplica igual para las secuencias/sucesiones monótonas decrecientes
- Para este teorema igual existe la siguiente contienda.
acotado + monótono = convergente, pero convergente no significa monótono.
Analysis = Folgen und Reihen
Definición de subsucesión
Sea una sucesión An, una subseción se da por Ank, donde nk son indices naturales positivos (nEN). Característico es que una subsucesión tenga el mismo orden que la sucesión original, pero no contenga necesariamente los mismos elementos.
Ponle que An = 1,2,3,4,5,6,7,…. , An2k= 2,4,6,8.
El teorema de Bolzano y Weierstrass dicta que de una sucesión acotada, se le puede extraer una subsucesión convergente.
Analysis = Folgen und Reihen
Definición de la sucesión de Cauchy
La sucesión de Cauchy habla que para cualquier número natural positivo ε, existe un número natural N tal que para los términos todos los terminos naturales m,n, que provienen de am y an, están dentro de una distancia ε, es decir:
|an-am| <= ε
Cabe destacar que m y n tienen que ser mayores a N, y también que a medida que la sucesión crece, la distancia se acorta, debido a la lógica que se acerca su límite.
Analysis = Folgen und Reihen
Un Satz sobre Cauchy Folgen
Una sucesión de Cauchy es exactamente convergente
Lineare Algebra
Definición de orthonormal/orthogonal
Dado el caso que en un espacio vectorial V con un producto escalar, exista un conjunto A, que sea subconjunto de V
- Orthogonal significa que el producto de una multiplicación de igual a 0, < Vi, Vj > i no es igual a j.
- Orthonormal ||Vi|| = √< vi, vj> = 1
- Orthogonal/normal existe cuando 1 y 2 se cumplen, y que el span(A) = V
