3 Míra, vnější míra

Question 1

Míra

Answer 1

Nechť (Omega, A) je měřitelný prostor. Míra je zobrazení mi: A -> [0, nekonečno] s vlastnostmi:
- mi(B) >= 0
- mi(U Bk) = Suma mi(Bk) pro disjunktní Bk
- mi(0) = 0

Question 2

Konečnost měr

Answer 2

Nekonečná: mi(Omega) = nekonečno

sigma-konečná: mi(Omega) = nekonečno, ale přitom existuje úplný systém jevů takový, že mi(Bk) je konečná

Konečná: mi(Omega) < nekonečno

Pravděpodobnostní: mi(Omega) = 1

Question 3

Vnější míra

Answer 3

Vnější míra je zobrazení mi•: 2^Omega -> [0, nekonečno] s vlastnostmi:
- mi•(0) = 0
- mi•(B) <= mi•(C) pro B podmnožina C
- mi•(U Bk) <= Suma mi•(Bk)

Question 4

Infimální míra

Answer 4

mi*(B) = inf Suma mi(Ak) kde infimum je počítáno přes všechna spočetná pokrytí množiny B množinami z algebry A

Question 5

Vlastnosti míry

Answer 5

je konečně aditivní
mi(B) <= mi(C) pro B<= C
je sigma subaditivní: míra sjednocení <= suma měr

Question 6

Vlastnosti vnější míry

Answer 6

je nezáporná a konečně subaditivní
mi je restrikce mi• na sigma algebru
zobrazení mi* je vnější měrou
je rozšířením mi ze sigma algebry na 2^Omega
je-li mi (sigma) konečná, tak je i mi* (sigma) konečná
nepotřebuje sigma algebru

Question 7

Carathéodoryho věta o rozšíření

Answer 7

Necht mi je míra na algebře M množiny podmnožin Omega. Potom platí:
- míru mi lze rozšířit na sigma algebru A generovanou M
- je-li mi konečná na M, její rozšíření je jednoznačné a konečné
- je-li mi sigma konečná na M, její rozšíření je jednoznačné a sigma konečné

Question 8

mi• měřitelná množina

Answer 8

Nechť mi• je vnější míra. Množina B je tzv. mi•-měřitelná, pokud pro všechny testovací množiny E platí mi•(E) = mi•(B průnik E) + mi•(!B průnik E), tzn. pokud je mi• aditivní na množinách B průnik E a !B průnik E.
Systém všech mi•-měřitelných množin A je vždy sigma algebrou na Omega a vnější míra je mírou na této A