33. Fonctions Exponentielles

Question 1

Plan

Answer 1

Introduction , on cherche dans cette leçon à connaitre les solutions de l’équation y’=ay, où y désigne une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
En effet cette équation revient dans de nombreuses modélisations de phénomènes des sciences expérimentales ( cf. exercices d’application)

I) Introduction de la fonction exponentielle
	1) Théorème fondamental
	2) Méthode d'Euler
	3) Définition de la fonction exponentielle

II) Etude de la fonction exponentielle
	1) Propriétés algébriques
	2) Notation e puissance x
	3) Opérations sur les limites ( tableau)
	
III) Propriétés et théorèmes fondamentaux
	1) Passage à la limite dans les inégalités
	2) Théorème des gendarmes
	3) Comparaison des limites infinies
	4) Théorème de la limite monotone
	5) Théorème de compositon des limites
	
IV) Etude des suites arithmétiques et géométriques
	1) Définitions
	2) Comportement des suites arithmético-géométriques
	
V) Exercices d'application
	1) Approximation de √2  par la méthode de Heron 113 pa 198 Nathan (idem méthode de Newton TVI)
	2) Taux d'évolution (Nathan 96 P 223)

Question 2

Existence et unicité de f’=f f(0)=1

Answer 2

Existence: c’est la Somme des x^k/k!
Unicité: h(x)=f(x)f(-x) est une constante=1 ( grace à la dérivée) donc f ne s’annule pas
et f/g est une constante

Question 3

Methode d’Euler

Answer 3

Dl à l’ordre 1 en entre x0 et x0+h puis poser h=x/n

Question 4

exp(x+y)=exp(x)*exp(y)
et autres relations

Answer 4

considérer la fonction exp(x+y)/exp(x) et dériver

Question 5

Fonction exp strictement croissante et convexe ?

Answer 5

exp(x/2+x/2)=(exp(x))^2

Question 6

Croissances comparées de x^n

Answer 6

exp(x)>=x^2
exp(x)>=x=> exp(x/n+1)>=x/n+1

Question 7

Les fonctions exponentielles solutions de y’=ay

Answer 7

considérer la fonction g(x)= f(x)exp(-ax)

Question 8

fonction logarithme neperien ?

Answer 8

=> licite d’après les théorème de la bijection monotone

Question 9

Fonctions puissance d’un réel