4 Kopfrechnen Flashcards
(33 cards)
Was gilt es beim Kopfrechnen zu beachten?
- Grundbaustein des Rechnens
- Vorausetzung für Rechenstrategien und heuristische Strategieren (schriftliches Rechnen und Zahlsätze 1+1 1x1)
- Kopfrechnen entlastet die Konzentration und das Gedächtnis bei komplexen Aufgaben (10er Übergang, Zerlegung, Verdoppeln)
- wichtig für außerschulische Situationen (Schätzen, Überschlagen)
- müssen erst konkrete Handlungen nachvollziehen dann Denkhandlungen!
- erst verstehen und dann üben! Automatisierung heißt Verstehen und nicht Auswendiglernen!
Welche Ziele und Anforderung im Kopfrechnen gibt es im 1. und 2. SJ?
- Zahlenraum bis 100
- strukturierte Anzahlen schnell erfassen (z.B. Am Zwanzigerfeld)
- auf Stufenzahlen ergänzen
- mit Zehnerzahlen rechnen
- vorwärts- und rückwärts in Schritten zählen (z.B. 2,4,6,…)
- verdoppeln und halbieren
- automatisierte Wiedergabe des kleinen 1+1 (und Umkehrungen sicher ableiten) VORHERIGES VERSTEHEN!!
Welche allgemeinen Bereiche und Ziele des Kopfrechnens gibt es?
- Erfassung von Anzahlen
- Zählen in Schritten
- Zahlzerlegung bis 10 auswendig
- verdoppeln und halbieren
- beherrschen 1+1 und 1x1
- analoge Übertragung auf größere Zahlenräume
- Zerlegung in Stellenwerte (536=500+30+6)
- Ergänzung auf Stufenzahlen (567+….=1000)
- rechnen einfache Aufgaben mit Zehner, Hunderter und Tausenderzahlen
Worin liegt der Unterschied zwischen der Abbildungs- und der Verknüpfungsauffassung in der Addition?
Bsp: 5 + 3 = 8
Abbildungsauffassung: (dynamischer Aspekt)
- 1. Summand als Zustand, der durch Operator in neuen Zustand gebracht wird, Addition erscheint als Vorgang, daher dynamischer Aspekt der Addition (Darstellung auf Linie mit +3 Bogen)
Verknüpfungsauffassung: (Verkettung von Operatoren)
- beide Summanden als aneinandergesetzte Pfeile, statischer Charakter, Verkettung von Operatoren
Nenne die Additionsgesetze und die Klassenstufe
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): a+b=b+a
Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz): (a+b)+c=a+(b+c)
- beide ab 1. Klasse
Neutrales Element ist 0
Monotoniegesetz: Wenn zwischen zwei Zahlen a und b die Größer- oder Gleichheitsrelation besteht, dann gilt die Relation auch dann, wenn ich eine Zahl auf jeder Seite addiere. A=B -> A+C=B+C ; a<b> a+c<b></b></b>
Nenne Beispiele für den Aufgabentyp “Vereinigen” (Addition).
- a+b=x Anja hat 4 Bonbons, Babs hat 4 Bonbons. Wie viele Bonbons haben sie zusammen? (Vereinigunsmenge unbekannt)
- a+x=b Anja und Babs haben zusammen 12 Bonbons. Anja hat 4 Bonbons. Wie viel Bonbons hat Babs? (Eine Teilmenge unbekannt)
Nenne Beispiele für den Aufgabentyp “Ausgleichen” (Addition).
- Anja hat 4 Bonbons. Babs hat 8 Bonbons. Wie viel Bonbons muss Anja bekommen, um genau so viele Bonbons zu haben wie Babs?
A+x=b
Nenne Beispiele für den Aufgabentyp “Hinzufügen” (Addition).
- Anja hat 4 Bonbons. Babs gibt ihr 8 Bonbons dazu. Wie viele Bonbons hat Anja danach? A+b=x (Ergebnis/ Ausgabe unbekannt)
- Anja hat 4 Bonbons. Babs gibt ihr jetzt einige Bonbons dazu. Danach hat Anja 12 Bonbons. Wie viel Bonbons gibt ihr Babs? A+x=b (Veränderung/ Operator unbekannt)
- Anja hat einige Bonbons. Babs gibt ihr 8 dazu. Danach hat Anja 12 Bonbons. Wie viel Bonbons hatte Anja ursprünglich? X+a=b
(Start/ Eingabe unbekannt)
Nenne Beispiele für den Aufgabentyp “Vergleichen” (Addition).
- Babs hat 8 Bonbons. Anja hat 4 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Babs mehr als Anja? A+x=b (Unterschied unbekannt)
- Anja hat 4 Bonbons. Babs hat 4 Bonbons mehr als Anja. Wie viele hat Babs? A+b=x (Vergleichsgröße unbekannt)
- Babs hat 8 Bonbons. Sie hat 4 Bonbons mehr als Anja. Wie viele Bonbons hat Anja? A+x=b (andere Vergleichsgröße unbekannt)
Auf welche Zählstrategien greifen Schulanfänger bei der Addition zurück? Worin liegt die Problematik dabei?
- Schulanfänger addieren zählend durch vollständiges Auszählen und durch Weiterzählen (vom ersten Summanden aus/ vom größeren Summanden aus/ vom größeren Summanden in größeren Schritten aus)
Probleme: fehleranfällig, aufwändig, kein Bedürfnis des Einprägens, lassen wenig Zusammenhänge zwischen den Aufgaben erkennen, Größenvorstellungen bleiben aus - daher: Anfangs ok, ab spätestens Anfang der zweiten Klasse sollte das zählende Rechnen nicht mehr erfolgen.
- später: heuristische Strategien und eingeprägte Gleichungen
- typische Fehler beim Weiterzählen: Eins-Abweichung nach unten
Welche heuristischen Strategien gibt es in der Addition?
- Reduktion der 1+1 Aufgaben durch Tauschaufgaben (4+2=2+4)
- Analogieaufgaben (5+2, 15+2)
- Verdopplungsaufgabe (4+4=8, 6+6=12)
- Fastverdopplungsaufgaben (4+5)
- Nachbaraufgaben (6+4+1=5+5+1=10+1=11)
- Schrittweises Rechnen (6+8=6+4+4=14)
- Gegensinniges Verändern ( tlw. Auch gleichsinnig genannt) (6+8=7+7=14)
Wie viele Aufgaben umfassen die Grundaufgaben der Addition?
- das kleine Einspluseins (bis max. 10+10)
- 121 Aufgaben
- inklusive Subtraktion als Umkehraufgaben
- Beherrschung Ende Klasse 1
- > Subtraktion als Umkehrung, daher eingeprägte Gleichungen auch in der Subtraktion
Subtraktion:
Welche Aufgabentypen gibt es?
- Abziehen oder Wegnehmen (A hat 8 Bonbons. Sie gibt D 5 Bonbons. Wie viele bleiben A noch?)
- Vergleichen (A hat 8 Bonbons. D hat 5 Bonbons. Wie viele Bonbons hat A mehr?)
- Ergänzen (D hat 5 Bonbons. Wie viele Bonbons muss D bekommen um insgesamt 8 zu haben?)
- Vereinigen (A hat 8 Bonbons. 5 sind Karamell, der Rest saure. Wie viele saure Bonbons hat sie?)
Welche heuristischen Strategien gibt es in der Subtraktion?
Analogieaufgaben 7-3, 17-3 Nachbaraufgaben 17-8 lösen über 18-8 Halbierungs- bzw. Fasthalbierungsaufgaben 12-6, 11-6 oder 12-5 Schrittweises Rechnen 14-6=14-4-2 Umkehraufgaben 17-9=x, 9+x=17
Überblick über Addition und Subtraktion: Rechnen und Rechenstrategien
Zählstrategien -> Zählen
Heuristische Strategien -> Rechnen
Eingeprägte Gleichungen -> Wissen
Konsequenzen für den Unterricht (Addition und Subtraktion)
Gibt es leichte oder schwierige Aufgaben?
- zeitnahe Behandlung von A und S
- Behandlung des gesamten Zahlenraums
- Tägliche Rechengeschichten (Simulation: Rollenspiel, Material, Protokoll, Gleichung; Bildergeschichten; Variation der gesuchten Größe; operative Veränderungen)
- handelbare Situationen leichter
- Grundaufgaben mit gesuchtem Ergebnis leichter als mit gesuchter Veränderung
- Addition nicht leichter als Subtraktion
Wie kann das kleine 1+1 produktiv geübt werden?
- Fördern flexiblen Denkens durch Herstellen, Erkennen und Anwenden vielfältiger Beziehungen
- durch variieren der Aufgabenrichtung und der nahe liegenen Strategien, Anlässe zum Reflektieren
- Geeignete Mittel: Spiele, intelligente Aufgabenformate (Zahlenmauern), systematisches Variieren von Daten, Rechenkonferenzen und Nimm Stellung Aufgaben
Operatives Üben (Addition und Subtraktion)
- Variieren von Daten 17-9, 16-9
Dann 17-9, 17-8
Ziel: Entdecken von Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhängen
- Automatisieren durch operatives Üben
Wie sind die Vorkenntnisse zu Beginn des zweiten Schuljahres und welche informellen Strategien wenden die Kinder an? (Multiplikation)
- Vorkenntnisse enorm, multiplikative Situationen können gelöst werden
- informelle Strategien: direktes Modellieren mit Material und Auszählen, rhytmisches Zählen, Benutzung von Zahlenfolgen, wiederholtes Addieren, multiplikatives Rechnen mit bekannten Aufgaben
Welche Grundvorstellungen gibt es in der Multiplikation? (Aspekte und weitere Kontexte)
- zeitlich-sukzessiver Aspekt: dynamische Komponente, Gesamtmenge entsteht Schritt für Schritt durch mehrmalige Wiederholung, z.B. anhand von Handlungen
- räumlich-simultaner Aspekt: statische Komponente, Vereinigungsmenge liegt vor, keine Handlung wird durchgeführt
- Kartesisches Produkt (ungeeignet): kombinatorischer Aspekt, Bestimmung aller möglichen Kombinationen (Kreuzprodukt)
- Multiplikativer Vergleich (Katja dreimal so viel Geld wie Rita ausgegeben)
- Multiplikatives Ändern (bei Gewinn wird der Einsatz verdoppelt)
- Proportionalität (Eine Klospülung verbraucht 9l Wasser. Wie viel verbrauchen 5 Klospülungen?)
- Verkettung von Vervielfältigungsoperatoren (im ersten Jahr verdreifacht Kind sein Gewicht, im zweiten Jahr verdoppelt es dieses)
- Formelhafte Multiplikation von Größen (Pool ist 3m breit und 5m lang. Welchen Flächeninhalt hat er?)
Über welchen Zugang lernen die SuS die Multiplikation am besten?
- am besten räumlich-simultane und zeitlich-sukzessive Situationen
- multiplikativer Vergleich ist mittelschwer
- kombinatorische Fragestellungen sind schwierig (Nachteile: Arbeitsmittel eingeschränkt verfügbar, Vorerfahrungen gering, enger Anwendungsbezug, keine direkte Anknüpfung an Umgangssprache, Zusammenhang zur Division als Umkehroperation schwer herstellbar)
- außerdem beeinflusst das Verständnis der SuS den Zugang
- Formalisierungsgrad (Situation mathematisch ausdrücken)
- Bekanntheitsgrad (Vertrautheit der Fragen?)
- Ausführungsgrad (nötige Schritte bis zur Lösung)
Welche Rechengesetze gibt es in der Multiplikation und welche Bedeutung haben sie?
- Kommutativgesetz axb=bxa (Vertauschungsgesetz)
Bedeutung: Rückführen auf bekannte Aufgaben, Reduktion des 1x1 - Assoziativgesetz ax(bxc)=(axb)xc (Verbindungsgesetz)
Strukturen erkennen, Verdopplung nutzen 6x8=(6x4)x2 - Distributivgesetz (a+b)xc=axc+bxc (Verteilungsgesetz)
Zerlegen schwieriger Aufgaben in Teilaufgaben 8x7=8x5+8x2
Warum ist die sichere Beherrschung des kleinen 1x1 notwendig?
- Aufbau von Größenvorstellungen
- Überschlagsrechnungen zum Kontrollieren
- Entlasten des Denkens durch Automatismen
Wie erfolgt die Erarbeitung des kleinen 1x1?
Ganzheitlich:
- am Hunderterfeld (ohne Einmaleinsreihen)
- Zusammenhänge zwischen Multiplikationsaufgaben erarbeiten
Schrittweise:
- Fundierung der Operationen an Situationen
- Erarbeiten der Einmaleinsreihen, einprägen
Vorschlag: Kombination der Wege
