Espaces Vectoriels déf.

Question 1

Espace vectoriel

Answer 1

On appelle espace vectoriel sur K (ou K-espace vectoriel) tout triplet (E,+,·) ou E est un ensemble, + une loi interne sur E et · une loi externe sur E a opérateurs dans K tels que :
1. + est associative dans E.
2. E possède un élément neutre pour + note 0E.
3. Tout élément u de E possède un (unique) symétrique pour + dans E note −u. 4. + est commutative dans E.
5. Pour tout u dans E :1·u=u.
6. Pour tout (α,β) dans K2 et tout u dans E : α·(β·u)=(αβ)·u.
7. Pour tout (α,β) dans K2 et tout u dans E :(α+β)·u=α·u+β·u.
8. Pour tout α dans K et tout (u,v) dans E2 :α·(u+v) = α·u+α·v.
Si (E,+,·) est un espace vectoriel sur K les éléments de E sont appelés vecteurs et ceux de K scalaires.

Question 2

Sous espace vectoriel

Answer 2

(E, +, · ) est un espace vectoriel sur K et F une partie de E.
F est un sous-espace vectoriel de (E,+,·) si F est stable pour + et · et si muni des lois induites, F possède une structure d’espace vectoriel.

Question 3

Combinaison linéaire

Answer 3

(u1, u2, . . . , up) est une famille d’éléments du K-espace vectoriel E.
Un élément u de E est combinaison linéaire de la famille (u1, u2, . . . , up) s’il existe (α1, α2, . . . , αp) dans
Kp tel que :
u=α1u1+α2u2+···+αpup = Sigma
α1, α2,. . ., αp sont les coefficients de la combinaison linéaire.

Question 4

Sous espace engendre par une famille

Answer 4

(u1, u2, . . . , up) est une famille d’éléments du K-espace vectoriel E.
L’ensemble des combinaisons linéaires de la famille (u1 , u2 , . . . , up ) est un sous-espace vectoriel
de E contenant les éléments de la famille (u1, u2, . . . , up).
C’est le plus petit sous-espace vectoriel de E, au sens de l’inclusion, qui contient u1, u2, …, up.
On le note Vect(u1, u2, . . . , up) ; on l’appelle le sous-espace vectoriel engendré par la famille (u1,u2,…,up).

Question 5

Famille génératrice

Answer 5

Soit F un sous-espace vectoriel du K-espace vectoriel E. Une famille (u1, u2, . . . , up) d’éléments de E est une famille genératrice de F si le sous-espace vectoriel qu’elle engendre est F .

Question 6

Famille libre

Answer 6

(u1, u2, . . . , up) est une famille d’élements d’un K-espace vectoriel E. (u1,u2,…,up) est une famille libre si:
∀(α1,α2,…,αp) ∈ Kp, α1u1 +α2u2 +···+αpup = 0E ⇒ α1 = α2 = ··· = αp = 0.
Dans ce cas on dit encore que les vecteurs de la famille (u1, u2, . . . , up) sont linéairement indépendants.

Question 7

Famille liée

Answer 7

(u1, u2, . . . , up) est une famille d’éléments d’un K-espace vectoriel E.
(u1 , u2 , . . . , up ) est une famille liée d’éléments si elle n’est pas libre autrement dit si :
∃(α1,α2,…,αp) ∈ Kp, α1u1 +α2u2 +···+αpup = 0E et (α1,α2,…,αp) ̸= 0Kp.
Dans ce cas on dit encore que les vecteurs de la famille (u1, u2, . . . , up) sont linéairement dépendants.

Question 8

Cardinal d’une famille

Answer 8

Soit (hi)i∈I une famille d’éléments d’un ensemble quelconque.
Le cardinal de la famille (hi)i∈I est le cardinal de son ensemble d’indexation donc ici c’est le cardinal
de l’ensemble I.
Dans le cas particulier ou I = [1, p], la famille se note souvent (h1 , h2 , . . . , hp ) et son cardinal est p.

⋆ On évitera de confondre le cardinal de la famille (hi)i∈I avec le cardinal de l’ensemble {hi ; i ∈ I}.

Question 9

Base

Answer 9

E est un espace vectoriel sur K. Une famille B = (e1, e2, . . . , en) d’éléments de E est une base de E si tout élément de E est de manière unique combinaison linéaire de la famille B = (e1 , e2 , . . . , en ).

Question 10

Coordonnées

Answer 10

Soit B = (e1, e2, . . . , en) une base du K-espace vectoriel E.
Soit u est un élément de E, il existe un unique n-uplet (α1, α2, . . . , αn) d’éléments de K tel que :
On dit encore que α1, α2, …, αn (ou (α1, α2, . . . , αn) !) sont les coordonnées ou les composantes de u dans la base B = (e1,e2,…,en).
Pour tout i dans [1, n], xi est la i-éme cordonnée (ou composée) de u dans la base B = (e1, e2, . . . , en).
u=∑ (akek)k=1;n

(α1,α2,…,αn) est la famille des coordonnées de u dans la base B = (e1,e2,…,en).

Question 11

Base canonique

Answer 11

Pour tout i dans [1,n], ei est l’élément de Kn dont toutes les composantes sont nuls sauf la ieme qui vaut 1.
1. (e1, e2, . . . , en) est une base de Kn appelée base canonique de Kn.
2. La famille des coordonnées dans la base canonique d’un élément (α1, α2, . . . , αn) de Kn est (α1,α2,…,αn).

Question 12

Dimension

Answer 12

Soit E un espace vectoriel sur K. La dimension de E sur K est zéro si E = {0E} et c’est le cardinal commun a toutes les bases de E si E ̸= {0E }.
On la note dimK E ou dim E s’il n’y aucune ambiguïté sur K.

Question 13

Dimension finie

Answer 13

Un espace vectoriel est de type fini ou de dimension finie si sa dimension est finie donc s’il est réduit au vecteur nul ou s’il possède une base finie.

Question 14

Droite, plan, hyperplan

Answer 14

Un sous-espace vectoriel de dimension 1 s’appelle une droite vectorielle.
Un sous-espace vectoriel de dimension 2 s’appelle un plan vectoriel.
Dans un espace vectoriel de dimension n non nulle, un sous-espace de dimension n − 1 s’appelle un hyperplan. Plus généralement un hyperplan est un sous-espace vectoriel qui possède un supplémentaire de dimension 1.

Question 15

Rang

Answer 15

Le rang d’une famille finie de vecteurs (u1 , u2 , . . . , up ) d’un K-espace vectoriel E est la dimension du
sous-espace vectoriel qu’elle engendre.
rg(u1, u2, … , up) = dimVect(u1, u2, … , up)
Nécessairement le rang de (u1, u2, . . . , up) est inférieur ou égal à Min(p, dim E).

Question 16

Hyperplan

Answer 16

Dans un espace vectoriel de dimension n non nulle, un sous-espace de dimension n − 1 s’appelle un hyperplan. Plus généralement un hyperplan est un sous-espace vectoriel qui possède un supplémentaire de dimension 1.

Question 17

Équation d’un hyperplan

Answer 17

n est dans N∗ et B = (e1,e2,…,en) est une base du K-espace vectoriel E.
1. Si (a1, a2, . . . , an) est une famille d’éléments de K .
H={x1e1+x2e2+···+xnen ∈E | a1x1 +a2x2 +···+anxn =0} est un hyperplan.
2. Réciproquement, soit H un hyperplan de E. Il existe une famille (a1, a2, . . . , an) d’éléments de K, non tous nuls, telle que H={x1e1+x2e2+···+xnen ∈E | a1x1+a2x2+···+anxn =0}.
a1x1+a2x2+···+anxn =0 est une équation de H dans la base B.
Si λ est un element non nul de K, (λa1)x1 + (λa2)x2 + ··· + (λan)xn = 0 est encore une équation de H dans la base B.
Si a′1 x1 +a′2 x2 +···+a′n xn = 0 est encore une équation de H dans la base B alors il existe un element non nul μ de K tel que ∀k ∈ [1,n], a′k = μak.

Question 18

Somme de deux sous espaces vectoriels

Answer 18

E est un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
La somme de F et G est l’ensemble des éléments de E somme d’un élément de F et d’un élément de G. On la note F + G.
F+G = {u∈E | ∃(v,w)∈F×G, u=v+w} = {v+w | v∈F et w∈G}

Question 19

Somme directe

Answer 19

F et G sont deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E sur K.
F et G sont en somme directe si tout élément de F + G est de manière somme d’un élément de F et de G.
Si F et G sont en somme directe on écrit F+G = F⊕G.

Question 20

Base adaptée à la somme directe

Answer 20

F et G sont deux sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E sur K, non réduits au vecteur nul. BF (resp. BG) est une base de F (resp. G).
On suppose que F et G sont en somme directe. ”BF ∪ BG” est une base de F + G.
On dit que ”BF ∪ BG” est une base adaptée a la somme directe F ⊕ G.

Question 21

Somme de sous espaces vectoriels

Answer 21

F1, F2, …, Fp sont p sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E sur K.
La somme de F1, F2, …, Fp est l’ensemble des éléments de E somme d’un élément de F1, d’un élément de F2, …, d’un élément de Fp.
∑Fk k=1,p
On la note F1 +F2 ···+Fp ou F1 +F2 +···+Fp = {u ∈ E | ∃(u1,u2,…,up) ∈ F1 ×F2 ×···×Fp, u = u1 +u2 +···+up}.

Question 22

Somme directe de plusieurs sous espaces vectoriels

Answer 22

F1 , F2 ,. . .,Fp sont p sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E sur K.
F1, F2,. . .,Fp sont en somme directe si tout élément de F1 + F2 + · · · + Fp est de manière unique somme d’un élément de F1, d’un élément de F2, …, d’un élément de Fp.
On écrit alors F1 +F2 +···+Fp = F1 ⊕F2 ⊕···⊕Fp ou écriture avec sigma.

Question 23

Base adaptée à une somme directe de plusieurs sous espaces vectoriels

Answer 23

F1 , F2 , …, Fp sont p sous-espaces vectoriels non nuls de l’espace vectoriel E sur K. Pour tout k dans [1, p], BFk est une base de Fk.
On suppose que F1, F2, …, Fp sont en somme directe. Alors ”BF1 ∪ BF2 ∪ · · · ∪ BFp ” est une base de F1 +F2 +…+Fp.
On dit que ”BF1 ∪ BF2 ∪···∪ BFp” est une base adaptée à la somme directe F1 ⊕F2 ⊕…⊕Fp.

Question 24

Supplémentaires

Answer 24

Deux sous-espaces vectoriels F et G de l’espace vectoriel E sur K sont supplémentaires si tout élément de E est de manière unique somme d’un élément de F et de G.