Résumé de cours : ensembles, applications, relations

Question 1

On appelle élément d’un ensemble E

Answer 1

On appelle élément d’un ensemble E tout objet qui appartient à E.

Question 2

Si E et F sont deux ensembles, on dit que E est une partie de F, que E est un sous-ensemble de F, ou encore que E est inclus dans F si

Answer 2

Si E et F sont deux ensembles, on dit que E est une partie de F, que E est un sous-ensemble de F, ou encore que E est inclus dans F si tout élément de E est aussi élément de F. On note E⊂F.

Question 3

Il existe un unique ensemble qui ne contient aucun élément,

Answer 3

Il existe un unique ensemble qui ne contient aucun élément, l’ensemble vide. Il est noté ∅.

Question 4

Un ensemble peut être écrit en extension,

Answer 4

Un ensemble peut être écrit en extension, c’est-à-dire que l’on donne la liste de tous ses éléments, ou en compréhension, c’est-à-dire que l’on définit cet ensemble par une propriété. Par exemple, A={2,3,4,5} est défini en extension, et B={n∈N; 2≤n<6} est défini en compréhension. Remarquons que A=B.

Question 5

L’ensemble des parties de E est lui-même un autre ensemble, appelé

Answer 5

L’ensemble des parties de E est lui-même un autre ensemble, appelé ensemble des parties et noté P(E).

Question 6

Étant donné un ensemble E et deux parties A et B de E, on peut définir

• La réunion de A et B, noté A∪B.

Answer 6

A∪B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.

Question 7

Étant donné un ensemble E et deux parties A et B de E, on peut définir

l’intersection de A et B, noté A∩B.

Answer 7

A∩B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B.

Question 8

Étant donné un ensemble E et deux parties A et B de E, on peut définir

la différence A∖B :

Answer 8

A∖B est l’ensemble des éléments qui sont dans A, mais pas dans B.

Question 9

Étant donné un ensemble E et deux parties A et B de E, on peut définir

le complémentaire de A dans E, noté

Answer 9

le complémentaire de A dans E, noté A¯, ou C_EA, ou E∖A, l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A.

Question 11

Étant donné un ensemble E et deux parties A et B de E,

Answer 11

Si A et B sont deux ensembles, le produit cartésien de A et B, noté A×B, est l’ensemble constitué de tous les couples (a,b), où aa est un élément de Aet b est un élément de B.

Question 12

Une application ou fonction de E dans F associe à tout élément de E un élément de F. L’ensemble des applications de E dans F est noté

Answer 12

Une application ou fonction de E dans F associe à tout élément de E un élément de F. L’ensemble des applications de E dans F est noté F(E,F), ou F^E.

Question 13

On appelle graphe de l’application f:E→F la partie Γ de E×F définie par

Answer 13

Γ= { (x,f(x)) ; x∈E}

Question 14

Si A est une partie de E, la fonction indicatrice de A, notée 1_A, est la fonction définie par

Answer 14

Question 15

Si E est un ensemble, la fonction identité de E est la fonction Id_E, définie de E dans E par

Answer 15

Id_E(x)=x

Question 16

Si f est une fonction de E dans F, on appelle restriction de f à A, et on note

Answer 16

Si f est une fonction de E dans F, on appelle restriction de f à A, et on note f|_A la fonction définie sur A par

f|_A(x)=f(x).

Question 17

Si A est une partie de l’ensemble E, et si f est une application de A dans F, on appelle prolongement de f à E toute fonction

Answer 17

Si A est une partie de l’ensemble E, et si f est une application de A dans F, on appelle prolongement de f à E toute fonction g:E→F vérifiant g(x)=f(x) si x∈A. Notons qu’il peut exister plusieurs prolongements d’une application à un ensemble donné.

Question 18

Si f est une application de E dans F et si A est une partie de E, on appelle image directe de A par f l’ensemble

Answer 18

Si f est une application de E dans F et si A est une partie de E, on appelle image directe de A par f l’ensemble f(A)={f(x); x∈A}; x∈A}. Ainsi,

y∈f(A) ⟺ ∃x∈A, y = f(x).

Question 19

Si f est une application de E dans F et si B est une partie de F, on appelle image réciproque de B par f

Answer 19

Si f est une application de E dans F et si B est une partie de F, on appelle image réciproque de B par f l’ensemble f⁻¹(B)={x∈E; f(x)∈B} . Ainsi,

x∈f⁻¹(B) ⟺ f(x)∈B.

Question 20

Si E, F et G sont 3 ensembles et si f: E→F et g:F→G sont deux applications, on appelle application composée de f et g l’application

Answer 20

Si E, F et G sont 3 ensembles et si f: E→F et g:F→G sont deux applications, on appelle application composée de f et g l’application noté g∘f:E→G définie par la formule

g∘ f(x) = g( f(x) ).

Question 21

Soit f: E→F une application. On dit que f est

injective si

Answer 21

Soit f: E→F une application. On dit que f est

injective si, pour tout y ∈F, l’équation y=f(x) admet au plus une solution x∈E;

Question 22

Soit f: E→F une application. On dit que f est

surjective si

Answer 22

Soit f: E→F une application. On dit que f est

surjective si , pour tout y ∈F, l’équation y= f(x) admet au moins une solution x∈E;

Question 23

Soit f: E→F une application. On dit que f est

bijective si

Answer 23

Soit f: E→F une application. On dit que f est

bijective si, pour tout y∈F, l’équation y= f(x) admet exactement une solution x∈E;

Question 24

f: E → F est injectif si, et seulement si,

Answer 24

f: E → F est injectif si, et seulement si, pour tout couple (x, x ′) ∈E2 , si f (x) = f (x ′) , alors x = x’.

Question 25

La composée de deux injections est

Answer 25

La composée de deux injections est une injection; la composée de deux surjections est une surjection; la composée de deux bijections est une bijection.

Answer 26

Si f:E→F est une bijection, il existe une unique application notée f⁻¹, définie de F dans E, telle que

f∘f⁻¹ = Id_F et f⁻¹∘f =Id_E.

f⁻¹ est appelée fonction réciproque de f. On a

y= f(x) ⟺ x= f⁻¹(y).

Question 27

Si f:E→F et g:F→G sont bijectives, alors

(g∘f)⁻¹=

Answer 27

Si f:E→F et g:F→G sont bijectives, alors

(g∘f)⁻¹=f⁻¹∘g⁻¹.

Question 28

On appelle relation binaire sur un ensemble E

Answer 28

On appelle relation binaire sur un ensemble E la donnée d’une partie Γ de E×E . On écrit xRy si (x,y)∈Γ.

Question 29

On dit que la relation R est réflexive si

Answer 29

On dit que la relation R est réflexive si , pour tout x∈E, xRx.

Question 30

On dit que la relation R est symétrique si,

Answer 30

On dit que la relation R est symétrique si, pour tous x,y∈E, si xRy, alors yRx.

Question 31

On dit que la relation R est anti-symétrique si

Answer 31

On dit que la relation R est anti-symétrique si, pour tous x,y∈E, si xRy et yRx, alors x=y.

Question 32

On dit que la relation R est transitive si

Answer 32

On dit que la relation R est transitive si, pour tous x,y,z∈E, si xRy et yRz, alors xRz.

Question 33

Une relation d’équivalence est

Answer 33

Une relation d’équivalence est une relation réflexive, symétrique, transitive.

Question 34

Si R est une relation d’équivalence et x est un élément de E, on appelle classe d’équivalence de x

Answer 34

Si R est une relation d’équivalence et x est un élément de E, on appelle classe d’équivalence de x l’ensemble des éléments y de E tels que xRy.

Question 35

Si R est une relation d’équivalence et x est un élément de E, on appelle classe d’équivalence de x

Answer 35

Si R est une relation d’équivalence et x est un élément de E, on appelle classe d’équivalence de x l’ensemble des éléments y de E tels que xRy.

Question 36

Une relation d’ordre est une relation

Answer 36

Une relation d’ordre est une relation réflexive, anti-symétrique, transitive.

Question 37

Si R est une relation d’ordre sur E, alors

Answer 37

Si R est une relation d’ordre sur E, alors:

• on dit que l’ordre est total si on peut toujours comparer deux éléments de E : pour tous x,y∈E , on a xRy ou yRx. Dans le cas contraire, on dit que l’ordre est partiel.
• si A est une partie de E et M est un élément de E, on dit que M est un majorant de A si, pour tout x∈A, on a xRM.