Algebra Flashcards
(141 cards)
1
Q
- Se devo verificare che n vettori vi ∈ R^m siano linearmente indipendenti cosa posso fare?
a) Creo una matrice con vi come vettori riga che abbia determinante non nullo
b) Creo una matrice con vi come vettori riga e cerco una sottomatrice quadrata di ordine n Invertibile
c) Cerco una combinazione lineare dei vettori vi che mi dia il vettore nullo
d) Creo una matrice con vi come vettori colonna e verifico che il rango di questa matrice siam
A
B
2
Q
Sia Ax=b un sistema di equazioni lineari con più incognite che equazioni. Allora (si scelga l’affermazione corretta):
a) Agendo con operazioni elementari su righe e colonne della matrice completa A|b ottengo una matrice completa il cui sistema associato possiede le stesse soluzioni di quello di partenza
b) Scegliendo b opportunamente, il sistema ha un’unica soluzione
c) Dato un b qualsiasi, mi posso scegliere A in modo che il sistema abbia soluzioni e che la somma didue di esse sia ancora una soluzione
d) Se il rango di A è massimo, allora il sistema ha soluzione.
A
D - Per il teorema di Rouchè-Capelli, sappiamo che se il numero delle incognite>rango (A), allora il sistema ammette ∞^(m−rango(A))
3
Q
- Sia Ax=b un sistema che non ammette soluzione. Scegliendo un vettore c è possibile ottenere che Ax=b+c abbia infinite soluzioni?
a) Si, ma solo se A non è di rango massimo
b) Si, per un qualsiasi A
c) No, mai
d) Si, ma solo se A è quadrata e di determinante non nullo
A
A - Per il teorema di Rouchè-Capelli, sappiamo che se il numero delle incognite>rango (A), allora il sistema ammette ∞^(m−rango(A)), ciò significa che se il rango di A fosse massimo (quindi numero incognite = rango (A)) allora A ammetterebbe un’unica soluzione
4
Q
- Se la somma di tre numeri positivi è 120, qual è il massimo valore possibile tra il loro prodotto?
a) 30^2·80
b) 240^2·30
c) 30^4
d) 1600·40
A
D
5
Q
Sia A una matrice quadrata e v, w due suoi vettori colonna. Se B è la matrice ottenuta da A rimpiazzando il vettore v con il vettore v+α·w per un numero reale α, che informazione abbiamo sul determinante di B?
a) Det(B) = −Det(A)
b) Det(B) = Det(A)
c) Det(B) = α·Det(A)
d) Det(B) = 0
A
B
6
Q
Sia Ax=b un sistema di equazioni lineari con più equazioni che incognite. Allora (si scelga l’affermazione corretta):
a) Se ha soluzione, il rango della matrice completa A|b non può essere massimo
b) La soluzione, se esiste, necessariamente non è unica
c) Se possiede soluzione, e non è unica, allora la somma di due soluzioni (PROSEGUE)
d) Non ha soluzione
A
A
7
Q
Sia A una matrice n×m di rango r > 0. Quali delle seguenti affermazioni è CORRETTA:
a) r può essere strettamente maggiore di m
b) Non esistono r−1 vettori riga di A linearmente indipendenti
c) Il determinante di A è uguale a r
d) Esiste una sottomatrice quadrata B di A di ordine r−1 con determinante non nullo (se r ≥ 2)
A
D
8
Q
Sia A una matrice quadrata e v, w due suoi vettori colonna diversi. Se B è la matrice ottenuta da A rimpiazzando il vettore v con il vettore (α)v+ (β)w
per α,β∈R, che informazioni abbiamo sul determinante di B?
a) Det(B) =Det(A)
b) Det(B) = 0
c) Det(B) =α·Det(A)
d) Det(B) =−Det(A)
A
C
9
Q
Sia A(t) una famiglia di matrici quadrate dipendenti da un parametro t∈R. Supponiamo che Det(A(1)) = 5 e Det(A(−1)) =−5. Quali delle seguenti affermazioni è possibile concludere?
a) Tutti i vettori riga A(1) sono indipendenti e il rango di A(1) e massimo
b) rank(A(1)) = 5
c) Det(A(0)) = 0
d) Il rango di A(1) e massimo, e Det(A(1) + (A−1)) = 0
A
A
10
Q
Sia A una matrice quadrata n×n tale che la somma delle righe è uguale ad una colonna c di A. Cosa posso concludere su A?
a) rank(A)< n
b) Det(A)!= 0
c) Esiste un minore di A di ordine n = 1 invertibile se c!= 0
d) Se la colonna c è uguale ad una riga di A non è invertibile
A
C - (prendi per esempio la matrice 1x1 {1})
11
Q
Supponiamo che una matrice A di dimensioni 4×6 (cioè 4 righe) abbia nulli i determinanti di tutti i minori di ordine 3. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
a) Non esistono 4 colonne linearmente indipendenti in A
b) Il rango massimo che potrebbe avere A è 4
c) Potrebbe esistere una sottomatrice 2×2 di A invertibile
d) Le righe di A sono linearmente indipendenti
A
D
12
Q
Sia Ax=b un sistema di equazioni lineari con un numero di equazioni uguale al numero di incognite. Allora(si scelga l’affermazione corretta):
a) Se ha soluzione, il rango è massimo
b) Se Ax= 0 ha più di una soluzione, Ax=b potrebbe avere una soluzione
c) Se non ha soluzione, A non è invertibile
d) Se A|b ha rango massimo, allora il sistema ha un’unica soluzione
A
C - Se non è invertibile, vuol dire che il determinante è uguale a 0, ergo non ha soluzione
13
Q
Siano A,B due matrici 5×5 tali che rank(A) = 3 e rank(B) = 2. Allora:
a) non sono invertibili perchè non hanno rango massimo(non presente fra le risposte)
b) rank= 3 o rank= 2 significa massimo numero di vettori riga/colonna linearmente indipendenti.(Non presente fra le risposte)
c) Le matrici rank+ 1 hanno Det= 0. (Non presente tra fra le risposte)
d) Esistono Matrici rank−1 con det!= 0 (non presente fra le risposte)
e) Det(A+B)!=Det(A) + Det(B), stessa cosa per i ranghi(non presente fra le risposte)
f) Se A e B rappresentano matrici di sistemi completi, significa che questi sistemi hanno sempre soluzione, perchè rank(A)−rank(A|b) (non presente fra le risposte)
g) rank(A+B) = 5
h) Det(A·B) = 6
i) Non esistono 3 righe di A la cui somma `e il vettore nullo
j) Esistono due minori di ordine 2,A′inAeB′inBtali che A′·B′ è una matrice invertibile
A
J
14
Q
Nel sistema composto dalle equazioni 3x−2y−z= 0, αx+y+z= 0 e x+αy−z= 0 quale delle affermazioni è corretta?
a) α=−1 il sistema non ammette soluzioni.
b) ∀α il sistema ammette soluzioni.
c) α=π ammette una sola soluzione cioè quella banale x=y=z=0
d) α= 6 il sistema ha solamente due soluzioni.
A
C
15
Q
Sia V lo spazio di tutte le funzioni continue su [−1,1] a valori reali. Si consideri il sottoinsiemeSλ di V costituito da tutte le funzioni tali chef(−1) =f(1) =λ. Quale delle seguenti affermazioni è vera:
a) esistono due valori di λ∈R per cui Sλ è un sottospazio di V
b) Sλ è un sottospazio di V per ogni λ∈R
c) non esiste λ∈R per cui Sλ è uno spazio vettoriale di V
d) esiste un solo valore di λ∈R per cui Sλ è un sottospazio vettoriale
A
D
16
Q
Nel sistema composto dalle equazioni 3x−2y+z= 0, αx+y+z= +1, x+αy−z=−1 per quali valori di α posso avere una sola soluzione non banale?
a) α=−1,D= 0,Dx= 0,Dy= 0,Dz= 0 (infinite soluzioni)
b) α= 6,D= 0,Dx= 7 (impossibile)
c) α!=−1 ∧ α!= 6, D= 0, Dx= 0 (una sola soluzione)
A
C
17
Q
Si consideri il seguente sistema di equazioni:
1. -x-y-z = b1
2. 3x-9y-6z = b2
3. 5x-7y-4z = b3
Quale delle seguenti affermazioni è corretta:
a) Il sistema ammette soluzione se e solo se b2=b3+ 2b1
b) Il sistema ammette soluzione se e solo se b1=−b2+b3
c) Per ogni scelta di b1, b2, b3 il sistema ha una e una sola soluzione
d) Se b1 = b2 = b3 = 13, la somma di due soluzioni è ancora una soluzione
A
A - Si riscrive il sistema sotto forma di matrice così si avrà la matrice incompleta A e la matrice completa A|b, si riduce a scala. il sistema ha soluzione solo se rank(A)=rank(A|b).
18
Q
Quali di queste affermazioni equivale al fatto che n vettori vi ∈ R^m siano linearmente indipendenti?
a) La matrice vi come vettori riga ha determinante non nullo
b) La matrice vi come vettori riga possiede una sottomatrice n×n invertibile
c) Esiste una combinazione lineare di vettori vi uguale al vettore nullo
d) La matrice vi come vettori colonna ha rank=m
A
B
19
Q
Qual è la regione dello spazio bidimensionale tale che y > 3x+ 1?
a) Finito
b) Limitato
c) Aperto in R^2
A
C
20
Q
Sia A una matrice n×m di rango r >0. Quali delle seguenti affermazioni è FALSA:
a) Prese r colonne a caso, una non potrà mai essere espressa come combinazione lineare delle altre r−1 colonne
b) ∀ i ≤ r esiste una matrice C formata da i righe di A tale che il rango di C sia i
c) se r ≥ 2, esiste una sottomatrice quadrata B di A di ordine r−1 con determinante nullo
d) r non può essere strettamente maggiore di m
A
C - Preso come controesempio la matrice {(1,2),(2,1)} non esiste una sottomatrice quadrata di A di ordine r-1 (1) con determinante nullo
21
Q
Sia A una matrice quadrata invertibile. Allora (si segni la risposta corretta):
a) Operando con trasformazioni elementari su colonne di A posso trasformarla nella matrice identità
b) A potrebbe non avere rango massimo
c) A non può avere una sottomatrice quadrata con determinante nullo
d) potrebbe esistere un vettore non nullo v tale che Av = 0
A
A
22
Q
Sia A una matrice quadrata invertibile. Allora (si segni la risposta corretta)
a) esiste un minore di A di ordine n−1 invertibile, se c!= 0
b) Det(A)!=0
c) A potrebbe non avere rango massimo
d) Se la colonna c è uguale ad una riga, A non è invertibile
A
B
23
Q
Sia A una matrice quadrata n×n tale che la somma delle righe è uguale ad una colonna c di A. cosa posso concludere su A?
a) Operando con trasformazioni elementari sulle Colonne di A posso trasformarla nella matrice identità
b) Potrebbe esistere un vettore non nullo v tale che Av = 0
c) Il rango di A è strettamente minore di n
d) A non può avere una sottomatrice quadrata con determinante nullo
A
B - Dato una matrice 1x1 {1} moltiplicato per il vettore nullo restituirà 0
24
Q
Sia f(t): R^3 → R^3 un omomorfismo che manda il piano di equazioni 2x+y−z= 2 nel piano di equazioni y−tx−2z= 0, per t∈R. è possibile che f(t) sia iniettiva?
a) è sempre iniettiva
b) Può essere iniettiva solo per un numero finito di t
c) Può essere iniettiva, tranne per un numero finito di t
d) Non è mai iniettiva
A
D - Non è mai iniettiva perchè in questo caso la dim(im(f))=2 quindi avremo
n=dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) ovvero
3 =dim(ker(f)) + 2
Un omomorfismo si definisce iniettivo se dim(ker(f)) = 0.
Come mai in questo caso dim(Im(f ))=2?
La dimensione di un piano in cui passa l’origine è 2.
La dimensione di un piano in cui non passa l’origine è 3.
25
Può esistere un omomorfismo f(t):R^3→R^3che mandi il piano di equazioni 2x−y+z= 0 nella retta {s(1,−1,2) :s∈R} ed il vettore (1,1,1) nel vettore (1,t+ 2,t+ 5), t∈R?
a) No, non esiste mai
b) Si esiste, eccetto per un numero finito di t
c) Si, per ogni valore di t
d) Solo per un numero finite di t
B - Con t=-3
26
Sia A una matrice quadrata di ordine 4 con polinomio caratteristico pA(x) = (x−α1)(x−α2)(x−α3)2 dove ai∈R per ogni i. Quale delle seguenti affermazioni è corretta:
a) ai!= 0 per ogni i se e solo se A è invertibile
b) Se α1=α2=α3, A non può essere diagonalizzabile su R
c) αi!=αj per ogni i != j, solo se A è diagonalizzabile su R
d) Se αi != αj per ogni i != j, allora A è diagonalizzabile
su R
A
27
Sia R[x]2 lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2. Esiste un omomorfismo f:R→R^2 tale che f(1−2x2) = (1,−1),f(x+x2) = (1,0) e f(1 + 2x) = (t,2t) dove t∈R?
a) Esiste solo per un numero finito di t
b) Si, eccetto per un numero finito di t
c) Si, esiste per ogni t
d) No, mai
D
28
Sia M^4 lo spazio vettoriale delle matrici 4×4 reali e Vλ={A∈M4:Det(A) = 2λ−1}. Quanti valori di λ∈R rendono Vλ un sottospazio vettoriale di M4?
a) Un numero finito maggiore o uguale a 2
b) Uno solo
c) Nessuno
d) Tutti
C - Non è chiuso rispetto alla somma
29
Sia R[x] lo spazio dei polinomi in x e sia Vk il sottoinsieme costituito dai polinomi di grado esattamente uguale a k. Allora:
a) Solo V0 è un sottospazio
b) Vk è un sottospazio per ogni valore di k intero non negativo
c) Vk non è mai un sottospazio vettoriale
d) Solo V0 e V1 sono sottospazi vettoriali
A
30
Sia M una matrice 6×6. In quale dei seguenti casi si conclude che M è invertibile?
a) Esiste N tale che M+N è invertibile
b) Esistono due minori di ordine 5 con determinante non nullo
c) M ha un minore di ordine 5 con determinante non nullo ed ha un vettore della base canonica di R^6
d) Esiste una matrice A 6×6 tale che AM ha 6 colonne linearmente indipendenti
D
31
Sia A una matrice simmetrica di ordine n e rango r >0,r < n. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esiste un parametro H di dimensione r tale che Aw=v,∀w∈H e per un v
b) Il polinomio caratteristico di A è x^(n−r)·q(x) dove x non divide q(x)
c) A non è diagonalizzabile
d) Esiste una matrice invertibile P tale che P^(−1)·A·P ha r righe nulle
B - x^(n−r) non potrà mai dividere per il semplice motivo che la differenza tra numero di incognite n e il rank r assume valori >= 0.In questo caso visto che ci dice n > r la differenza tra n e r ci darà un valore>0.Un elemento elevato ad una quantità positiva non potrà mai dividere.
32
Sia dato il sistema di cinque equazioni lineari Ax=b nelle incognite x= (x1,x2,x3,x4) che ammette infinite soluzioni. Cosa si può dire del sistema Mx=b dove M è ottenuto da A annullando i coefficienti della terza colonna?
a) Se A ha rango Massimo Mx = b non ha soluzioni
b) Il sistema non avrà soluzioni
c) Se M ha rango 3 allora Mx=b ha soluzioni
d) Il sistema avrà ancora infinite soluzioni
C - Ho 4 incognite e 5 equazioni e so che il sistema ha infinite soluzioni per cui il rango è ≤ 3 (significa che una delle colonne è linearmente dipendente).
Se sostituisco tutti 0 alla terza colonna, se il rango continua ad essere 3 so sicuramente che la colonna dipendente nella matrice iniziale era la terza (altrimenti il rango si sarebbe abbassato). Per cui rimane tutto come prima e sicuramente avrò soluzione (nello specifico infinite).
33
Sia A una matrice 5×3 con tutti i coefficienti diversi. è possibile che esista una matrice invertibile U tale che U^(−1) · A abbia solo coefficienti 0 e 1?
a) Solo se A ha tutti i coefficienti non negativi
b) No
c) Si se A ha un minore M di ordine 3 con Det(M) = 3
d) Solo se U è una matrice triangolare
B
34
Quale delle seguenti matrici è simile ad una matrice diagonale reale?
A = {(0,0),(0,-1)} B={(1,-2), (-2,1)} C={(1,-2), (2,1)} D={(1,2), (3,4)}
a) A
b) A e B
c) A e B e D
d) B e C
C
35
Quale tra i seguenti omomorfismi R^3→R^3 manda il triangolo di vertici (0,0,0),(1,1,1),(−1,0,1) nel triangolo di area maggiore?
a) f(x,y,z) = (z−x,z,−y)
b) f(x,y,z) = (x−2y,z+x−2y,2z)
c) f(x,y,z) = (−x+ 2y,z,x−y)
d) f(x,y,z) = (y,x+z,x−y)
A - L’area del triangolo formato dai vettori AB,AC si calcola con la seguente formula: Area =‖AB∧AC‖/2
il primo ha area 3/2
del secondo B e C coincidono quindi non è un triangolo
il terzo ha area Sqrt(2)/2
il quarto ha area Sqrt(5)/2
36
Indicare quale dei seguenti insiemi inR^3 è un autospazio della matrice
{5 , -2 , 0}
{0, -5 , 0}
{0, -2 , -1}
a) {(x,y,z)∈R^3:y= 0}
b) {(x,y,z)∈R3:x= 0,z= 0}
c) {(x,y,z)∈R3:y= 0,z= 0}
d) {(x,y,z)∈R3:z= 0}
C - il prodotto tra
{5 , -2 , 0}
{0, -5 , 0}
{0, -2 , -1}
```
ed il vettore dell'autospazio
{1}
{0}
{0}
viene {5, 0 , 0} ovvero 5 * il vettore dell'autospazio
```
37
Sia k reale. Si consideri la matrice Ak
{3,0,-7}
{k,3,4}
{0,0,2}
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a) Ak è diagonalizzabile per ogni scelta di k != 0
b) Ak è diagonalizzabile se e solo se k = 0
c) Ak è diagonalizzabile se e solo se k è intero non negativo
d) Per qualunque scelta di k, Ak non è diagonalizzabile
B - vedi mega per spiegazione
38
Siano L una retta e H un piano. è possibile trovare una retta r∈H sghemba con l?
a) Si, sempre
b) Solo se H e L si intersecano
c) Se e solo se H e L sono paralleli
d) Solo se L non è inclusa in H
D - Sono rette sghembe se non sono contenute in un piano comune, e di conseguenza non hanno punti in comune nè sono parallele.
39
Quale di queste affermazioni equivale al fatto che n vettori di R^m siano linearmente indipendenti?
a) La matrice con vi come vettori riga ha determinante non nullo
b) La matrice con vi come vettori riga possiede una sottomatrice n×n invertibile
c) Esiste una combinazione lineare dei vettori vi che mi dia il vettore nullo
d) La matrice con vi come vettori colonna ha rango m
B
40
Sia k un numero reale. Si consideri il seguente sistema di equazioni:
{3x-2y+z=0
{kx+y+z=1
{x+ky-z=-1
a) Per k=−1 il sistema ha almeno una soluzione
b) per k= 6 il sistema ha infinite soluzioni
c) Per ogni valore di k il sistema ammette esattamente una soluzione
d) Per ogni k diverso da 0 il sistema ha una e una sola soluzione
A
41
Dati i vettori v1= (2,−1,0,3), v2= (1,0,0,3), v3= (0,2,1,4), v4= (2,−4,−4,−2), quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a) v1, v2, v3, v4 sono tra loro indipendenti
b) v4 è combinazione lineare di v1 e v2
c) v4 è combinazione lineare di v3 e v2
d) v3 è combinazione lineare di v1 e v2
A
42
Sia Id(A) l’insieme costituito dai seguenti vettori di R^4:ID(A)={v1= (1,−1,α,−1), v2= (1,α−2,(α−1)·2,0), v3= (−1,−1,1,0.1)}∈R4. Allora:
a) Per a= 0 i vettori di Id(A) sono linearmente dipendenti
b) I vettori di Id(A) sono linearmente dipendenti per qualche A, ma se sostituisco v1 con v1+v2+v3 ottengo un sistema di vettori linearmente indipendente per ogni A
c) Id(A)∪(0,−2,0,2) costituisce una base di R^4 per ogni a >0
d) Per qualche A, i vettori I(A) sono linearmente dipendenti
C
43
```
Per quali valori di t la matrice At
{1,0,-1,1}
{1,t,-1,2}
{1,t,t^2-3,3}
non ha sottomatrici di ordine 3, invertibili
```
a) Tutti i valori di t
b) Nessun valore di t
c) Solo per t = 0 e t = √2
d) Solo per t = 0
B
44
Dati i vettori v1= (1,1,1), v2= (0,0,2), v3= (a,a,b), v4= (−1,−1,1), quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a) v3 e v1 sono indipendenti per ogni scelta di a e b
b) v1 e v2 sono tra di loro indipendenti
c) v1, v2, v3, v4sono tra loro indipendenti
d) I vettori sono complanari, cioè sono contenuti in un piano passante per l’origine
B
45
Si considerino le matrici: A e B
{1, 1, -1} --- {1,-1,0,0}
{1, 3, 1} --- {2,1,1,2}
{-2,-2,1} --- {-4,-2,-1,-3}
a) Nessun minore di ordine 3 di B è uguale a A^−1
b) I vettori colonna di B sono linearmente indipendenti
c) A^−1 · B ha rango 2
d) Il rango della matrice B non è massimo
A
46
```
Data la seguente matrice:
{1,0,2,3,-1}
{0,1,-1,0,2}
{2,-1,5,6,-4}
quale delle seguenti affermazioni è corretta?
```
a) Nessuna sottomatrice 2×2 è invertibile
b) I determinanti di tutte le sottomatrici 3×3 sono nulli
c) I vettori colonna sono linearmente indipendenti
d) I vettori riga sono linearmente indipendenti
B
47
Un sistema si dice lineare se:
a) Le sue soluzioni giacciono su una linea
b) Ammette il vettore nullo come soluzione
c) L’insieme delle sue soluzioni costituisce uno spazio vettoriale
d) E' descritta da equazioni di primo grado nelle variabili
D
48
Siano A e B due matrici n×m diverse. E' possibile che esista una matrice quadrata C tale che C·A=C·B?
a) se la dimensione dello spazio vettoriale generato dai vettori riga di A è minore di n
b) se e solo se Det(C) != 0
c) Risposte no
d) solo se Det(C) = 0
D - Non è la B perchè se Det(C) != 0 potremmo riscrivere C·A = C·B come A=C·B·C^(−1)·CC^(−1) può essere riscritto come Id perciò avremmo A = B·Id .Ma non può essere perchè A e B sono due matrici diverse.
49
Sia A= (aij) una matrice reale tale che aij=aji per ogni i,j e con polinomio caratteristico pA(x) = (x−2)^3 · (x−1)^2 · (x−5)^3 Si scelga l’affermazione corretta:
a) Gli autospazi hanno dimensione 3,2,3
b) Non si può concludere la diagonalizzabilità di A dai dati formati
c) Ci potrebbe essere un vettore non nullo v tale che Av = 3v
d) Gli autospazi hanno dimensione 2,1,5
A
50
Sia R[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in R e Vt il sottoinsieme costituito dai polinomi di grado 0,1 e di grado minore o uguale a 2t. Per quali valori di t Vt è un sottospazio vettoriale di R[x]
a) Ogni valore
b) Nessun valore
c) Solo V0 e V1
d) Solo V1
A
51
Sia M= (mij) una matrice quadrata di ordine 7. Nelle seguenti situazioni, quando M potrebbe non essere invertibile?
a) Quando det(aM) può essere un numero reale qualsiasi, per opportuna scelta di a∈R
b) Quando AM può essere una qualunque matrice quadrata di ordine 7, per una opportuna scelta della matrice A
c) Quando esistono dei vettoriv1,...,vi∈R7tali che (Mvi)i sono linearmente indipendenti
d) Quando M ha un minore di ordine 6 con determinante non nullo e mi,j != 0
B
52
Sia A una matrice con 5 righe e 3 colonne. Quali delle seguenti operazioni può aumentare il rango, assumendo che la matrice non abbia rango massimo?
a) Moltiplicare una colonna per un numero positivo e sottrarla ad un’altra colonna
b) Ridurre a scala A
c) Sommare ad una colonna di A un vettore i di R^5
d) Sommare ad una riga di A altre due righe appositamente scelte
C
53
Una compagnia aerea decide restrizioni sulle valigie trasportate. Tali restrizioni sono rappresentate da condizioni lineari su: larghezza, altezza, profondità, peso e sono scelte in modo tale che esistono infinite misure soddisfacenti le suddette condizioni. In particolare, se l, a, p, w stanno a indicare rispettivamente larghezza, altezza, profondità e peso, queste quantità devono soddisfare 4 equazioni del tipo
αa+βl+γp+νw=δ con α, β, γ, ν∈R.
Un impiegato distratto sbaglia nel scrivere un coefficiente dell’ultima condizione nei regolamenti pubblicati. Cosa accadrà?
a) Se le prime tre condizioni iniziali sono linearmente indipendenti, ci sarà una sola misura che le soddisfa
b) Se le nuove condizioni sono linearmente indipendenti allora esiste una sola soluzione
c) Esisterà un solo tipo di misura che soddisfa le nuove condizioni
d) Se la matrice dei coefficienti delle condizioni ha rango 2 ed esiste una valigia che soddisfa le nuove condizioni, allora sicuramente ci sono infinite misure che le soddisfano
D
54
Sia A una matrice quadrata di ordine 4 con tutti gli autovalori λi(i= 1,...,4) reali non necessariamente distinti tra loro e sia P(x) il suo polinomio caratteristico. Quale tra i seguenti P(x), mi garantisce che A sia diagonalizzabile:
a) (x−2)^4
b) (x−2)^2(x+ 5)^2
c) (x−1)x(x+ 1)(x−5)
d) (x−2)^2(x−3)x
C - Se tutti gli autovalori fossero diversi tra loro, allora avrei sicuramente una matrice diagonalizzabile. Se ciò non fosse il caso (come le altre opzioni, dove la molteplicità degli autovalori>= 1) dovrei controllare che gli autovettori siano linearmente indipendenti.
55
Sia v∈R^5e {wi}i=1,...,n un sistema di generatori di R^5 tali che v=∑i=1 n aiwi =∑i=1 n biwi con aj!=bj per qualche j. Cosa concludiamo?
a) {wi}i è una base diR5
b) n > 5
c) E' impossibile che ciò accada, poichè {wi}i sono generatori di R^5
d) I vettori v∪{wi}i sono linearmente indipendenti
A
56
Una società di assicurazioni vuole determinare delle condizioni lineari del tipo αe+βs+γr−δ = 0(α,β,γ,δ∈R), da soddisfare da parte dei potenziali sottoscrittori, su: età =e, livello di sismicità del luogo di residenza = s, variazione del reddito =r dell’anno 2010. Per regolamento interno, le condizioni possono essere solo 1 o 2, le persone con e >70 non possono sottoscrivere e deve esistere almeno una tripla (e, s, r) che soddisfi le condizioni. Quali delle seguenti affermazioni è corretta?
a) sono obbligati ad usare 2 condizioni
b) ogni scelta di 2 condizioni linearmente indipendenti andrà bene
c) sono obbligati ad usare solo 1 condizione
d) se vogliono usare una sola condizione e vogliono che (30,3,10) la soddisfi, allora esiste un’unica scelta per tale condizione
B
57
Sia A una matrice quadrata di ordine n e sia Id(n) la matrice identità di ordine n. In quale caso esiste una matrice quadrata B di ordine n tale che A = Id(n)+B?
a) se e solo se un detA != 0
b) se e solo se detA = 0
c) sempre
d) se e solo se detA = 1
C
58
Il pesce per essere commercializzato, deve soddisfare quattro condizioni lineari riguardanti: peso, lunghezza, circonferenza. Se p ,le c denotano rispettivamente il peso, la lunghezza e la circonferenza, una condizione lineare è del tipo
αp+βl+γc−δ= 0 (α,β,γ,δ∈R).
Ci si rende conto che nessun pesce può soddisfare contemporaneamente tutte e quattro le condizioni, così si decide di modificarle, aggiungendo aritmeticamente a ciascuna di esse un termine del tipo a,t per ogni i= 1,...,4 dove ai sono numeri reali e t è il tempo trascorso da quando il pesce è stato pescato. Una tipologia di pesce è la quaterna (p, l, c, t). Con questo artificio si arriva a garantire che esiste almeno una tipologia di pesce che soddisfa tutte e quattro le nuove condizioni. E’ possibile che esistano infinite tipologie di pesci che soddisfino tutte le condizioni modificate?
a) no, al massimo una sola tipologia
b) si, comunque siano state scelte le condizioni originali
c) se e solo se delle 4 condizioni originali ce ne sono al massimo 3 linearmente indipendenti
d) solo se le 4 condizioni nuove sono linearmente indipendenti
C
59
Siano v1,v2 e v3 vettori in R^4 tali che la dimensione del sottospazio (v1,v2,v3) d essi generato sia 2. E’ possibile determinare un vettore v4∈R^4 tale che la matrice data dai {vi}i=1,...,4 come vettori colonna sia invertibile?
a) no
b) si
c) è possibile se e solo se i vettori v1, v2 e v3 non appartengono ad una stessa retta
d) è possibile se e solo se v1, v2 e v3 sono diversi tra loro
A - Non sarà mai possibile perchè avendo 3 vettori e la dimensione del sottospazio generato da essi uguale 2 vuol dire che sono linearmente dipendenti. Se ci aggiungiamo un altro vettore la situazione non cambia, al limite avremo 3 vettori linearmente indipendenti ma non basta. Infatti una matrice quadrata si definisce invertibile se i vettori che la compongono sono tutti linearmente indipendenti.
60
Quale tra i seguenti insiemi è una base del più piccolo spazio vettoriale in R^4contenente il triangolo divertici
a= (0,−1,1,1), b=(1,−2,1,0),c= (0,1,1,1) ?
a) {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}
b) {a,b,(0,0,1,0),(0,0,1,0)}
c) {a,c}
d) {a,b,c}
D
61
Sia V un sottospazio vettoriale di dimensione 3 in R^5. Qual è la dimensione del più piccolo sottospazio vettoriale in R^5 contenente R5\V:
a) 3
b) 2
c) 5
d) 4
B - Dimensione di R - dimensione di V = 5 - 3 = 2
62
Quale dei seguenti insiemi è una base di < S > dove
S= {(1−t,t+ 2,t−2) :t ∈ R}∪{(−2s,2−s,1 +s)}
a) {(tan(4),183,π3),(log(11),0,e−4)}
b) (log(2),1,√5),(log(6),0,π),(log(12),1,1 +√5)}
c) (1,0,0),(0,0,1)}
d) {(0,1,0),(187,−√2,log(2)),(eπ,0,−cos(7))}
D
63
Quanti omomorfismi R^3→R^3 mandano il piano di equazioni 2x−y+z= 1 nel punto (1,2)?
a) nessuno
b) infiniti
c) uno solo
d) un numero finito maggiore di 1
B
64
Sia X={(x,y,z,w)∈R^4: y=x+ 2w,z+w=−x} e < S > il sottospazio vettoriale generato dai vettori in S. Quale dei seguenti è un sistema di generatori per X?
a) [prodotto scalare(−1,1,0,1)]U(1,1,-1,0)
b) l’insieme dei vettori che hanno distanza 1 dall’origine di R^4
c) {(x,y,z,w)∈R^3:z+w=−x}
d) {(0,1,0,0),(0,0,1,0)}
B
65
Sia V lo spazio di tutte le funzioni lineari da R^3 a R^2. Si consideri il sottoinsieme S⊂V tale che:
f∈S se e solo se Im(f) =〈(1,−1)〉∪〈(1,3)〉
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a) S è un sottospazio di V
b) S è l’insieme vuoto
c) se rimpiazzassimo R^3 con R^4, con n abbastanza grande, S conterrebbe almeno n elementi
d) S contiene un numero finito di elementi
B
66
Una compagnia aerea decide restrizioni sulle valigie trasportate. Tali restrizioni sono rappresentate da condizioni lineari su: larghezza, altezza e profondità. In particolare, se l, a, p stanno a indicare rispettivamente larghezza, altezza e profondità, e queste quantità devono soddisfare 3 equazioni del tipo:
αa+βl+γp=δ;
a) Se le prime due condizioni sono linearmente indipendenti, allora esisterà un unico tipo di valigia che le soddisfa
b) Nulla, rimangono infinite soluzioni
c) Qualunque cosa è possibile: sia che non ci siano valigie che soddisfino le nuove condizioni, sia che esista una sola misura, sia che ce ne siano infinite
d) Esisterà ancora almeno una valigia soddisfacente le condizioni se e solo se il coefficiente trascritto è nullo
C
67
Sia R[x]5 lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 5. Sia I contenuto in R[x]5 un insieme di tre vettori linearmente indipendenti. Quale procedura mi permette di completare I ad un’altra base di R[x]5?
a) Aggiungo ad I un numero sufficiente di polinomi v1,v2,v3 non in I, tali che, per ogni coppia di vettori vi != vj non esiste λ∈R [...]
b) Aggiungo ad I tre polinomi opportunamente scelti di grado 5
c) Aggiungo ad I tre polinomi linearmente indipendenti qualsiasi in R[x]5−I
d) Aggiungo ad I due polinomi linearmente indipendenti presi in un sottospazio di dimensione 2 ed un polinomio non nullo in un sottospazio [...]
C
68
Sia k un numero reale, si consideri il seguente sistema di equazioni:
{2x−2y=k
{kx−y= 0
{x+y= 1
a) Il sistema non ammette mai soluzioni
b) Per k=3 il sistema ha una e una sola soluzione
c) Se k=1 il sistema ha infinite soluzioni
d) Per k = -2 il sistema ha una e una sola soluzione
A
69
Sia M una matrice quadrata di ordine 7 `e invertibile se:
a) M=7A con rango 7
b) se M ha almeno 7 minori con determinante diversi da zero
c) esistono 7 scalari i tali che ∑i=1 7 Ci, dove Ci sono le colonne di M
d) M = A + B dove A,B hanno rango 7
A
70
```
Sia Ma=
(a-1, 1, 2)
(0, a+3, 1)
(a-1, 2, 3)
(0, a+3, 1)
```
a) rango(M)=3 per a∈[−10,−1], eccetto per un solo valore, in cui il rango = 2
b) rango(M)=3 per a∈[−1,1], eccetto per un solo valore, in cui il rango = 4
c) rango(M) è massimo per ogni a∈[0,5]
d) rango(M)=2 per a∈[−5,2], eccetto per due valori, in cui il rango = 3
A* - da confermare
71
Il seguente sistema di equazioni lineari con parametro t∈R nelle variabili x,y,z,w:
{(t+ 4)x+ y + w = 1
{tx+ (2t−2)y +tz −10w= 1
{−z−y−z−w=−1
a) ammette infinite soluzioni per ogni valore di t eccetto uno solo
b) ammette infinite soluzioni per ogni valore di t eccetto due valori in cui non ha soluzioni
c) solo per due valori di t il sistema ammette infinite soluzioni
d) esiste un solo valore di t per cui il sistema ha un’ unica soluzione e infinite per gli altri valori del parametro
A
72
Sia A una matrice nxn non invertibile. E’ possibile determinare una matrice invertibile U tale che U A abbia una riga formata da soli zeri?
Scegli un’alternativa:
a) sì
b) solo se A è simmetrica
c) mai
d) solo se A è triangolare con almeno un elemento della diagonale non nullo
e) non ci sono informazioni sufficienti per rispondere
A
73
Dati i vettoriv1=(1,1,1) v2=(0,0,2) v3= (a,a,b) v4= (-1,-1,1) quali delle seguenti affermazioni è corretta?
a) v1 v2 v3 v4 sono tra di loro indipendenti
b) v3 v1 sono indipendenti per ogni scelta di a e di b
c ) v1 e v2 sono tra di loro dipendenti
d) i vettori sono complanari, cioè sono contenuti in un piano per l’origine
D
74
Sia A una matrice quadrata di ordine n e sia Id(n) la matrice identità di ordine n. In quale caso esiste una matrice quadrata B di ordine n tale che A=Id(n)+B Scegli un’alternativa:
a) sempre
b) se e solo se det(A) = 0
c) se e solo se det A = 1
d) se e solo se det A!= 0
A
75
Di quale dei seguenti spazi vettoriali B= (3,2,1) , (-1,1,0), (9,1,2) è una base?
Scegli un’alternativa:
a) 〈(3,2,1),(9,1,2)〉cioè il sottospazio generato dai vettori indicati tra le parentesi
b) nessuno: B non è una base
c) R^3
d) lo spazio vettoriale generato da B
B
76
Si consideri A=
(0,1,1)
(-1,0,2)
(1,1,0)
a) A^−1 ha come prima riga (2.-1,-1)
b) A non `e invertibile
c) A^−1 ha come seconda riga (1,-1,1)
d) A^−1 ha come terza riga (-1,1,1)
D
77
Siano M e N due matrici 8 x 8.Quando sono sicuri dell’esistenza di una matrice A tale che MA=N
a) quando M è una matrice triangolare superiore
b) quando N è una matrice invertibile
c) quando det M!= 0
d) quando N è una matrice triangolare inferiore
C - Se MA=N allora A = N/M ragionando con i determinanti sappiamo che il det(M) deve essere diverso da 0 perchè è al denominatore
78
Quanti polinomi di grado 4 sono linearmente indipendenti in R[x]?
a) 1
b) 5
c) 4
d) infiniti
B
79
Sia A una matrice quadrata non nulla tale che
det(A) = 0 Scegli un’alternativa:
a) la moltiplicazione a sinistra per A, vista come funzione R^n→R^n è iniettiva
b) rango(A) =n−1
c) x^i divide il polinomio caratteristico di A per qualche i > 0
d) A non è diagonalizzabile
C
80
Sia M= (mij) una matrice 6 x 6. In quale dei seguenti casi concludo che M è invertibile? Scegli un’alternativa:
a) det(A)!= 0 dove N è il minore (mij)ij<=5e l’ultimo vettore colonna di M è (0,0,0,0,0,1)
b) M è una matrice diagonale
c) esiste B tale che M+B è la matrice identità moltiplicativa
d) esistono 6 vettori vi tali che i vettori Mvi sono diversi tra loro
A
81
Data una retta r con parametrizzazioner→p+tv∈R3 con ||v||= 1, un piano che forma un angolo 0≤α≤π/2 con r è del tipo:
a) ax+by+cz+d= 0 con{(a,b,c)−v; (a,b,c)−p}= cos(α)
b) ax+by+cz+d= 0 con lunghezza di (a,b,c) unitaria e α=π/2 − arccos(|v,(a,b,c)|)
c) ax+by+cz+d= 0 con lunghezza di (a,b,c) unitaria e arcsin((a,b,c)∧v) = α
d) ax+by+cz= 0 con lunghezza di (a,b,c) unitaria e ||(a,b,c) +v||= cos(α)
B
82
Siano dati quattro punti complanari (stanno su uno stesso piano per l’origine) A, B, C e D∈R^3 che formano un rombo. Un vettore normale al piano in cui essi giacciono è dato da:
a) ||B−A|| ||C−A||sin(α) dove α è l’angolo tra i vettori B−A e C−A
b) (A+B+C)/(||A+B+C||)
c) (B−A)∧(C−A)
d) ||(B−A)∧(C−A)||
C
83
Date due rette in R^3 con parametrizzazione t→p+tv e s→q+sw, esse si intersecano(in un solo punto) se e solo se:
a) v non è multiplo di w, e w non è combinazione lineare di p e q(se lo fosse sarebbe linearmente dipendente)
b) La matrice che ha per colonne i vettori p, v, q e w ha rango massimo
c) v e w sono linearmente indipendenti
d) La matrice che ha per righe i vettori v, q − p e w ha determinante nullo e v non è multiplo di w
D
84
Siano v e w due vettori. La lunghezza della proiezione di v su w è uguale a:
a) v*w/(||v||*||w||)
b) (v*w)/||v||
c) (v*w)/||w||
d) v*w
e) cos(theta)||w||
C
85
Siano dati i punti A, B, C, D ∈ R^3. Essi giacciono su un piano affine se:
a) Il determinante della matrice con colonne i vettori A, B, C, D non è nullo
b) Il determinante della matrice con colonne i vettori A, B, C, D è nullo
c) Il determinante della matrice con righe i vettori B−A, C−B, D−C è zero
d) I vettori B−A, C−A, D−A sono linearmente indipendenti
C
86
Siano v1, v2, v3 ∈ R^3 tali che ∑i=1 3 vi= (0,0,λ−1,λ−1,0) =z(λ) per un λ ∈ R. Allora:
a) Qualunque siaλposso scegliere un w∈R
b) I vettori v1, v2, v3 sono linearmente indipendenti qualunque sia λ
c) I vettori v1, v2, v3 sono linearmente indipendenti se λ è positivo
d) Esiste almeno un valore di λ per cui i vettori v1, v2, v3 non possono far parte di una base R^5
D
87
Siano v, w, z ∈ R^3. Essi formano una piramide a base triangolare con vertice all’origine 0. La somma delle aree delle facce, esclusa la base, della piramide è:
a) 1/2·(v∧w)
b) 3·||v∧(w∧z)||
c) 1/2·(||v∧w||+||w∧z||+||z∧v||)
d) 1/2·(v·w+w·z)
C
88
Siano A, B, C i vertici di un triangolo in R^3 di area k e 0≤θ≤π l’angolo nel vertice B formato dai lati. Quali delle seguenti uguaglianze è vera?
a) θ = arcsin(k/(||A−B||·||C−B||))
b) θ = arccos((A−B)·(C−B))/(||A−B||·||C−B||))
c) cos(θ) = k2·||A−B||·||C−B||
d) sin(θ) = (A−B)∧(C−B))/(||A||·||C||)
B
89
Dato il vettore v= (1,1,0) è possibile trovare due vettori diversi tra loro w1, w2 ∈ R^3 tali che v∧w1 = v∧w2?
a) Non è possibile
b) Si, solo se v è perpendicolare a w2
c) Si, solo se esiste .......
d) Si, infinite soluzioni (si ed esistono infinite coppie di tali w1, w2)
D
90
E possibile trovare vettori v e w su una sfera di raggio R, centrata nell’origine, tali che v·w=−3?
a) Si, solo se r ≤ 3
b) Si, solo ser ≥ √3
c) Si, solo ser ≥ −3
d) Risposta mancante
B
91
Supponiamo che 0 appartenga all’insieme {||v∧(αw1+βw2)||:α,β∈R,|α|+|β| 6= 0} per vettori v, w1, w2 ∈ R^3. Cosa possiamo concludere?
a) v appartiene allo spazio vettoriale generato da w1,w2
b) Esistono α, β non entrambi nulli tali che αw1+βw2= 0
c) (v, w1, w2) è una base di R^3
d) v è perpendicolare sia a w1 che a w2
A - proposta anche la B
92
Siano A, B, C tre punti in R^3. L’area del triangolo determinato da questi tre punti è uguale a:
a) Il modulo del prodotto scalare del vettore applicato di B−A con C−B
b) La lunghezza del prodotto vettoriale di B−A con C−B divisa per 2
c) Il prodotto scalare del vettore applicato AB con AC diviso per 2
d) Il prodotto vettoriale di B−A con C−A diviso per 2
B
93
Siano A, B, C ∈ R^3 e ABC il triangolo con questi vertici. L’altezza di ABC, visto con base AC, è:
a) BH=B·A·sin(α) =|v1|·sin(α)
b) |(C−B)·(A−B)|/(||A−B||)
c) |(C−B)·(A−B)|/2
d) (C−B)∧(A−B)|/(||C−B||·||A−B||)
e) |(C−B)∧(A−B)|/(||C−A||)
A - giusta ma non presente tra le risposte E
94
Sia α(t) =tv+p e β(s) =sw+q due rette affini in R^3 angolare di π/6 l’una rispetto all’altra. Allora:
a) ||α(t)∧β(s)||/2=√3/2per ogni numero reale t e s
b) α(t)∧β(s)/||α(t)||·||β(s)||=√1/2per ogni numero reale t e s
c) (v·p)·(w·q)/(||v·p||·||w·q||)=√3/2
d) |v·w| = ||v||·||w|| · √3/2
D
95
Sia H un piano affine in R^3. Quando è possibile trovare tre vettori di H che formino una base di R^3?
a) I 3 vettori devono essere linearmente indipendenti(Det!= 0 della matrice 3×3 = rango massimo)
b) I 3 vettori costituiscono un sistema di generatori (ossia è un insieme di vettori che tramite combinazioni lineari permette di ricostruire l’intero spazio)
c) Quando si considerano piani non passanti per l’origine
A
96
Dati due vettori in R^3 (testo mancante) quando sono complanari?
Due vettori sono sempre complanari in R^3, quando sono 3 bisogna verificarlo
97
Sia v un vettore in R^2 con coordinate (1,0) e sia w un altro vettore in R^2. Voglio che l’angolo tra w+v e v sia π/4, considerando che θ(l’angolo fra v e w è 2/3·π). Quanto deve essere la lunghezza di w?
a) −1 +√3
b) w= (a·cosθ) = a2·(−1,√3)
c) (w·v)·w= (1−a2,√32·a)·(1,0) = 1−a2
A
98
Data una rettar →p+tv ed un piano ax+by+cz+d= 0 in R^3, essi non intersecano se e solo se:
a) Il determinante della matrice con vettori riga p,v,(a,b,c) non è nullo e le coordinate di p non soddisfano l’equazione del piano
b) Il prodotto scalare di v con (a,b,c) sia nullo e le coordinate di p non soddisfano l’equazione del piano
c) Il determinante della matrice con vettori riga p, v,(a,b,c) è non nullo
d) Il prodotto scalare di v con (a,b,c) sia nullo
B
99
Il piano di equazioni 2y−z−5 = 6:
a) Passa per l’origine
b) E parallelo all’asse x
c) E parallelo all’asse y
d) E parallelo all’asse z
```
B - Per questo tipo di esercizi basta rifarsi all’equazione del piano:
ax+by+cz=d
a = 0 parallelo all'asse x
b = 0 parallelo all'asse y
c = 0 parallelo all'asse z
d = 0 piano passante per l'origine
```
100
Il piano di equazione 2x+ 2z−5 = 0
a) Passa per l'origine
b) E parallelo all’asse x
c) E parallelo all’asse y
d) E parallelo all’asse z
C
101
La retta di equazioni x= 2, y= 1 +t, z=−1−t:
a) Passa per l’origine
b) Giace nel piano y,z
c) Giace su un piano parallelo al piano y,z
d) E parallela alla retta di equazioni x= 1−2t, y= 2, z=−1−t
C-
a) non passa per l’origine, per verificarlo basta sostituire ad x y e z (0,0,0) l’uguaglianza deve essere rispettata, cosa che non accade però per x.
b) non è completa perchè potrebbe anche essere parallela al piano y z.
c) Dopo aver visto che r giace nel piano y z, si prende un punto appartenente alla retta e si vede se appartiene al piano che in questo caso ha equazione y+z=0. Po∈r prendiamo (2,1,-1) cont=0. e sostituiamo alle coordinate presenti nell’equazione del piano: (1) +(-1)=0 cioè 1 - 1 = 0 Possiamo concludere che Po ∈ r fa parte del piano perciò r giace ed è parallela ad y z.
d) basta prendere i vettori direzione delle due rette e vedere se sono proporzionali. se lo sono allora le due rette sono parallele. In questo caso non lo sono
102
La retta di equazioni x= 1−2t,y= 3,z= 1 + 2t:
a) Passa per l’origine
b) Giace nel piano y,z
c) Giace in un piano parallelo al piano x,z
d) E parallela alla retta di equazioni x= 3,y= 2,z=−1 + 2t
C - guarda domanda precedente per spiegazione
103
L’area del quadrilatero piano dato dai punti A= (1,0,0), B= (2,0,1), C= (1,−2,2), D= (0,−1,0)(in questo ordine) è:
a) La radice positiva dell’equazione x^2 −2x−5 = 0
b) ||A∧D||
c) (A−D)/||A||·||D||
d) 2·√3
D
104
Quale dei seguenti sottoinsiemi di R^3 contiene almeno un vettore che forma un angolo di 60◦ con v= (1,−1,1)?
a) {t(1,1,0) : t ∈ R}
b) {t(0,0,1) + (1,1,0) :t ∈ R}
c) {v∧(1,2,3)}
d) {(x,y,z) ∈ R^3:x−y+z= 0}
B
105
Il piano di equazione −x+ 2y+ 5 = 0
a) Passa per l'origine
b) E parallelo all’asse x
c) E parallelo all’asse y
d) E parallelo all’asse z
D
106
Sia q= (1,2,1), s={(x,y,z) ∈ R^3 : −x+y−z= 2,x−3y=−1}. Qual è la distanza tra q e s?
a) ∣∣8/7,12/7,18/7∣∣
b) ∣∣3/13,−4/13,−7/13∣∣
c) ∣∣−1,−5/3,−7/3∣∣
d) ∣∣−7/5,−9/5,−11/5∣∣
A
107
Sia H un piano affine in R^3. Quando è possibile trovare tre punti A= (a1,a2,a3), B= (b1,b2,b3),C=(c1,c2,c3) di H tali che i vettori (a1,a2,a3),(b1,b2,b3),(c1,c2,c3) formino una base di R^3?
a) Se e solo se H non contiene l’asse x, nè l’asse y, nè l’asse z
b) Mai
c) Solo quando H è parallela al piano x,y
d) Se e solo se H non passa per l’origine
D
108
La retta di equazioni x= 1 + 3t,y= 3−t,z= 2:
a) Giace nel piano y, z
b) Giace in un piano parallelo al piano x, z
c) E parallela alla retta di equazioni x= 3−6t; y = 2t−3;z = 3
d) Passa per l'origine
C
109
Dati tre punti nello spazio A= (a1,a2,a3), B= (b1,b2,b3), C= (c1,c2,c3), condizione sufficiente affinchè siano su una stessa retta è che:
a) Il rango della matrice avente come righe A, B, C sia 1
b) Il determinante della matrice avente come righe A, B, C sia diverso da 0
c) Il rango della matrice avente come righe A, B, C sia 2
d) A·(B∧C) = 0
A - il rango ci indica il numero di vettori linearmente indipendenti. è semplice da capire che se abbiamo solo un vettore v linearmente indipendente gli altri due saranno λv.
110
Quando per i seguenti quattro punti A= (1,0,0),B= (0,−1,1),C= (1,0,2),D= (−t,t,1), t ∈ R, passa un piano (affine)
a) Sempre
b) Mai
c) Solo per t=1/2 e t=−1/2
d) Solo per t=-1/2
D
111
In quale dei seguenti insiemi esiste un vettore v tale che v ∧ w= 0, dove w= (1,2,3)
a) {tα+β:α= (2,4,6),β= (1,0,1),t ∈ R}
b) Piano di equazioni x+y+z+ 1 = 0
c) Piano di equazioni x+y+z= 0
d) {(x, y, z)∈R^3:y= 0,x > z}
C - E’ l’unico che ci darebbe il vettore (0,0,0) e sappiamo che il prodotto vettoriale di un vettore w con un qualunque vettore ci restituirà sempre il vettore nullo.
112
Sia v di R^3. Supponiamo che v tale che v·w= 0 per ogni w∈R^3. Allora? Scegli un’alternativa:
a) v = 0
b) non ci sono sufficienti informazioni per dedurre qualcosa su v
c) v e w sono proporzionali per ogni scelta di w∈R^3
d) non esistono vettori ortogonali a v
A
113
Sia l={tv+p : t ∈ R} una retta e H={rw+sz+q:r,s∈R}un piano, entrambi in R^3. Si consideri poi la retta h(u) ={uw+ 2uz+q:u∈R}. Quale delle seguenti condizioni implica che l e h sono sghembe?
a) L’insieme delle combinazioni lineari di v e w+ 2z è un piano e l ∩ H=∅
b) La matrice con vettori riga v, w, z ha determinante!= 0
c) l ∩ H=∅ e v+w+z!= 0
d) p ∧ q e il rango della matrice con colonne v, w, z è uguale a 2
A
114
Siano A={(x,y,z)∈R3:−x+ 2y−z+ 3 = 0 e−3x+ 6y−3z+ 9 = 0} e B={(r−2s,−r+ 2s+1,2r−4s−1)∈R3: (r,s)∈R}. Che cosa esprimono A e B?
a) A una retta, B l’insieme vuoto
b) A un piano, B una retta
c) Due piani
d) A una retta, B un piano
B
115
Il piano di equazioni 2y−z−5 = 0:
a) Passa per l'origine
b) E parallelo all’asse x
c) E parallelo all’asse y
d) E parallelo all’asse z
B
116
L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione 3x^2−10xy−2x+ 9y^2+ 6y+ 4 = 0 rappresenta:
a) L'insieme vuoto
b) Un ellisse
c) Due rette parallele
d) Una parabola
A
117
L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x^2+ 4xy−2y^2+ 2x−2y−1 = 0 rappresenta:
a) Un’iperbole
b) Un punto
c) Una parabola
d) Un’ellisse
A
118
L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x^2+ 2xy+ 2y^2−4x−2y−1 = 0 rappresenta:
a) due rette
b) un ellisse
c) un’iperbole
d) una parabola
B
119
L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione 13x^2−2xy−16x+y^2+ 4y+ 4 = 0 rappresenta:
a) L’insieme vuoto
b) Due rette incidenti
c) Un ellisse
d) Un’iperbole
C
120
Dati i punti A= (0,7) B= (2,2) C= (2,3) stabilire se essi sono allineati e, nel caso lo siano, rispondere ”0”. Nel caso non lo siano riportare il coefficiente β0(ordinata all’origine) della retta regressione lineare semplice individuata da essi.
7
121
Dati i punti A= (−1,3)B= (−1,12)C= (2,30) stabilire se essi sono allineati e, nel caso lo siano, rispondere ”0”. Nel caso non lo siano riportare il coefficiente β0(ordinata all’origine) della retta regressione lineare semplice individuata da essi.
15
122
Dati tre punti nello spazio A= (a1,a2,a3), B= (b1,b2,b3),C= (c1,c2,c3), condizione necessaria affinchè siano su una stessa retta è che:
a) Il determinante della matrice avente come righe A, B, C sia diverso da zero
b) A·B=B·C= 0
c) Il rango della matrice avente come righe A, B, C sia minore di 3
d) B ∧ C sia parallelo ad A
C
123
Siano v e w due arbitrari vettori di R^3 non nulli. Allora v·w rappresenta:
a) Un numero compreso tra −1 e 1
b) La misura in radianti dell’angolo compreso tra v e w
c) La misura del coseno dell’angolo compreso tra v e w moltiplicata per ||v||·||w||
d) La misura del coseno dell’angolo compreso tra v e w
C
124
Si consideri in R^2 la retta di equazioni y=−x. Sia f:R2→R2 l’omomorfismo che manda un punto P nel suo simmetrico rispetto a r. Posto a=√2/2 risulta:
a) f(x,y) = (ay−ax,ay+ax)
b) f(x,y) = (y,x)
c) f(x,y) = (−y,−x)
d) f(x,y) = (−ax,ay)
C
125
Sia v= (1,0) e w un vettore che forma un angolo di 2π/3 con v. Quale lunghezza deve avere w affinchè il vettore w+v formi un angolo di π/4 con v?
a) √3−1
b) La radice positiva dell’equazione x^2−√2x+ 1 = 0
c) 1−√2
d) Tutte le radici dell’equazione x^2−2x−2 = 0
A
126
Dati tre punti nello spazio A= (a1,a2,a3) ,B= (b1,b2,b3), C= (c1,c2,c3), condizione necessaria e sufficiente affinchè siano su una stessa retta è che:
a) A·B=B·C= 0
b) l determinante della matrice avente come righe A, B, C sia uguale a 0
c) Esista un piano che passi per A, B, C e l’origine
d) I vettori applicati AB e CA risultino paralleli
D
127
Sia p= (1,2,1) e r={(x,y,z)∈R3:−x+ 2y−z= 2,x−3y=−1}.Qual è il punto di r più vicino a p?
a) (5/6,−1/6,7/6)
b) (−2/5,1/5,−6/5)
c) (0,1/3,−4/3)
d) (7/11,6/11,−17/11)
D
128
Siano dati quattro punti complanari (stanno sullo stesso piano per l’origine) A, B, C, D ∈ R^3 che formano un rombo. Una normale al piano in cui essi giacciono è data da:
a) ||B−A||·||C−A||·sin(α) dove α è l’angolo tra i vettori B−A e C−A
b) (A+B+C)·||A+B+C||
c) (B−A)∧C−A
d) ||(B−A)∧(C−A)||
C
129
Qual è il minimo del seguente insieme di numeri reali
{distanza tra retta l e p al variare di l ⊂ H}
dove H={(s−r,s+r,2r−s+ 1)∈R^3:r,sR}e p= (1,0,1)?
a)6/√17
b)5/14
c)2/√17
d)3/√14
D
130
Si considerino i due piani
H1= (2r+s,−r+ 2,s−r)∈R
H2={(x,y,z)∈R3:−x−3y+z+ 5 = 0}
Selezionare la risposta corretta tra le seguenti
a) Ogni retta in H1 è sghemba rispetto ad una qualsiasi retta in H2
b) Esistono infinite rette perpendicolari ad entrambi i piani
c) La retta t→(t,1,1−2t) è contenuta in uno dei due piani
d) Non esistono retta l1⊂H1 e l2⊂H2 tali che l1 ⊥ l2
B
131
Dati i punti A= (2,1), B= (−4,4), C= (0,2) stabilire se essi sono allineati e, nel caso lo siano, rispondere ”0”. Nel caso non lo siano, riportare il coefficiente β0(ordinata all’origine) della retta regressione lineare semplice individuata da essi
0
132
L’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x^2+ 4xy+ 4y^2−4x−2y−2 = 0 rappresenta:
a) Un’iperbole
b) Una parabola
c) Due rette
d) Un punto
B
133
Sia ft: R3→R[x]3, dove il codominio è lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 3, una funzione tale che f(1,0,1) = 2x+ 1,f(1,−2,0) = x^2 e f(0,1,t) =x^2+x^3. Per quali t ∈ R la funzione ft può essere un omomorfismo?
a) Può esserlo per un solo t
b) Può esserlo per tutti i t
c) Per nessun t
d) Per tutti, tranne per un t
D
134
Dati i punti A= (2,9)B= (−1,16)C= (−2,1) stabilire se essi sono allineati e, nel caso lo siano, rispondere ”0”. Nel caso non lo siano riportare il coefficienteβ0 (ordinata all’origine) della retta regressione lineare semplice individuata da essi.
9
135
Si consideri la funzione φw:R3→R3 data da φw(v) =v∧w per un w∈R3. Qual è l’immagine della sfera di raggio 1 centrata in (0,0,0)?
a) cerchio di raggio ||w|| centrato in (0,0,0) nel piano perpendicolare a w
b) un sottoinsieme contenuto in una retta perpendicolare a w
c) sfera unitaria centrata in (0,0,0)
d) sfera unitaria centrata in w
A
136
Sia l = tv+p:t∈R una retta in R3 non...(manca un pezzo) determinare un vettore w∈R3 con la seguente... (manca un pezzo) ...∀q∈l non nullo, i vettori q e w generano un p...(manca un pezzo) ...
Si scelga la risposta corretta tra le seguenti.
a) il fatto che w esista dipende da v e da p
b) tale w esiste sempre
c) l’esistenza di w dipende da v ma non da p
d) ogni vettore w, linearmente indipendente con p,...(manca un pezzo)
B
137
Siano l una retta e H un piano. Quando è possibile trovare una retta r ⊂ H perpendicolare a l?
a) solo se H è parallelo a l
b) sempre
c) solo se H∩l!=Ø
d) solo se l non è inclusa in H
B
138
Sia V uno spazio vettoriale e W un suo sottospazio. Supponiamo esistano n vettori w1,...,wn∈W e v1,v2∈V W tali che:
∑i=1 n λi wi+λn1 v1+λn+2v2= 0
Cosa possiamo concludere su V e W?
a) Niente
b) L’insieme{w1,...,wn,v1,v2} è di vettori linearmente indipendenti
c)dim(V)≥n+ 2
d) dim(W)< n
C
139
Sia S={(x,y,z)∈R3:z=y2} e sia p un arbitrario vettore giacente sull’asse z. Esiste un vettore q∈S non nullo tale che q∧p= 0?
a) No
b) Se e solo se p·q=0
c) Si
d) Solo se ||q||=||p||
B
140
Siaπ: x-2y+z=1 e siano P0,P1,P2 tre suoi punti. Allora:
a) il piano ha equazione parametrica del tipo P =P0+α P1+βP2
b) i vettori P0, P1, P2 costituiscono sempre una base di R3
c) è possibile scegliere i punti in maniera tale che i vettori P0, P1, P2 costituiscono una base di R^3
d) i Pi(i= 0,1,2,...i) saranno sempre linearmente
dipendenti
C
141
Sia π:x−y+z= 1 e P(0,1,0). Sia S={ain R:a=d(P,Y) con Y∈π} dove d(P,Y) è la distanza euclidea tra i punti P e Y. L’estremo inferiore di S vale:
a) 0 perchè P∈π
b) -2/√3
c) 2/√3
d) 1/√3
C
