Álgebra I

Question 1

Grupo

Answer 1

possui uma operação com as propriedades associativa, elemento neutro e inverso, pode ser abeliano (comutativo)

Question 2

Anel

Answer 2

2 operações que satisfazem (A,+) grupo abeliano, el. neutro 0, ass. e dist.

Question 3

Anel comutativo

Answer 3

tem multiplicação comutativa

Question 4

Anel de grupo

Answer 4

∑{g∈G} a{g}g | a_{g}, g∈G, a_{g}=0 para quase todo g

Question 5

elemento neutro do anel de grupo

Answer 5

∑_{g∈G}0.g

Question 6

elemento neutro da multiplicação no anel de grupo

Answer 6

∑{g∈G} a{g}g | a_{g}=1 se g=1, a_{g}=0 caso contrário

Question 7

série formal A[[x]]

Answer 7

série formal com coeficientes no anel A

Question 8

operações na série formal

Answer 8

adição (termo a termo) e multiplicação (distributiva)

Question 9

definição de série

Answer 9

soma de uma sequência de infinitos termos

Question 10

definição de sequência

Answer 10

é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado

Question 11

definição de série formal

Answer 11

polinômio em que é permitido ter infinitos termos

Question 12

inteiro módulo

Answer 12

Z/nZ é um anel comutativo e com unidade

Question 13

operações inteiro módulo

Answer 13

a+b={a+b se a+b=n e ab é o resto da divisão de ab por n

Question 14

congruência módulo n

Answer 14

relação de equivalência no conjunto dos inteiros a ≡ b (mod n) se (a-b) é divisível por n

Question 15

em um anel, se ab=0 com b ≠ 0

Answer 15

a e b são divisores de 0 neste anel

Question 16

anel livre de torção

Answer 16

se não existe x∈G satisfazendo x^n=1

Question 17

domínio

Answer 17

A é um anel comutativo e ab=0 (a=0 ou b=0)

Question 18

idempotente

Answer 18

a²=a, 0 e 1 são idempotentes triviais

Question 19

nilpotente

Answer 19

a^n=0 para algum n inteiro positivo, menor n é o índice de nilpotência

Question 20

unidade (inversível)

Answer 20

x∈A, se ∃ y∈A | xy=1=yx

notação: A^x={a∈A|∃b∈A tq ab=ba=1}

Question 21

anel de divisão

Answer 21

A se A^x=A-{0}

Question 22

Corpo

Answer 22

A é um anel de divisão comutativo

Question 23

todo corpo é domínio

Answer 23

seja K um corpo, corpo sempre é comutativo, a,b∈ K tal que ab=0 se a≠0, ∃a^-1∈K tq a^-1a=1 então b=0

Question 24

todo domínio finito é corpo

Answer 24

domínio é comutativo e ab=0 (a=0 ou b=0) então é anel de divisão

Question 25

Z/nZ é um corpo ⇔

Answer 25

⇔ n é primo

Question 26

teorema de fermat

Answer 26

se p é primo e não divisível por a, então a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Question 27

teorema de euler

Answer 27

a^phi(n) ≡ 1 (mod n) em que phi(n) é a função phi de euler calculada probabilisticamente

Question 28

(a, b) ~ (c, d)

Answer 28

Relação de equivalência com ad=bc

Question 29

Propriedades da relação de equivalência

Answer 29

Reflexiva, simétrica e transitiva

Question 30

Quais são os elementos da classe de equivalência (a,b) em S={(a,b) ∈ DxD| b≠0}

Answer 30

a/b={(x,y)∈S|(x,y) ~ (a,b)}

Question 31

Quais são os elementos de Frac(D)

Answer 31

{a/b|(a,b)∈S} em que S={(a,b) ∈ DxD| b ≠ 0}

Question 32

corpo de frações de D

Answer 32

Frac(D)

Question 33

relação entre D e Frac(D)

Answer 33

D "está contido em" Frac(D), ou seja, é uma existe uma cópia de D em Frac(D)

Question 34

Frac(D) é o _______ corpo que ______ D

Answer 34

Frac(D) é o menor corpo que "contém" D

Question 35

adição em Frac(D)

Answer 35

a/b + c/d = (ad+cb)/bd

Question 36

multiplicação em Frac(D)

Answer 36

a/b . c/d = ac/bd

Question 37

Frac(D) é um anel com zero __ e elemento neutro __

Answer 37

com zero 0/1 e elemento neutro 1/1

Question 38

em Frac(D), se a/b≠0, o inverso multiplicativo de a/b é

Answer 38

b/a

Question 39

(Homo)morfismo de aneis

Answer 39

Uma f:A → B que satisfaz f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) e f(Ia)=Ib

Question 40

Morfismo de corpos é sempre injetor?

Answer 40

Sim, pois, seja f(a)=f(b) ⇒ f(a-b)=0 ⇒ a=b

Question 41

X é um subanel se...

Answer 41

X ⊆ A (anel) e com as operações induzidas de A e elemento neutro de A pertence a X, X é anel

Question 42

Um subgrupo do anel A é um ideal se

Answer 42

Se Ia ⊆ I e aI ⊆ I ∀ a ∈ A

Question 43

Relação de equivalência em respeito a I (ideal)

Answer 43

a ≡ b (mod I) ⇔ a-b ∈ I

Question 44

O conjunto das classes de equivalência da relação ≡ é

Answer 44

Um anel denotado A/I (anel quociente)

Question 45

Anel quociente

Answer 45

Conjunto das classes de equivalência da relação ≡

Question 46

Soma e multiplicação em A/I

Answer 46

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I | (a+I)(b+I)=(ab)+Ir

Question 47

Quais são os ideias de Z

Answer 47

Seja n um número inteiro, então o conjunto de todos os múltiplos de n é um ideal de Z

Question 48

Ideal de um conjunto de polinômios

Answer 48

Se p(x) é o polinômio de menor grau que pertence a I então I = p(x)K[x]

Question 49

Um anel A possui divisores se

Answer 49

ab=0 com b ≠0 com a,b ∈ A

Question 50

Morfismo

Answer 50

Mapeamento de uma estrutura em outra de forma que a estrutura é preservada

Question 51

Homomorfismo de anéis

Answer 51

Funções f:A->B naturais nos anéis que preservam as operações dos anéis, ou seja, f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b) e f(1)=1 sendo que as operações do lado esquerdo são realizadas em A e as do lado direito são realizadas em B

Question 52

Homomorfismo bijetor

Answer 52

Isomorfismo

Question 53

Z/nZ

Answer 53

é o anel inteiro modulo n comutativo e com unidade

Question 54

Um morfismo entre corpos é sempre injetor?

Answer 54

Sim, pois, seja a ∈ K^x então 1=f(a.a^-1)=f(a)f(a^-1) ⇒ f(a) ≠ 0

Question 55

Morfismo entre A e A/I

Answer 55

Seja π:A → A/I com π(a)=a+I=ä | Ker(π)={a ∈ I ⊆ A|a+I=0+I}=I

Question 56

O ideal gerado por S ⊆ A é o _____ ideal de A que _______ S

Answer 56

(S) ideal gerado por S ⊆ A é o menor ideal de A que contém S

Question 57

DIP

Answer 57

A é um Domínio de Ideais Principais se todo ideal de A é gerado por um único elemento

Question 58

Morfismo f:A → B é injetor se

Answer 58

Ker(f)={x ∈ A|f(x)=0}={0}=0

Question 59

1º teorema do isomorfismo

Answer 59

Um morfismo f:A → B induz um isomorfismo fbarra:A/ker(f)→im(f) dado por fbarra(abarra)=f(a) com abarra=a+ker(f)

Question 60

2º teorema do isomorfismo

Answer 60

A subanel de R e B ideal de R, A+B={a+b ∈ R|a ∈ A, b ∈ B} é um subanel de R, A ∩ B é anel de A e A/A∩B isomorfo a A+B/B

Question 61

3º teorema do isomorfismo

Answer 61

I, J ideais de A, I ⊆ J. Então J/I é ideal de A/I e (A/I)/(J/I) isomorfo a A/J

Question 62

Teorema da correspondência

Answer 62

A função {ideais de A que ⊆ I} → {ideias de A/I} tal que J → J/I é uma bijeção

Question 63

Ideal maximal

Answer 63

Se I ≠ A e se J ideal de A tal que I ⊆ J, então J=I ou J=A

Question 64

Anel simples

Answer 64

Seus únicos ideais são {0} e A

Question 65

I ideal ≠ A é maximal ⇔

Answer 65

A/I é um anel simples

Question 66

Se A é um anel simples e comutativo ⇒

Answer 66

A é um corpo