Analise Combinatória Flashcards
(12 cards)
Método das 4 perguntas
- Quantas escolhas devemos fazer?
- O que é cada escolha?
- Quantas possibilidades temos em cada escolha?
4º - As escolhas são diferentes?
- Quantas escolhas devemos fazer?
Essa pergunta indica o número de espaços que devemos considerar na resolução da nossa questão.
No caso do exemplo temos três escolhas diferentes (Camisa, Calça e Sapato), logo temos três espaços.
__________ . __________ . ___________
- O que é cada escolha?
Essa pergunta indica o que cada um dos espaços (escolhas) representa dentro da nossa questão e a existência de possíveis restrições nestes espaços.
No caso do exemplo, as escolhas são (Camisa, Calça e Sapato, e não possuem qualquer restrição, assim.
Quando temos restrições na questão, somos obrigados a começar escolhendo pelas restrições.
- Quantas possibilidades temos em cada escolha?
Essa pergunta indica o número que será considerado em cada um dos espaços definidos anteriormente.
No caso do exemplo, temos três possibilidades de camisa, duas possibilidades de calça e duas possibilidades de sapato, assim.
Nota: sempre que, entre as escolhas nós tivermos um “e”, os números deverão ser multiplicados, quando entre as escolhas tivermos um “ou”, os números devem ser somados. No nosso exemplo, como queremos escolher uma camisa e uma calça e um sapato, vamos multiplicar.
- As escolhas são todas diferentes?
Nesta pergunta, vamos analisar se as escolhas (nossos ‘tracinhos’) representam coisas diferentes dentro da nossa questão. Quando esses traços forem todos diferentes significa que a questão acabou, basta fazer a conta e chegar ao resultado. Caso existam escolhas iguais (não diferentes), será necessária uma correção.
No exemplo, uma das escolhas representa a camisa, outra a calça e outra o sapato, assim todas são escolhas diferentes dentro do resultado. Assim, basta realizar a conta e chegaremos no resultado.
Com a resposta da quarta pergunta sendo “não” (quando as escolhas não são todas diferentes), é necessário dividir o resultado pela permutação do número de escolhas iguais, a fim de corrigir os casos que foram contados mais de uma vez.
Fatorial
O fatorial não é um tema presente na análise combinatória, porém, é muito comum ser utilizado em questões dessa matéria. O fatorial é representado por um sinal de exclamação (!) e é uma abreviação matemática que indica uma série de multiplicações presentes no nosso número.
Para um número fatorial ser calculado, devemos ‘abri-lo’ da seguinte forma.
Exemplo: 4!
Para abrir o 4! vamos tomar o número incialmente presente no fatorial (4) e multiplicarmos ele por todos os números inteiros, menores que ele, até chegarmos no número 1. Assim,
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Logo, 4! = 24.
Importante: Por definição o 0! = 1.
Permutação
Definimos por permutação as maneiras distintas que uma situação pode ser organizada.
São divididas em:
Permutação Simples
Permutação com repetição
Permutação Circular
Permutação Simples
Exemplo:
Qual o número de anagramas da palavra SOL?
Anagrama são palavras diferentes formadas com as mesmas letras. Para calcularmos o número de anagramas da palavra SOL, podemos reorganizar as letras da palavra de todas as maneiras possíveis, assim:
SOL
SLO
LSO
LOS
OSL
OLS
Logo temos 6 (seis) anagramas ao todo.
Repare que, se a palavra fosse maior, seria inviável escrever todos os anagramas, para isso poderíamos utilizar o conceito da permutação simples.
A permutação de “n” elementos é dada pela fórmula
P(n)= n!
Onde “!” representa o fatorial do número “n”.
No caso do nosso exemplo, devemos fazer a permutação das três letras da palavra “SOL”, assim
P(3)= 3! = 3.2.1 = 6
Logo, temos seis anagramas da palavra “sol”.
Permutação com repetição
Exemplo:
Qual o número de anagramas da palavra OSSO?
Para calcularmos o número de anagramas novamente organizaremos as letras da palavra “OSSO” de todas as maneiras possíveis, assim:
OSSO
OSOS
SOOS
SOSO
OOSS
SSOO
Logo temos apenas seis anagramas ao todo, mesmo a palavra “osso” tendo quatro letras, isso se deve à repetição das letras “O” e “S” já que a permutação de letras repetidas não gera novas possibilidades.
Repare que, mais uma vez, se a palavra fosse maior, seria inviável escrever todos os anagramas, para isso poderíamos utilizar o conceito da permutação com repetição.
A permutação de “n” elementos com repetição de “k” é dada pela fórmula
P(kn)= n!/k!
No caso do exemplo, devemos fazer a permutação das quatro letras com repetição de dois “o” e dois “s”, assim
P(k2,2 e n4) 4!/2!.2! = 4.3.2.1/ 2.1.2.1 = 24/4 = 6 Logo, temos seis anagramas da palavra “osso”.
Permutação Circular
Para realizar uma permutação com uma disposição circular de seus elementos é necessário subtrair 1 (um) do total de elementos.
PC(n)= (n - 1)!
Exemplo: Um restaurante tem em seu cardápio oito pratos de diferentes tipos de massas, e esses pratos são dispostos, para os clientes se servirem, em uma mesa circular, conforme a figura a seguir.
De quantas maneiras diferentes podem ser colocados esses oito pratos na mesa, tendo como base a forma indicada na figura?
PC(8)= (8 - 1)! = PC(8)= 7! = 5040
Arranjo
Definimos como arranjo de “n” escolhe “k”, o número de maneiras distintas que podemos escolher “k” elementos de um grupo de “n” elementos, de modo que a ordem das escolhas afete o resultado (a ordem das escolhas importa).
N –> K
O Arranjo de “n” escolhe “k” pode ser calculado através da seguinte fórmula
A(n,k)= n!/(n - k)!
Observe que o exercício modelo II representava uma situação envolvendo Arranjo, assim, podemos resolvê-lo a partir da fórmula de Arranjo ao invés de resolvê-lo pelo método das 4 perguntas.
Exercício modelo II (resolução pela fórmula de Arranjo): Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar, empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 7, 8 e 9?
A(7,3)= 7!/3! = A(7,3)= 7!/4! = 210
Combinação
Para entendermos melhor a Combinação, vamos resolver o exemplo abaixo.
Exemplo V: Numa escola há 3 professores. De quantos modos podemos escolher 2 desses professores para fazer uma reunião?
Utilizando o método das 4 perguntas para resolvermos a questão, temos.
1º - Quantas escolhas?
Para escolhermos dois professores para realizar uma reunião, precisamos fazer 2 escolhas.
2º - O que é cada escolha?
Cada escolha representa um professor na minha reunião. Repare que o enunciado não acrescentou qualquer diferença entre esses professores, assim, dentro da reunião, eles possuem a mesma ‘hierarquia’, representam a mesma coisa (um professor na reunião).
3º - Quantas possibilidades em cada escolha?
Para escolher o primeiro professor temos 3 (três) possibilidades e para escolher o segundo 2 (duas) possibilidades.
Se analisarmos a questão até esse momento teremos a seguinte situação:
P . P
3 . 2 = 6
Porém, as reuniões com “Pedro e João” e “João e Pedro” serão iguais, logo não teremos 6 casos diferentes e sim apenas 3.
Para resolver este problema existe a 4ª pergunta.
4º - As escolhas são diferentes?
Neste caso, as escolhas NÃO serão diferentes, mesmo que os professores sejam pessoas diferentes, dentro da reunião, eles representam a mesma coisa, um professor na reunião.
Com a resposta da quarta pergunta sendo “não” (quando as escolhas não são todas diferentes), é necessário dividir o resultado pela permutação do número de escolhas iguais, a fim de corrigir os casos que foram contados mais de uma vez. Como temos duas escolhas repetidas na questão (dois “professores na reunião”) vamos dividir o resultado pela permutação de 2 pessoas P2 = 2!. Assim,
P . P
3 . 2
______ = 3
2!
DICA IMPORTANTE
Para identificar se as escolhas são diferentes, um bom truque é você formar um caso de acordo com o que a questão pede, em sequência trocar a ordem dos elementos escolhidos e identificar se isso formou um caso novo, quando a troca dos elementos formar um novo caso, as escolhas são diferentes, caso não, elas serão iguais.
