Analisi 1 (mod. A)

Question 1

Teorema.

Principio di induzione.

Question 2

Assioma.

Principio del minimo intero (o del buon ordinamento).

Question 3

Assioma.

Presentazione assiomatica di R.

Question 4

Assioma.

Assioma di Dedekind.

Question 5

Definizione.

Sezione di Dedekind.

Question 6

Proposizione.

Principio di Archimede.

Question 7

Definizione.

Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore.

Question 8

Proposizione.

Se A sottoinsieme di R ammette massimo M, allora M = sup A.

Question 9

Proposizione.

Ogni sottoinsieme di R non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore.

Question 10

Proposizione.

Dato A sottoinsieme superiormente limitato di R, s è l’estremo superiore di A se e solo se s è maggiorante e per ogni e > 0 esiste a in A tale che s-e <= a.

Caratterizzazione dell’estremo superiore.

Question 11

Proposizione.

Q è un sottoinsieme denso di R.

Question 12

Definizione.

Iniettività e suriettività.

Question 13

Definizione.

Funzione monotona crescente e decrescente.

Question 14

Definizione.

Funzione periodica e di suo periodo.

Question 15

Definizione.

Sottoinsieme aperto e sottoinsieme chiuso di R.

Question 16

Proposizione.

Intersezione finita e unione arbitraria di aperti è ancora un aperto (risp. intersezione abritraria e unione finita di chiusi).

Proprietà elementari di aperti e chiusi.

Question 17

Proposizione.

A sottoinsieme di R è aperto se e solo se per ogni x in A esiste un e > 0 tale che l’intervallo aperto ]x-e, x+e[ è contenuto in A.

Caratterizzazione degli insiemi aperti.

Question 18

Proposizione.

Q non è un sottoinsieme aperto (risp. chiuso) di R.

Question 19

Definizione

Punto isolato e di punto di accumulazione.

Question 20

Proposizione.

Un sottoinsieme di R è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Difficile.

Question 21

Definizione.

Predicato definitivamente vero e frequentemente vero.

Question 22

Definizione.

Successione a valori in un insieme A.

Question 23

Definizione.

Punto interno, esterno, aderente, di frontiera.

Question 24

Definizione.

Sottosuccessione di una successione a valori in A.

Question 25

# **Definizione.** Limite di una successione a valori in R e successione convergente, infinitesima, divergente e irregolare.

Question 26

# **Teorema.** Unicità del limite di una successione convergente.

Question 27

# **Teorema.** Teorema della permanenza del segno per successioni.

Question 28

# **Teorema** Teorema della permanenza del segno per funzioni.

Question 29

# **Teorema.** Teorema dei carabinieri per successioni.

Question 30

# **Teorema.** Teorema dei carabinieri per funzioni.

Question 31

# **Teorema.** Teorema di convergenza monotona. | Non è stato fatto a lezione.

Question 32

# **Teorema.** Algebra dei limiti per le successioni: limite della somma, del prodotto, del reciproco.

Question 33

# **Definizione.** Continuità di funzione, definizione per successioni.

Question 34

# **Proposizione.** Gerarchia degli infiniti.

Question 35

# **Enunciato.** Criterio del rapporto. | La dimostrazione è stata data come esercizio (foglio 6).

Question 36

# **Enunciato.** Criterio della radice.

Question 37

# **Enunciato.** Caratteristiche fondamentali della successione (1+1/n)^n. | La dimostrazione di tutte è stata data come esercizio (foglio 6).

Question 38

# **Enunciato.** Limite notevole del seno, del coseno, dell'esponenziale, del logaritmo, della potenza, del numero di Nepero (per successioni e per funzioni).

Question 39

# **Definizione.** Definizione della funzione esponenziale.

Question 40

# **Teorema.** Teorema di Bolzano-Weierstrass.

Question 41

# **Definizione.** Punto limite di una successione.

Question 42

# **Proposizione.** Una successione è convergente in R esteso se e solo se ha un unico punto limite in R esteso. | Difficile, a lezione è stato solo enunciato.

Question 43

# **Definizione.** Successione di Cauchy.

Question 44

# **Proposizione.** Ogni successione di Cauchy è convergente.

Question 45

# **Definizione.** Limite di funzione, definizione per intorni.

Question 46

# **Definizione.** Limite di funzione, definizione per successioni.

Question 47

# **Proposizione.** Equivalenza tra le definizioni di limite di funzione per intorni e per successioni. | Difficile, a lezione è stato solo enunciato.

Question 48

# **Definizione.** Continuità di funzione, definizione per intorni.

Question 49

# **Definizione.** Estensione per continuità.

Question 50

# **Enunciato.** Limite della funzione composta.

Question 51

# **Proposizione.** Limite di una funzione monotona. | A lezione è stato solo enunciato.

Question 52

# **Teorema.** Teorema di esistenza degli zeri e teorema dei valori intermedi.

Question 53

# **Proposizione.** Ogni funzione continua manda intervalli in intervalli.

Question 54

# **Proposizione.** Una funzione continua è iniettiva se e solo se è strettamente monotona.

Question 55

# **Proposizione.** Una funzione monotona definita su un intervallo I è continua se e solo se f(I) è intervallo.

Question 56

# **Teorema.** Se una funzione invertibile è continua, lo è anche la sua inversa.

Question 57

# **Teorema.** Teorema di Weierstrass e sua generalizzazione a intervalli qualsiasi. | La generalizzazione è stata solo enunciata.

Question 58

# **Teorema.** Teorema di limitatezza.

Question 59

# **Definizione.** Funzione lipschitziana e sua costante di Lipschitz.

Question 60

# **Proposizione.** Ogni funzione lipschitziana è continua.

Question 61

# **Definizione.** Funzione uniformemente continua.

Question 62

# **Proposizione.** Ogni funzione uniformemente continua è continua.

Question 63

# **Teorema.** Teorema di Heine-Cantor.

Question 64

# **Enunciato.** Enunciare condizioni necessarie affinchè una funzione continua sia uniformemente continua in un intervallo limitato (risp. illimitato).

Question 65

# **Enunciato.** Enunciare tutte le condizioni sufficienti affinchè una funzione continua sia uniformemente continua in un intervallo limitato (risp. illimitato)

Question 66

# **Teorema.** Teorema della farfalla (con esempio che confuta l'implicazione opposta).

Question 67

# **Teorema.** Teorema dell'asintoto (con esempio che confuta l'implicazione opposta).

Question 68

# **Definizione.** Infinitesimo di ordine α per x → x₀, parte principale, infinitesimo campione.

Question 69

# **Proposizione.** Principio di sostituzione degli infinitesimi.

Question 70

# **Definizione.** Funzione rapporto incrementale e funzione derivata.

Question 71

# **Definizione.** Derivabilità e derivata puntuale (con esempio in cui la derivata in x₀ esiste ma la funzione non è derivabile in x₀). | Attenzione a distinguere i concetti di *derivabilità* e di *derivata*.

Question 72

# **Proposizione.** Ogni funzione derivabile in un punto è continua in tale punto.

Question 73

# **Definizione** Definizione di intervallo.

Question 74

# **Proposizione.** La derivata è un operatore lineare e la derivata di fg è f'g+fg' | A lezione la derivata del prodotto è stata solo enunciata.

Question 75

# **Proposizione.** Derivata della funzione composta.

Question 76

# **Proposizione.** Derivata della funzione inversa.

Question 77

# **Proposizione.** Se una funzione è derivabile e monotona crescente in A sottoinsieme di R, la sua derivata in A è sempre maggiore o uguale a zero (con esempio in cui per una funzione strettamente crescente non vale necessariamente la disuguaglianza stretta).

Question 78

# **Definizione.** Punto di minimo e massimo locale.

Question 79

# **Teorema.** Teorema di Fermat (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una e un controesempio per l'implicazione opposta). | Generalizzare a punti non interni e a punti di non derivabilità.

Question 80

# **Teorema.** Teorema di Rolle (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una)

Question 81

# **Teorema.** Teorema di Lagrange (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una).

Question 82

# **Teorema.** Teorema di Cauchy.

Question 83

# **Proposizione.** Una funzione derivabile in un intervallo I tale che la sua derivata è nulla nell'apertura di I è costante.

Question 84

# **Proposizione.** Una funzione derivabile in un intervallo I tale che la sua derivata è maggiore o uguale a zero nell'apertura di I è monotona crescente.

Question 85

# **Proposizione.** Una funzione derivabile in un intervallo è lipschitziana su tale intervallo se e solo se la funzione derivata è limitata su tale intervallo.

Question 86

# **Definizione.** Funzione primitiva.

Question 87

# **Proposizione.** Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante.

Question 88

# **Definizione.** Funzione convessa (risp. concava).

Question 89

# **Proposizione.** Una funzione è convessa in un intervallo I se e solo se per ogni x₀ in I la funzione rapporto incrementale R(x,x₀) è crescente in I.

Question 90

# **Proposizione.** Se f è convessa in I e derivabile in x₀, allora il grafico di f sta sempre sopra alla retta tangente a f in x₀.

Question 91

# **Definizione** Distanza