Applications linéaires déf. Flashcards
Application linéaire
Une application f de E dans E′ est linéaire si
∀(u,v) ∈ E2, f(u+v) = f(u)+f(v) et ∀λ ∈ K, ∀u ∈ E, f(λu) = λf(u).
On note L(E,E′) l’ensemble des applications linéaires de E dans E′ et L(E) l’ensemble des applications linéaires de E dans E.
Endomorphisme, forme linéaire, isomorphisme, automorphisme
Une application linéaire de E dans E s’appelle un endomorphisme de E.
Une application linéaire de E dans K s’appelle une forme linéaire sur E.
Une application linéaire bijective de E sur E′ s’appelle un isomorphisme de E sur E′.
Une application linéaire bijective de E sur E s’appelle un automorphisme de E.
Application identité
L’application de E dans E qui a tout élément u de E associe u est un automorphisme de E. On la note IdE et on l’appelle l’application identique de E ou l’identité de E.
Homothétie vectorielle
Soit λ un élément de K. λ IdE est l’homothétie vectorielle de rapport λ de E.
Puissance d’endomorphisme
Soit f un endomorphisme de E.
On considère la suite (fk)k∈N définie par la récurrence suivante :
f0 = IdE et ∀k ∈ N, fk+1 = fk ◦ f.
Pour tout k dans N, fk est un endomorphisme de E, appelé puissance k éme de f.
Polynôme annulateur d’un endomorphisme
Soit f un endomorphisme de E.
On appelle polynôme annulateur de f tout élément P de K[X] tel que P(f) = 0L(E).
Image
L’image d’une application linéaire f de E dans E′ est f(E). Nous la noterons Imf.
Imf = {f(x);x ∈ E}
ou
Imf = {y ∈ E′ | ∃x ∈ E, f(x) = y}
⋆ Ces deux formules sont importantes. On n’hésitera pas à choisir la formule la mieux adaptée pour traiter le problème posé. Notons que la première est moins lourde que la seconde.
Rang
Le rang d’une application linéaire de E dans E′ est la dimension de l’image de f. On le note rg(f).
Noyau
f est une application linéaire de E dans E′.
L’ensemble des vecteurs de E qui ont pour image 0E′ par f est le noyau de f. On le note Kerf. Kerf = {u ∈ E| f(u) = 0E′} = f−1({0E′}).
Stabilité
F est un sous-espace vectoriel E et f un endomorphisme de E.
F est stable par f si f(F) ⊂ F, c’est à dire si ∀x ∈ F, f(x) ∈ F.
Puissance négatives automorphisme
Soit f un automorphisme de E. Ce qui précède permet d’envisager la définition des puissances négatives de f en posant : ∀k ∈ Z−N, fk = (f−1)−k = (f−k)−1
Si r et s sont dans Z on a encore :
fr ◦ fs = fs ◦ fr = fr+s
(fr)s = (fs)r = frs
(fr)−1 = (f−1)r
Groupe linéaire (ensemble des automorphismes)
On note GLK(E) ou GL(E) l’ensemble des automorphismes de E. GL(E) est appelé groupe linéaire de E.
Espaces isomorphes
Deux espaces vectoriels sont isomorphes s’il existe un isomorphisme (d’espace vectoriel) de l’un vers l’autre.
Projection/projecteur
F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. La projection sur F parallèlement à G est l’application p de E dans E qui a tout élément w de E s’écrivant (de manière unique) w = u + v avec u dans F et v dans G, associe le vecteur u.
On parle encore de projection de base F et de direction G.
Projecteurs associé à deuxsous-espaces vectoriels supplémentaires
F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.
Les projecteurs de E associes aux deux sous-espaces vectoriels supplémentaires F et G sont la projection p sur F parallèlement à G et la projection q sur G parallèlement à F.
Rappelons que :
p + q = IdE
p ◦ q = q ◦ p = 0L(E)
Projecteur
On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel que p ◦ p = p.
Symétrie sous espaces vectoriels
F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de E. La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application s de E dans E qui a tout élément w de E s’écrivant (de manière unique) w = u + v avec u dans F et v dans G, associe le vecteur u − v.
On parle encore de symétrie de base F et de direction G.
Homothétie vectorielle de E
Une application (linéaire) h de E dans E est une homothétie vectorielle de E s’il existe un élément λ de K tel que h = λ IdE.
Endomorphisme nilpotent
Soit f un endomorphisme de E.
1. f est nilpotent s’il existe un élément k de N∗ tel que fk = 0L(E).
2. Si f est nilpotent, l’indice de nilpotence de f est le plus petit élément p de N∗ tel que fp = 0L(E).
Polynôme minimal
f est un endomorphisme de E possédant un polynôme annulateur non nul.
1. Si P est un polynôme annulateur non nul de f de degré minimal, l’ensemble des polynômes annulateurs de f est l’ensemble des multiples de P .
2. Il existe un polynôme unitaire S et un seul tel que l’ensemble des polynômes annulateurs de f soit l’ensemble des multiples de S. S est le polynôme minimal de f.
