Applications linéaires déf.

Question 1

Application linéaire

Answer 1

Une application f de E dans E′ est linéaire si
∀(u,v) ∈ E2, f(u+v) = f(u)+f(v) et ∀λ ∈ K, ∀u ∈ E, f(λu) = λf(u).
On note L(E,E′) l’ensemble des applications linéaires de E dans E′ et L(E) l’ensemble des applications linéaires de E dans E.

Question 2

Endomorphisme, forme linéaire, isomorphisme, automorphisme

Answer 2

Une application linéaire de E dans E s’appelle un endomorphisme de E.
Une application linéaire de E dans K s’appelle une forme linéaire sur E.
Une application linéaire bijective de E sur E′ s’appelle un isomorphisme de E sur E′.
Une application linéaire bijective de E sur E s’appelle un automorphisme de E.

Question 3

Application identité

Answer 3

L’application de E dans E qui a tout élément u de E associe u est un automorphisme de E. On la note IdE et on l’appelle l’application identique de E ou l’identité de E.

Question 4

Homothétie vectorielle

Answer 4

Soit λ un élément de K. λ IdE est l’homothétie vectorielle de rapport λ de E.

Question 5

Puissance d’endomorphisme

Answer 5

Soit f un endomorphisme de E.
On considère la suite (fk)k∈N définie par la récurrence suivante :
f0 = IdE et ∀k ∈ N, fk+1 = fk ◦ f.
Pour tout k dans N, fk est un endomorphisme de E, appelé puissance k éme de f.

Question 6

Polynôme annulateur d’un endomorphisme

Answer 6

Soit f un endomorphisme de E.
On appelle polynôme annulateur de f tout élément P de K[X] tel que P(f) = 0L(E).

Question 7

Image

Answer 7

L’image d’une application linéaire f de E dans E′ est f(E). Nous la noterons Imf.
Imf = {f(x);x ∈ E}
ou
Imf = {y ∈ E′ | ∃x ∈ E, f(x) = y}

⋆ Ces deux formules sont importantes. On n’hésitera pas à choisir la formule la mieux adaptée pour traiter le problème posé. Notons que la première est moins lourde que la seconde.

Question 8

Rang

Answer 8

Le rang d’une application linéaire de E dans E′ est la dimension de l’image de f. On le note rg(f).

Question 9

Noyau

Answer 9

f est une application linéaire de E dans E′.
L’ensemble des vecteurs de E qui ont pour image 0E′ par f est le noyau de f. On le note Kerf. Kerf = {u ∈ E| f(u) = 0E′} = f−1({0E′}).

Question 10

Stabilité

Answer 10

F est un sous-espace vectoriel E et f un endomorphisme de E.
F est stable par f si f(F) ⊂ F, c’est à dire si ∀x ∈ F, f(x) ∈ F.

Question 11

Puissance négatives automorphisme

Answer 11

Soit f un automorphisme de E. Ce qui précède permet d’envisager la définition des puissances négatives de f en posant : ∀k ∈ Z−N, fk = (f−1)−k = (f−k)−1
Si r et s sont dans Z on a encore :
fr ◦ fs = fs ◦ fr = fr+s
(fr)s = (fs)r = frs
(fr)−1 = (f−1)r

Question 12

Groupe linéaire (ensemble des automorphismes)

Answer 12

On note GLK(E) ou GL(E) l’ensemble des automorphismes de E. GL(E) est appelé groupe linéaire de E.

Question 13

Espaces isomorphes

Answer 13

Deux espaces vectoriels sont isomorphes s’il existe un isomorphisme (d’espace vectoriel) de l’un vers l’autre.

Question 14

Projection/projecteur

Answer 14

F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. La projection sur F parallèlement à G est l’application p de E dans E qui a tout élément w de E s’écrivant (de manière unique) w = u + v avec u dans F et v dans G, associe le vecteur u.
On parle encore de projection de base F et de direction G.

Question 15

Projecteurs associé à deuxsous-espaces vectoriels supplémentaires

Answer 15

F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.
Les projecteurs de E associes aux deux sous-espaces vectoriels supplémentaires F et G sont la projection p sur F parallèlement à G et la projection q sur G parallèlement à F.
Rappelons que :
p + q = IdE
p ◦ q = q ◦ p = 0L(E)

Question 16

Projecteur

Answer 16

On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel que p ◦ p = p.

Question 17

Symétrie sous espaces vectoriels

Answer 17

F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de E. La symétrie par rapport à F parallèlement à G est l’application s de E dans E qui a tout élément w de E s’écrivant (de manière unique) w = u + v avec u dans F et v dans G, associe le vecteur u − v.
On parle encore de symétrie de base F et de direction G.

Question 18

Homothétie vectorielle de E

Answer 18

Une application (linéaire) h de E dans E est une homothétie vectorielle de E s’il existe un élément λ de K tel que h = λ IdE.

Question 19

Endomorphisme nilpotent

Answer 19

Soit f un endomorphisme de E.
1. f est nilpotent s’il existe un élément k de N∗ tel que fk = 0L(E).
2. Si f est nilpotent, l’indice de nilpotence de f est le plus petit élément p de N∗ tel que fp = 0L(E).

Question 20

Polynôme minimal

Answer 20

f est un endomorphisme de E possédant un polynôme annulateur non nul.
1. Si P est un polynôme annulateur non nul de f de degré minimal, l’ensemble des polynômes annulateurs de f est l’ensemble des multiples de P .
2. Il existe un polynôme unitaire S et un seul tel que l’ensemble des polynômes annulateurs de f soit l’ensemble des multiples de S. S est le polynôme minimal de f.