Bulova algebra

Question 1

Šta predstavlja Bulovu algebru?

Answer 1

Skup B={a, b, c…} na kom su definisane unarna operacija “ − “ i binarne operacije “ + “ i “ ⋅ “ koje se obično se nazivaju komplementiranje, sabiranje i množenjei to tako da
- za svako a ∈ B vredi a = b, gde je b ∈ B i
- za svako a,b ∈ B vredi a + b = c i a ⋅ b = c, gde je c ∈ B.
Skup B sa operacijama “ − “, “ + “ i “ ⋅ “ predstavlja Bulovu algebru ako
operacije zadovoljavaju sledeće aksiome – postulate

Question 2

Koje aksiome zadovoljavaju operacije Bulove algebre?

Answer 2

1. zakon asocijativnosti
   a) a + (b + c) = (a + b) + c
   b) a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
2. zakon komutativnosti
   a) a + b = b + a
   b) a ⋅ b = b ⋅ a
3. neutralni elementi 0 i 1
   a) a + 0 = 0 + a = a
   b) a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
4. zakon komplementarnosti
   a) a + |a = 1
   b) a ⋅ |a = 0
5. zakon distributivnosti
   a) a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
   b) a + (b ⋅ c) = (a + b) ⋅ (a + c)

Question 3

Šta se vidi iz aksioma Bulove algebre?

Answer 3

Iz aksioma Bulove algebre se vidi

1. da su sve aksiome date u obliku jednakosti Bulovih izraza i
2. da postoji simetričnost aksioma

Question 4

Kako se kreiraju Bulovi izrazi i kojim redosledom su poređane operacije po prioritetu?

Answer 4

Bulovi izrazi se formiraju kombinacijom simbola koji u Bulovoj algebri
označavaju elemente i operacije.
Usvojena je sledeća konvencija o prioritetu operacija
1. najviši prioritet ima unarna operacija “ − “,
2. druga po prioritetu je binarna operacija “ ⋅ “ i
3. najniži prioritet ima binarna operacija “ + “

Question 5

Šta proizlazi iz simetričnosti akisoma?

Answer 5

Iz simetričnosti aksioma Bulove algebre proizlazi princip dualnosti. U definiciji principa dualnosti javlja se pojam dualnog izraza.
Iz simetričnosti aksioma Bulove algebre proizlazi i mogućnost dokazivanja
različitih relacija dualnom supstitucijom.

Question 6

Šta je dualan izraz?

Napisati dualan izraz za : a * b + |a * c + b * c = a * b + |a * c

Answer 6

Bulov izraz Q^d je dualan izrazu Q i obrnuto izraz Q je dualan izrazu (Q^d)^d ukoliko je izraz Q^d dobijen od izraza Q tako što je u njemu:
- svaki simbol operacije “ + “ zamenjen simbolom
operacije “ ⋅ “ i obrnuto,
- svaki simbol konstante “ 1 “ zamenjen simbolom
konstante “ 0 “ i obrnuto,
- svaki simbol operacije “ − “ zadržan nepromenjen i
- svaki simbol elementa zadržan nepromenjen.

(a + b) * (|a + c) * (b + c) = (a + b) * (|a + c)

Question 7

Kako se definiše princip dualnosti?

Answer 7

Princip dualnosti, čiji matematički dokaz se ne daje, se definiše na sledeći način:
Ako je u Bulovoj algebri Q(a,b,c,…) = R(a,b,c,…), gde su Q(a,b,c,…) i R(a,b,c,…) Bulovi izrazi, tada vredi i dualna jednakost Q^d (a,b,c,…) = R^d (a,b,c,…)a Q i R . Simboli a, b, c, … i x, y, z, … označavaju proizvoljne elemente Bulove algebre.

Question 8

Teoreme Bulove algebre?

Answer 8

U Bulovoj algebri vredi
1. |0 = 1 i |1= 0

2. ||a = a
3. a) a + 1 = 1
   b) a ⋅ 0 = 0
4. a) |(a + b) = |a ⋅ |b
   b) |(a ⋅ b) = |a + |b
5. a) a + |a ⋅ b = a + b
   b) a ⋅ (|a + b) = a ⋅ b
6. a) a + a = a
   b) a ⋅ a = a

Question 9

Dokaz za: |0 = 1 i |1= 0

Answer 9

Kada se u aksiomi
 a) a + |a = 1
 b) a ⋅ |a = 0
zameni a = 0 dobija se
 a) 0 + |0 = 1
 b) 0 ⋅ |0 = 0
Pošto je 0 neutralni element za "+" to je jedino rešenje za |0 koje zadovoljava obe relacije |0 =1.
Kada se u aksiomi
 a) a + |a = 1
 b) a ⋅ |a = 0
zameni a = 1 dobija se
 a) 1 + |1 = 1
 b) 1 ⋅ |1 = 0
Pošto je 1 neutralni element za "⋅" to je jedino rešenje za |1 koje zadovoljava obe relacije |1 = 0.

Question 10

Dokaz za: ||a = a

Answer 10

||a = ||a * 1
||a = ||a * (a + |a)
||a = ||a * a + ||a * |a
||a = ||a * a + 0
||a = (||a * a) + (a * |a)
||a = a * (||a + |a)
||a = a * 1
||a = a

Question 11

Dokaz za: a + 1 = 1

a * 0 = 0

Answer 11

Teorema 3. a) a +1=1
b) a ⋅ 0 = 0

 a) 
 a + 1 = (a + 1) ⋅ 1
 a + 1 = (a+1) ⋅ (a + |a )
 a + 1 = a + 1 ⋅ |a
 a + 1 = a + |a
 a + 1 = 1

 b) 
 a ⋅ 0 = a ⋅ 0 + 0
 a ⋅ 0 = a ⋅ 0 + a ⋅ |a
 a ⋅ 0 = a ⋅ (0 + |a )
 a ⋅ 0 = a ⋅ |a
 a ⋅ 0 = 0

Question 12

Dokaz De Morganove teoreme

Answer 12

Teorema 4. a) |(a + b) = |a ⋅ |b
b) a ⋅ b = a + b
Teorema pod a) će se dokazati pomoću relacije
a + b + |a ⋅ |b = 1
iz koje sledi da su a + b i |a ⋅ |b komplementi
a + b + |a ⋅ |b = (a + b + |a ) ⋅ (a + b + |b )
a + b + |a ⋅ |b = (b + 1) ⋅ (a + 1)
a + b + |a ⋅ |b = 1 ⋅ 1
a + b + |a ⋅ |b = 1
Teorema pod b) će se dokazati pomoću relacije
a ⋅ b ⋅ ( |a + |b ) = 0
iz koje sledi da su a ⋅ b i |a + |b komplementi

a ⋅ b ⋅ ( |a + |b ) = a ⋅ b ⋅ |a + a ⋅ b ⋅ |b
a ⋅ b ⋅ ( |a + |b ) = b ⋅ 0 + a ⋅ 0
a ⋅ b ⋅ ( |a + |b ) = 0 + 0
a ⋅ b ⋅ ( |a + |b ) = 0

Question 13

Dokaz za: a + |a * b = a + b

a * (|a + b) = a * b

Answer 13

Teorema 5.

a) a + a ⋅ b = a + b
b) a ⋅ a( + )b = a ⋅ b

a)
a + |a ⋅ b = (a + |a ) ⋅ (a + b)
a + |a ⋅ b = 1 ⋅ (a + b)
a + |a ⋅ b = a + b

b)
a ⋅ ( |a + b) = a ⋅ |a + a ⋅ b
a ⋅ ( |a + b) = 0 + a ⋅ b
a ⋅ ( |a + b) = a ⋅ b

Question 14

Dokaz za: a + a = a

a * a = a

Answer 14

Teorema 6.

a) a + a = a
b) a ⋅ a = a

a) 
 a + a = (a + a) ⋅ 1
 a + a = (a + a) ⋅ (a + |a)
 a + a = a + a ⋅ |a
 a + a = a + 0
 a + a = a

 b) a ⋅ a = a ⋅ a + 0
 a ⋅ a = a ⋅ a + a ⋅ |a
 a ⋅ a = a ⋅ (a + |a)
 a ⋅ a = a ⋅ 1
 a ⋅ a = a

Question 15

Objasniti Bulovu algebru na skupu sa dva elementa:

1. koji elementi moraju da budu
2. kako se dobija Bulova algebra na skupu sa dva elementa
3. predstaviti operacije logičkim kolima i kako se nazivaju ta kola
4. kako se naziva Bulova algebra na skupu sa dva elementa
5. kako se nazivaju operacije “ − “, “ + “ i “ ⋅ “ u prekidačkoj algebri

Answer 15

U Bulovoj algebri na skupu sa dva elementa moraju da budu elementi 0 i 1, jer predstavljaju neutralne elemente za operacije “ + “ i “ ⋅ “, respektivno.
Bulova algebra na skupu sa dva elementa se dobija tako što se na skupu {0, 1} definišu operacije “ − “, “ + “ i “ ⋅ “ prema tablicama sa slike 1.
Bulova algebra na skupu od dva elementa se često naziva prekidačka algebra.
Za operacije “ − “, “ + “ i “ ⋅ “ se u prekidačkoj algebri često koriste i nazivi negacija, disjunkcija i konjukcija, respektivno.