C5 - Addition et soustraction dans N et dans Z Flashcards
(40 cards)
Propriétés de l’addition dans N
- Loi de composition interne – > c = a+b
- Commutativité –> a+b = b+a
- Associativité –> (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
- Elément neutre –> a+0 = 0+a = a
Qu’est ce qu’une loi de composition ?
Toute règle (loi) instituée qui, à deux éléments d’un ensemble en associe un troisième
Qu’est ce qu’une loi de composition interne ?
Toute règle (loi) instituée qui, à deux éléments d’un ensemble en associe un troisième (l’image du couple) qui est nécessairement un élément du même ensemble
Ex : la loi de composition interne de l’addition dans N associe à tout couple (a,b), le nombre entier naturel c=a+b
Commutativité d’une loi de composition interne
Si les images des couples (a,b) et (b,a) sont égales
–> a+b = b+a
Utile au cycle 2 où il est plus simple pour un élève de se représenter et de calculer 17+2 que 2+17
Associativité d’une loi de composition interne
On peut changer l’ordre des additions
–> (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Les parenthèses sont appelées symboles de priorité de calcul
Pour quoi utilise-t-on l’associativité et la commutativité?
Fondements du calcul mental
Elément neutre de l’addition dans N
Action du 0 neutre dans le processus de l’addition
–> a+0 = 0+a = a
0 prend ici son statut de nombre à part entière
Qu’est ce qu’un ensemble?
Une liste ou collection d’objets (appelés éléments de l’ensemble)
Le nombre d’éléments de l’ensemble est appelé cardinal de E
Qu’est ce que la partition d’un ensemble?
Le partage d’un ensemble E en sous-ensemble disjoints
A⋃B= E
A⋂B = ∅
–> L’addition est l’opération qui permet de calculer le cardinal de la réunion de 2 ensembles disjoints
Comment trouver toutes les décompositions additives possibles d’un nombre?
Avec méthode répétitive (tableau de valeurs), pour être sûr de ne pas oublier une combinaison
Ecrire l’équation traduisant les décompositions additives cherchée
N = ax + by + cz
avec a,b,c entiers naturels et x > y > z
“On procède par essais successifs ordonnés”
On cherche s’il existe des solutions en attribuant la valeur de A la plus grande possible
Calculer ce qu’il manque à ax pour arriver à N et déduire la plus grande valeur possible de b
=> chaque valeur de b et c doit être un entier sinon KO
Si OK : la combinaison (a,b,c) correspond à une décomposition additive de N
“On répète le raisonnement en diminuant de 1 la valeur de b”
Puis en diminuant à chaque fois de 1 par ordre jusqu’à ce que a=0 et b=0
“Au delà, plus aucune solution n’est envisageable”
Conclure en récapitulant toutes les décompositions additives de N
“il y a donc ….. solutions possibles”
Ensemble Z
Tous les entiers naturels (N) et leurs opposés
Donc N est inclus dans Z : N⊂Z
Tout entier naturel n admet un opposé -n tel que
n + (-n) = 0
Est ce que la soustraction est une loi de composition interne dans N?
NON
Ex : 5-7 = -2
Loi de composition interne dans Z
Définition et propriétés de la soustraction dans Z
Définition dans Z : soustraire revient à ajouter l’opposé
=> on définit la soustraction par l’addition
Pas de propriétés
Ni commutatif –> 9-3= 6 ≠ 3-9= -6
Ni associatif – > 7-(4-2)= 5 ≠ (7-4)-2= 1
Pas d’élément neutre –> a-0 ≠ 0-a ≠ a
La soustraction dans N
Lien avec l’addition
a-b=c, avec b≤a si et seulement si a=b+c
Calculer a-b revient à chercher ce qu’il faut ajouter à b pour trouver a –> Addition à trou / Recherche du complément de b pour aller à a
b+…..=a
Techniques opératoires pour l’addition
- Surcomptage (pas considéré comme du calcul)
- Calcul posé
- Additionner mentalement 2 nombres à 2 chiffres
Difficultés du surcomptage
Cycle 2 : si aucun support pour la pensée : difficile d’énoncer la suite des nombres en effectuant en même temps un comptage des nombres énoncés
Trouve ses limites assez vite quand le champ numérique s’étend
Il faut initier l’élève à l’utilisation de la commutativité de l’addition : plus facile de compter 7+3 que 3+7 en surcomptage
Qu’appelle-t-on calcul réfléchi?
Utilisation d’un procédé de calcul
Par opposition aux procédés de comptages
Avantage du calcul posé
Permet de calculer la somme de n’importe quel nombre, quel que soit l’ordre de grandeur, et à partir d’une mémoire assez restreinte
La mémoire restreinte en question est la connaissance des tables d’additions, complétée par une méthode s’appuyant sur la numération (groupement par dizaines, échanges, positions)
Qu’est ce que la mémoire (des faits numériques)
L’ensemble des résultats directement accessibles : connus et mémorisés
Peut-on parler d’une technique opératoire pour la soustraction?
NON
Il existe de nombreux procédés de calcul en usage selon les personnes
- Décomptage
- Calcul en ligne par compensation fondée sur l’égalité
- Calcul en ligne par recherche du complément
- Calcul dans Z
Méthode de soustraction par compensation fondée sur l’égalité : calcul en ligne et posé
Il est possible d’ajouter un même nombre aux deux termes d’une égalité sans la changer
Ou
La différence entre deux nombres ne change pas si l’on ajoute la même quantité à chacun de ces deux nombres
a-b = (a+c)-(b+c) avec b≤a
Calcul en ligne
Ex : 567-389 = (567+10+1)-(389+10+1) = 578-400
Plus facile à calculer
Calcul posé
Technique la plus répandue en France (système des retenues)
Méthode de soustraction par calcul dans Z
Décomposer les deux termes puis soustraire les centaines aux centaines, les dizaines aux dizaines et les unités aux unités
Ex:
567-389 = (500-300)+(60-80)+(7-9)
= 200 + (-20) + (-2)
Méthode anglo-saxonne de calcul de soustraction
Fondée sur les principes de la numération de position et des échanges de 10 pour 1
Utilise différentes décompositions additives d’un même nombre
Décomposition des deux termes en les combinant pour avoir des termes faciles à calculer
Différence dans le calcul posé par compensation : au lieu de mettre une retenue sur le chiffre du bas, on enlève une unité au chiffre du haut (en l’écrivant au dessus)
Difficulté induite par la méthode de soustraction “française”
Confusion dans la retenue : lue comme un chiffre des dizaines au lieu de l’additionner
