chap11:forme exponentielle des nombres complexes

Question 1

Comment on appelle «z=a+ib» ?

Answer 1

la forme algébrique de z

Question 2

Définition du module d’un nombre complexe :

Answer 2

Soit un nombre complexe z=a+ib ((a,b) ∈ R^2, le module de z, noté |z|, et le nombre défini par : |z|= √ (a^2+b^2)

Question 3

le module d’un nombre complexe est ?

Answer 3

un nombre réel

Question 4

comment calculer le module d’un nombre réel ?

Answer 4

si x ∈ R avec |x|= √ (x^2)
Le module de x est sa valeur absolue.

Question 5

qu’est ce que « ¯z=a-ib»

Answer 5

le conjugué de z

Question 6

|z|^2=???

Answer 6

z¯z=a^2+b^2

Question 7

|z^n|=???

Answer 7

|z^n|=|z|^n avec n N

Question 8

|¯z|=???

Answer 8

= |-z|=|z|

Question 9

|z1*z2|=???

Answer 9

si z1&z2 n’ombres complexes
=|z1|+|z2|

Question 10

|(z1/z2)|=???

Answer 10

|z1|/|z2|

Question 11

Prouver que le module est une distance

Answer 11

Dans un plan orthonormé (O,ï,j)
Si M est le point d’affixé z dans le plan alors |z|=OM

Question 12

que traduit une inégalité triangulaire ?

Answer 12

Elle traduit le fait que la longueur d’un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des 2 autres côtés.

Question 13

On considère 2 nbr complexes z1&z2
Écrire leur inégalité triangulaire.

Answer 13

|z1+z2|=<|z1|+|z2|

Question 14

dans un plan (O,i,j) on a A, B et C des points distincts.
Écrire une inégalité triangulaire en prenant AC.

Answer 14

AC =|zc-za|=|zc-zb+zb-za|=< AB+BC =|zc-zb|+|zb-za|

Question 15

U={z ∈ C tq |z|=1}
si z ∈ U alors….

Answer 15

• |z|=OM=1, ainsi M appartient au cercle trigonométrique.
• on note θ la mesure de l’angle (ï,OM vecteur).

Question 16

U={z ∈ C tq |z|=1}
si z ∈ U , z s’écrit aussi :

Answer 16

z= cos θ + i sin θ

Question 17

comment appelle t on z= cos θ + i sin θ

Answer 17

la forme algébrique de z (quand il est de module 1)

Question 18

où se lisent les cosinus ? qu’est ce qu’on y lit ?

Answer 18

axe des abscisses, les réels.

Question 19

où se lisent les sinus ? qu’est ce qu’on y lit ?

Answer 19

axes des ordonnées, les imaginaires purs

Question 20

U={z ∈ C tq |z|=1}
On a z= cos θ + i sin θ
Prouver que z appartient à U

Answer 20

D’après la formule de Pythagore on a |z|= √( cos θ^2 + i sin θ^2) = √1=1
Donc z appartient à U.

Question 21

comment se note l’exponentielle d’un nombre imaginaire pur ? à quoi correspond t’il ?

Answer 21

e^iθ
(pour tout réel θ) par définition, e^iθ = cos θ + i sin θ

Question 22

pour tout réel θ, on a …

Answer 22

e^iθ barre = e^-iθ

Question 23

e^iθ1 *e^iθ2=????

Answer 23

e^i(θ1+θ2)

Question 24

1/e^iθ=???

Answer 24

e^-iθ

Question 25

e^iθ1/e^iθ2=????

Answer 25

e^i(θ1-θ2)

Question 26

formule de Moivre

Answer 26

pour tout θ R et pour tout n Z (cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ <=> (e^iθ)^n = e^inθ ainsi cos nθ = Re((cosθ + i sinθ)^n) et sin nθ = Im((cosθ + i sinθ)^n)

Question 27

formules d’Euler cosθ=??? sinθ=???

Answer 27

cosθ= (e^iθ+e^-iθ)/2 sinθ= (e^iθ - e^-iθ)/2i

Question 28

On considère un nombre complexe non nul z dont la forme algébrique est a+ib et la forme exponentielle est |z|e^i θ. Trouver cos(θ) et sin(θ).

Answer 28

Comme |z|e^i θ=|z|cos θ+i|z|sin θ, il vient que {a= |z|cos θ ; b= |z|sin θ c’est à dire {cos θ= a/|z|; sin θ=b/|z|

Question 29

Soit z appartenant à C* Dans quel cas z=re^iθ est la force exponentielle de z ?

Answer 29

UNIQUEMENT si r>0

Question 30

Si z=re^iθ où r>0 et θ appartient à R, Que peut-on dire de r et θ ?

Answer 30

r est unique (c’est le module de z) θ ne l’est pas !!! car z=re^iθ=re^i(θ-4π)=re^i(θ+2π)=…