Chapitre 1 - Les nombres réels Flashcards
(40 cards)
Quels sont les 4 axiomes pour l’addition dans ℝ?
(A1) Commutativité : x + y = y + x
∀ x, y ∈ ℝ
(A2) Associativité : x + (y + z) = (x + y) + z
∀ x, y, z ∈ ℝ
(A3) Élément neutre pour l’addition : il existe un élément 0 ∈ ℝ tel que 0 + x = x + 0 = x
∀ x ∈ ℝ
(A4) Inverse additif : pour tout x ∈ ℝ, il existe -x ∈ ℝ tel que x + (-x) = 0
Quels sont les 4 axiomes pour la multiplication dans ℝ ?
(M1) Commutativité : xy = yx
∀ x, y ∈ ℝ
(M2) Associativité : x(yz) = (xy)z
∀ x, y, z ∈ ℝ
(M3) Élément neutre : 1x = x1 = x
∀ x ∈ ℝ
(M4) Inverse multiplicatif : ∀ x ∈ ℝ tel que x ≠ 0, il existe x⁻¹ ∈ ℝ , tel que xx⁻¹ = 1
Quel est l’axiome de la distributivité ?
(D) Distributivité : (x + y) z = xz + yz
∀ x, y, z ∈ ℝ
Qu’est-ce qu’une relation d’ordre ? Donner les trois types
Définition : relation appliquée sur un ensemble X, notée ≤
Réflexivité : x ≤ x
Antisymétrie : (x ≤ y et y ≤ x) ⇒ x = y
Transitivité : (x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z
Quels sont les 4 axiomes sur la relation d’ordre dans ℝ ?
(O1) Transitivité : x ≤ z si x ≤ y et y ≤ z
∀ x, y, z ∈ ℝ
(O2) Exactement une des affirmations suivantes est vraie ∀ x ∈ ℝ
- x < 0
- x = 0
- 0 < x
(O3) si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z
∀ z ∈ ℝ
(O4) si 0 ≤ x et 0 ≤ y, alors 0 ≤ xy
ℕ
Entiers naturels (0, 1, 2, 3, …)
ℕ*
Entiers naturels strictement positifs (1, 2, 3, …)
ℤ
Entiers relatifs (0, ±1, ±2, ±3, …)
ℚ
Nombres rationnels
ℚ = {a/b : a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
Définir la puissance entière
Soit a ∈ ℝ \ {0} et n ∈ ℕ*
On définit a⁰ = 1, aⁿ = a • a • … • a (n facteurs a), a⁻ⁿ = a⁻¹ • a⁻¹ • … • a⁻¹ (avec n facteurs a⁻¹)
Définir le polynôme
Soit n ∈ ℕ et x ∈ ℝ
Un polynôme P(x) est une somme finie des puissances naturelles de x à coefficients réels a₀, …, aₙ ∈ ℝ :
P(x) = a₀+ a₁x + … + aₙxⁿ
Quelle est la définition de la valeur absolue ?
Soit a ∈ ℝ.
La valeur absolue de a, notée |a|, est définie par :
|a| = {a si a ≥ 0, -a si < 0
Donner les quatre propriétés induites par la définition de valeur absolue.
- Positivité : |x| ≥ 0. On a |x| = 0 ⇔ x = 0
- –|x| ≤ x ≤ |x|
- Inégalité triangulaire : |x + y| ≤ |x + y|
- |xy| = |x||y|
Définir le principe du bon ordre
Tout sous-ensemble non-vide A ⊂ ℕ possède un plus petit élément.
Définir le principe d’induction
Soit E ⊆ ℕ
-> tel que 0 ∈ E et
-> tel que n ∈ E dès que (n - 1) ∈ E.
Alors E = ℕ
Quelles sont les trois étapes du raisonnement par récurrence?
Contexte : Soit n₀ ∈ ℕ. On veut MQ une propriété Pₙ est vraie ∀ n ∈ ℕ tel que n ≥ n₀.
- Initialisation : prouver que la propriété P₀ est vraie.
- Hérédité (étape inductive) : prouver que, ∀ entier n ≥ 0, si Pₙ est vraie alors Pₙ₊₁ est vraie.
- Conclusion : la propriété Pₙ est vraie ∀ n ≥ n₀.
Définition de «borné supérieurement»
A est borné supérieurement si :
- il existe M (borne supérieure/majorant) ∈ ℝ tq a ≤ M pour tout a ∈ A
Définition de «borné inférieurement»
A est borné inférieurement si :
- Il existe m (borne inférieure/minorant) ∈ ℝ tq a ≥ m pour tout a ∈ A.
Quelles sont les conditions pour qu’un ensemble soit considéré comme borné?
Doit être borné supérieurement ET inférieurement
Définir le supremum
Plus petite borne supérieure de A
supA = sup{a : a ∈ A}
Conditions pour être un supremum
Un nb β ∈ ℝ est le sup de A si et seulement si β est un majorant de A et que pour tout majorant M de A on a β ≤ M
Définir l’infimum
La plus grande borne inférieure de A
infA = inf{a : a ∈ A}
Quel est l’axiome de complétude ?
(AC) Tout ensemble non vide A ⊆ ℝ qui est borné supérieurement admet une plus petite borné supérieure.
Quel est le principe d’Archimède ?
Pour tout réel x > 0,
il existe un entier naturel n ∈ ℕ* tel que 1/n < x
