Chapitre 5 - Vecteurs du plan

Question 1

Quelles caractéristiques possèdent un vecteur géométrique du plan (R²) (4) ?

Answer 1

• un module (une norme)
• une direction
• une origine
• une extrémité

Question 2

Comment se note la norme du vecteur v du plan?

Answer 2

||v||

Question 3

À quoi correspond la norme d’un vecteur?

Answer 3

C’est la distance entre l’origine et l’extrémité du vecteur.

Question 4

VRAI ou FAUX? La direction du vecteur v est donnée par l’angle θ mesuré dans le sens antihoraire situé entre le vecteur et la partie positive de l’axe des x.

Answer 4

VRAI

Question 5

Quelles sont les deux conditions afin d’avoir deux vecteurs égaux?

Answer 5

• même longueur (norme)

- même direction

Question 6

Quelles sont les caractéristiques du vecteur nul (2) ?

Answer 6

• la longueur est de 0

- la direction n’est pas définie

Question 7

Comment note-t-on le vecteur nul?

Answer 7

Le vecteur O

Question 8

Quelles sont les caractéristiques d’un vecteur unitaire (2) ?

Answer 8

• la longueur est de 1

- la direction peut prendre n’importe quelle valeur

Question 9

Comment détermine-t-on l’angle entre deux vecteurs?

Answer 9

1) Ramener les deux vecteurs à la même origine

2) Déterminer l’angle entre les deux vecteurs en mesurant le plus petit angle positif entre les deux vecteurs

Question 10

VRAI ou FAUX? L’angle entre deux vecteurs est toujours compris entre 0 et 180° (0 et π rad).

Answer 10

VRAI

Question 11

Si l’angle entre deux vecteurs θ = 0° alors les vecteurs sont…

Answer 11

• parallèles

- de même direction

Question 12

Si l’angle entre deux vecteurs θ = 180° alors les vecteurs sont…

Answer 12

• parallèles

- de direction opposée

Question 13

Quelles sont les deux méthodes de faire l’addition de deux vecteurs géométriques?

Answer 13

• Méthode du parallélogramme

- Méthode du triangle

Question 14

Quelles sont les étapes (2) et le résultat de l’addition de deux vecteurs géométriques par la méthode du parallélogramme?

Answer 14

Étapes :

1) Placer les deux vecteurs à la même origine
2) Compléter le parallélogramme

Résultat :
3) Le vecteur somme u+v est le vecteur sur la diagonale, issu de l’origine.

Question 15

Quelle est l’étape et le résultat de l’addition de deux vecteurs géométriques par la méthode du triangle?

Answer 15

Étape :
1) Placer les vecteurs bout à bout

Résultat :
2) Le vecteur somme u+v a la même origine que celle du vecteur de départ et son extrémité est située à l’extrémité du dernier vecteur de la construction.

Question 16

VRAI ou FAUX? L’addition de deux vecteurs peut donner un scalaire ou un vecteur.

Answer 16

FAUX. L’addition de deux vecteurs donne toujours un vecteur.

Question 17

VRAI ou FAUX? L’ordre des vecteurs de change rien dans le résultat de l’addition de n vecteurs géométriques.

Answer 17

VRAI

Question 18

u+v est…

Answer 18

un vecteur

fermeture

Question 19

u + v =

Answer 19

v + u

commutativité

Question 20

u + (v + w) =

Answer 20

(u + v) + w

associativité

Question 21

u + O =

Answer 21

u

élément neutre

Question 22

ku est…

Answer 22

un vecteur (puisque k est un scalaire non nul et u un vecteur)

Question 23

||ku|| =

Answer 23

|k| • ||u||

Question 24

VRAI ou FAUX? La norme d’un vecteur doit toujours être positive?

Answer 24

VRAI

Question 25

1) Quelle est la relation entre le vecteur ku et le vecteur u? 2) Si k > 0 alors les vecteurs sont... 3) Si k < 0 alors les vecteurs sont...

Answer 25

1) Ils sont parallèles. 2) de même direction 3) de direction opposée

Question 26

Il est possible de conclure que deux vecteurs u et v sont parallèles si et seulement si...

Answer 26

l'un est un multiple de l'autre. u = kv ⇔ u et v parallèles où k ∈ R\｛0｝

Question 27

1u =

Answer 27

u

Question 28

-1u =

Answer 28

-u

Question 29

Quelles sont les caractéristiques du vecteur opposé de u (-u)?

Answer 29

- de même longueur que u | - de direction opposée de u

Question 30

aO =

Answer 30

O

Question 31

(ab)u =

Answer 31

a(bu)

Question 32

(a + b)u =

Answer 32

au + bu | distributivité

Question 33

a(u + v) =

Answer 33

au + av

Question 34

Si u ≠ O, quel est le vecteur 1/||u|| ∙ u ?

Answer 34

C'est un vecteur unitaire.

Question 35

Comment définit-on la soustraction de vecteurs géométriques?

Answer 35

Cela revient à l'addition d'un vecteur géométrique avec l'opposé d'un autre. Alors la méthode du parallèlogramme et celle du triangle peuvent être appliquée à la soustraction de vecteurs géométriques.

Question 36

u - v =

Answer 36

u + (-v)

Question 37

Que permet la règle de Chasles?

Answer 37

Elle permet la simplification d'une expression de vecteurs entre deux points additionnés ensemble. Voir exemple pages 6 et 7 du cahier du Bloc 2.

Question 38

AB + BC =

Answer 38

AC | règle de Chasles

Question 39

Comment note-t-on le produit scalaire entre deux vecteurs géométriques (u et v) ?

Answer 39

u ∙ v

Question 40

Quelle est l'expression qui définit le produit scalaire entre deux vecteurs géométriques (u et v) ?

Answer 40

u ∙ v = ||u|| ||v|| cosθ où θ est l'angle entre les deux vecteurs

Question 41

[produit scalaire entre des vecteurs géométriques] Si l'angle θ entre les deux vecteurs est un angle aigu, alors le produit scalaire est...

Answer 41

positif u ∙ v > 0

Question 42

[produit scalaire entre des vecteurs géométriques] Si l'angle θ entre les deux vecteurs est un angle droit, alors le produit scalaire est...

Answer 42

nul u ∙ v = 0 (deux vecteurs orthogonaux/perpendiculaires)

Question 43

[produit scalaire entre des vecteurs géométriques] Si l'angle θ entre les deux vecteurs est un angle obtus, alors le produit scalaire est...

Answer 43

négatif u ∙ v < 0

Question 44

u ∙ v =

Answer 44

v ∙ u | commutativité

Question 45

u ∙ (v + w) =

Answer 45

u ∙ v + u ∙ w | distributivité

Question 46

a(u ∙ v) =

Answer 46

(au) ∙ v ET u ∙ (av) | associativité

Question 47

u ∙ u =

Answer 47

||u|| ||u|| cos0 = ||u||²

Question 48

Quelle est la particularité du produit scalaire entre deux vecteurs géométriques identiques, soit u et u?

Answer 48

Il est défini par le carré de la norme du vecteur u, soit ||u||², puisque l'angle entre les deux vecteurs est de 0 et cos0 = 1.

Question 49

Deux vecteurs géométriques sont perpendiculaires si et seulement si...

Answer 49

Leur produit scalaire vaut 0. u ∙ v = 0 ⇔ vecteurs u et v sont perpenduculaires